Los matemáticos han encontrado una nueva manera de imponer orden al caos en forma de respuesta a un desafío que los ha desconcertado durante casi un siglo: el llamado problema de Ramsey, conocido como r(4,t).
En matemáticas, teoría de ramsey trata del “orden en desorden”. No importa cuán complejo sea un sistema grande, el orden surgirá como un subsistema más pequeño con una estructura única.
Los humanos son criaturas que buscan patrones viviendo en un mundo de caos aleatorio. Buscamos orden en todo, de nuestras vidas, el mundo alrededor de nosotros, al universoy se podría decir que la teoría de Ramsey explica nuestra capacidad para Encuéntralo.
Se puede considerar que los números de Ramsey representan los límites del desorden. Y es notoriamente difícil descifrarlos.
Desde que el matemático Frank Ramsey demostró Teorema de Ramsey A finales de la década de 1920, hubo perplejidad sobre el problema específico que finalmente resolvieron Sam Mattheus y Jacques Verstraete, de la Universidad de California en San Diego.
“Muchas personas han pensado en r(4,t): ha sido un problema abierto durante más de 90 años”, Verstraete dice.
“Realmente nos llevó años resolverlo. Y hubo muchas ocasiones en las que nos quedamos estancados y nos preguntamos si seríamos capaces de resolverlo”.
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Una analogía común Porque la teoría de Ramsey requiere que consideremos cuántas personas invitar a una fiesta para que al menos tres personas ya se conozcan entre sí. o al menos tres personas serán totalmente desconocidas entre sí.
Aquí, el número de Ramsey, res el número mínimo de personas necesarias en la fiesta para que s La gente se conoce o t la gente no se conoce. Esto se puede escribir como r(s,t), y conocemos la respuesta a r(3,3) = 6.
“Es un hecho natural, una verdad absoluta. No importa cuál sea la situación o qué seis personas elijas: encontrarás tres personas que se conocen entre sí o tres personas que no se conocen entre sí”. Verstraete dice.
“Es posible que puedas encontrar más, pero te garantizamos que habrá al menos tres en una camarilla u otra”.
Los problemas de Ramsey se resuelven tradicionalmente usando graficos aleatorios. Por ejemplo, con s trazados como puntos con líneas azules entre ellos y t como puntos con líneas rojas. Si un gráfico es lo suficientemente grande, encontrará orden, pero se complica rápidamente.
matemáticos demostrado en la década de 1930 Los matemáticos demostraron un teorema en la década de 1930 que luego indicaría que la respuesta a r(4, 4) es 18. Y desde 1995 sabemos que r(4,5) = 25. Así que limite su lista de invitados a 24 si desea mantener la posibilidad de no invitar ni a cuatro conocidos ni a cinco extraños.
No estamos seguros de si hay implicaciones en el hecho de que cuatro conocidos se pongan al día o reúnan a cinco extraños para intercambiar historias. Pero si invitas a 25 personas a una fiesta, la teoría de Ramsey dice que puedes estar seguro de que una de ellas voluntad suceder.
Dejando a un lado la dinámica del grupo, encontrar el número de Ramsey para un problema significa esencialmente determinar la menor cantidad de elementos que un sistema necesita para estar seguro de una determinada propiedad.
Es útil en informática y matemáticas para estructurar redes de comunicación y crear algoritmos de detección de fraude, entre otras cosas.
“Dado que estos números son muy difíciles de encontrar, los matemáticos buscan estimaciones”, Verstraete explica. “¿Cómo podemos encontrar no la respuesta exacta, sino las mejores estimaciones de cuáles podrían ser estos números de Ramsey?”
Después de descubrir que las estimaciones podrían ajustarse utilizando gráficos pseudoaleatoriosVerstraete y el matemático Dhruv Mubayi de la Universidad de Illinois-Chicago lograron resuelto r (3, t) en 2019.
Pero Verstraete tuvo dificultades para crear un gráfico pseudoaleatorio para r(4,t), por lo que él y Mattheus abordaron el viejo problema combinando el campo de la geometría finita con la teoría de grafos.
Con la ayuda de un hermitiano unital utilizado en geometría finita, los investigadores arreglaron s (conocidos mutuos) a las 4 y estudió el número de Ramsey como t (extraños) aumentaron.
Después de casi un año y varios obstáculos matemáticos, encontraron que r(4,t) se acerca a una función cúbica de t. Para una fiesta con cuatro personas que se conocen o t las personas que no lo hacen, es necesario3 gente.
Como afirman los investigadores, esta es la mejor estimación, pero t3 está muy cerca de la respuesta exacta. Si está interesado, su resultado se puede expresar matemáticamente como:
r(4,t) = Ω(t3/registro4t ) como t → ∞
El equipo cree que su método será útil para otros números de Ramsey y podría ayudar en la estimación de otras funciones matemáticas.
“Uno nunca debe darse por vencido, no importa el tiempo que sea necesario”, Verstraete dice. “Si descubres que el problema es difícil y estás estancado, significa que es un buen problema”.
Una preimpresión del estudio está disponible en arXivy actualmente está siendo revisado por la revista Anales de Matemáticas.