El programa Langlands ha sido descrito por el matemático Edward Frankel como el “Gran teoría unificada de matemáticas. ” Concebido por Robert Langlands en 1967, el programa incluye numerosas conjeturas destinadas a conectar reinos matemáticos dispares: teoría de números y análisis armónico. En la década de 1990, se notó una conexión similar entre la geometría y el análisis armónico, y nació el programa Geométrico Langlands. Décadas más tarde, en 2024, Dennis Gaitsgory del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn, Alemania, y ocho de sus colegas lograron un avance. En cinco documentos de preimpresión científicosque consta de casi 1,000 páginas, demostraron que una gran clase de objetos geométricos está relacionada con cantidades del cálculo. Gaitsgory ahora ha recibido el Premio Breakthrough en Matemáticas, que incluye un premio de $ 3 millones, por este logro sobresaliente.
Científico americanoPublicación de la hermana del idioma alemán alemán Spektrum der Wissenschaft habló con Gaitsgory sobre su carrera matemática, el logro de Langlands y el prestigioso premio Breakthrough.
[An edited transcript of the interview follows.]
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Has estado trabajando en el programa de Langlands geométricos durante 30 años. ¿Cuándo fue el momento en que te diste cuenta de que podrías probarlo?
Hubo un paso muy crucial que siempre fue un misterio. Esto fue resuelto por un ex estudiante graduado mío, [mathematician] Sam Raskin y sus estudiantes graduados en el invierno de 2022. Demostraron que algo no es cero. Después de esto, estaba claro que podríamos resolver una prueba.
¿Cómo te sentiste cuando te diste cuenta de que realmente podría hacerse?
Siempre lo he percibido como algún tipo de proyecto a largo plazo para el autoegio. Así que obviamente me sentí feliz, pero no era como una emoción muy fuerte ni nada. No fue un momento eureka.
La conjetura que demostramos es un caso particular de algo mucho, mucho más grande. Ha recibido mucha atención porque es una cosa bien formulada. Pero es solo un paso. Estaba feliz de que este paso se hubiera hecho, pero hay mucho más que hacer.
¿Entonces no había champán? ¿Te sentaste y continuaste trabajando?
No había champán sino algo similar. Cuando [Raskin] Dijo que podría probar esta parte crucial, hicimos una apuesta: si realmente pudiera hacerlo, le prometí una botella de whisky.
La prueba es enorme, casi 1,000 páginas. ¿Su supervisor todo en él?
Escribí el 95 por ciento. [That was] No por una buena razón, sino porque tuve una lesión por esquiar, y estaba acostado en la cama. Entonces, ¿qué más había para hacer? Estaba mirando Star Wars con mi hijo y escribiendo esto.
¿Quieres decir que hiciste ambos en el al mismo tiempo?
Inicialmente, algunas secciones en nuestros documentos llevaron el nombre de Star Wars episodios, pero al final, eliminamos [that element]principalmente por preocupaciones de derechos de autor. Pero un artículo todavía tiene una cita de Star Wars: “El miedo mantendrá los sistemas locales en línea”. Fue un muy buen ajuste, porque en este documento, tuvimos que controlar el espacio módulo de los sistemas locales.
Una cosa es entender algo pero otra para escribir todo en detalle. ¿Aparecieron algún problema?
Por supuesto. Teníamos una hoja de ruta, pero todavía había muchos espacios en blanco para llenar, muchas teorías para desarrollarse.
Pero no creo que haya un momento de pánico real. A veces no estaba seguro de si una cosa requeriría tres páginas más, 20 páginas más o 50 páginas más. Solo había una incertidumbre de cuánto más se debía hacer trabajo.
¿Hiciste todo esto desde tu cama?
No, en realidad fue un proceso cooperativo. La prueba tiene nueve coautores: todos los días escribía a este tipo y a ese tipo. Todos tienen perspectivas diferentes y un tipo de experiencia ligeramente diferente. En cierto sentido, era como si estuviera acostado en la cama, y mis colegas me estaban visitando, así que no me aburrí. Realmente me sostuvo que podría hablar con ellos por correo electrónico.
Hay algunas personas que van a un bar para beber; En su lugar, solo hablamos de matemáticas. Hablan de fútbol; Hablamos de matemáticas. Es lo mismo; Es la interacción humana.
Hablando de interacción humana, ¿hablas de tu trabajo con tus amigos y familiares?
No. No son matemáticos. Técnicamente no pueden entender. Mi esposa estaba a mi lado y conoce la historia y el desarrollo del tema. Ella sabe cómo se ven estas cosas desde el exterior, pero no puedo describir el contenido. [to her].
Mucha gente diría que el programa Langlands es uno de los temas de investigación más complejos del mundo. ¿Estarías de acuerdo?
La pregunta es: ¿Qué quieres decir con complejo? Sí, uno no puede venir de la calle y solo estudiar esto. Pero lo mismo se aplica a lo que otros matemáticos, como Peter Scholze [who studies arithmetic geometry at the University of Bonn in Germany and the Max Planck Institute for Mathematics]están haciendo. No tengo los antecedentes para hablar que está dando y comprende lo que dice porque hay muchos detalles técnicos.
Es lo mismo aquí. Uno tiene que invertir un esfuerzo para comprender cómo funcionan las cosas, y luego uno debería poder entender. Pero eso no dice que lo que estamos haciendo es intrínsecamente más complejo. Creo que todas las matemáticas fronterizas son igualmente complicadas. Todos estamos tratando de empujar un límite en diferentes puntos.
¿Cuántas personas pueden entender las partes técnicas de su trabajo?
Ahora la comunidad está creciendo porque la gente está estudiando nuestra prueba. Pero hasta el año pasado, aparte de [my] Ocho coautores, puede haber habido cinco o seis personas que tendrían la capacidad de comprender los detalles técnicos.
¿Desea que más personas estuvieran involucradas en este tipo de investigación?
Sí, definitivamente. Hasta ahora ha sido una comunidad muy pequeña: las personas que empujaron los límites fueron básicamente mis antiguos alumnos más dima [a math professor at the University of Wisconsin–Madison]quien es mi edad. Fue un amigo cercano y colaborador durante muchos años. Entonces algunas ideas se recicla. Sería bueno tener una afluencia de personas desde el exterior. Podrían traer algo totalmente nuevo. Estaría muy emocionado de ver nuevas ideas.
¿Qué se podría hacer para que más personas se interesen en el problema geométrico de Langlands?
Supongo más conferencias y talleres sobre ese tema. Habrá una clase magistral en Copenhague, por ejemplo, en agosto. Y habrá una conferencia en Berkeley, California. Pero ahora nuestra investigación recibe más atención porque nuestra prueba está fuera. Regularmente recibo correos electrónicos, principalmente de personas más jóvenes.
[At the time of my interview]Por ejemplo, [I am set to give] Una charla con una gran audiencia de estudiantes de posgrado en Graz, Austria. Hablaré sobre los cimientos de la geometría algebraica derivada. Por lo tanto, los estudiantes graduados quieren estudiar estas fundaciones, y con suerte algunas de ellas proceden a estudiar el programa Geométrico de Langlands. Pero necesitan geometría algebraica derivada para comprender esto. [Editor’s Note: This talk was scheduled for April 2.]
Entonces, espera atrapar el interés de los estudiantes jóvenes enseñándoles geometría algebraica derivada. ¿Cómo te interesaste en el programa Langlands en primer lugar?
Fue en la década de 1990, cuando [Alexander] Sasha Beilinson [a mathematician now at the University of Chicago] Llegó a Tel Aviv [University]donde era un estudiante graduado. Beilinson dio dos charlas; Estaba al comienzo de su propio trabajo sobre el tema. Y estaba completamente cautivado. Había aprendido sobre el programa clásico de Langlands …, pero antes de su charla, no tenía idea de que podría estar relacionado con la geometría. Era la primera vez que escuché sobre eso. Los objetos de los que habló me parecían tan atractivos. Era exactamente el tipo de objeto matemático que quería estudiar. Y todos se unieron milagrosamente en esto. Y yo estaba como, “Wow”. Tuve que trabajar en eso.
¿La misma fascinación sigue impulsando su investigación?
Por supuesto que las cosas evolucionaron. Una cosa es cuando tienes 20 años, otra cosa cuando tienes 50. No sé qué me impulsa ahora. Es como un deseo real. Es como el apetito. Quiero hacer matemáticas. Y si no puedo, si se me impide hacer matemáticas, como cuando estoy de vacaciones familiares durante una semana con mis hijos, y no puedo hacer matemáticas, sufro.
¿En realidad? ¿Eso sucede después de una semana?
Quizás una semana todavía esté bien. Pero después de dos semanas, me convierto en un ser humano terrible.
Bueno, eso‘Es maravilloso encontrar tal pasión en la vida.
No es realmente pasión.
¿Es quizás más como algún tipo de adicción?
Sí, tal vez. Es más como: el hombre necesita comer, y el hombre necesita hacer matemáticas.
¿En qué estás trabajando ahora? ¿Te sumergiste en un abismo?
Estoy tratando de generalizar nuestro trabajo. Tengo varios proyectos en diferentes etapas. Hay mucha teoría para desarrollarse, pero al menos ahora tenemos un programa. Sabemos lo que queremos.
¿Tienes una nueva hoja de ruta?
Digamos que tenemos la hoja de ruta de los deseos, pero no una hoja de ruta de métodos como el que yo [described] en 2013 [and published in 2015]. En aquel entonces, sabía exactamente lo que debía probarse. Ahora sé lo que quiero, pero no sé cómo llegar allí.
Tal vez obtenga nuevas ideas de nuevos investigadores.
Eso sería muy agradable. Pero creo que, en cierto sentido, es como un proceso darwiniano: si las matemáticas son valiosas, se estudiará. Y más personas entenderán y se sentirán atraídas. Y si las matemáticas son aburridas, entonces es una pena. El tiempo se mostrará.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con permiso.