la versión original de esta historia apareció en la revista Quanta.
Imagínese un extraño ejercicio de entrenamiento: un grupo de corredores comienza a trotar alrededor de una pista circular, y cada corredor mantiene un ritmo único y constante. ¿Todos los corredores terminarán “solos” o relativamente lejos de los demás, al menos una vez, sin importar su velocidad?
Los matemáticos conjeturan que la respuesta es sí.
El problema del “corredor solitario” puede parecer simple e intrascendente, pero surge de muchas formas en matemáticas. Es equivalente a preguntas de teoría de números, geometría, teoría de grafos y más: sobre cuándo es posible obtener una línea de visión clara en un campo de obstáculos, o dónde podrían moverse las bolas de billar en una mesa, o cómo organizar una red. “Tiene tantas facetas. Toca muchos campos matemáticos diferentes”, dijo Matthias Beck, de la Universidad Estatal de San Francisco.
Para sólo dos o tres corredores, la prueba de la conjetura es elemental. Los matemáticos lo demostraron con cuatro corredores en la década de 1970, y en 2007 habían llegado hasta siete. Pero durante las últimas dos décadas nadie ha podido avanzar más.
Luego, el año pasado, Matthieu Rosenfeld, matemático del Laboratorio de Informática, Robótica y Microelectrónica de Montpellier, resolvió la conjetura para ocho corredores. Y en unas pocas semanas, un estudiante de segundo año en la Universidad de Oxford llamado Tanupat (Paul) Trakulthongchai se basó en las ideas de Rosenfeld para demostrarlo ante nueve y diez corredores.
El repentino progreso ha renovado el interés en el problema. “Es realmente un salto cualitativo”, afirmó Beck, que no participó en el trabajo. Agregar solo un corredor hace que la tarea de probar la conjetura sea “exponencialmente más difícil”, dijo. “Pasar de siete corredores a ahora 10 corredores es increíble”.
La carrera inicial
Al principio, el problema del corredor solitario no tenía nada que ver con correr.
En cambio, los matemáticos estaban interesados en un problema aparentemente no relacionado: cómo utilizar fracciones para aproximar números irracionales como pi, una tarea que tiene una gran cantidad de aplicaciones. En la década de 1960, un estudiante de posgrado llamado Jörg M. Wills conjeturó que un método centenario para hacerlo es óptimo y que no hay forma de mejorarlo.
En 1998, un grupo de matemáticos reescribió esa conjetura en el lenguaje de la carrera. Digamos que N corredores comienzan desde el mismo lugar en una pista circular que tiene 1 unidad de longitud y cada uno corre a una velocidad constante diferente. La conjetura de Wills equivale a decir que cada corredor siempre terminará solo en algún momento, sin importar cuáles sean las velocidades de los demás corredores. Más precisamente, cada corredor se encontrará en algún momento a una distancia de al menos 1/N de cualquier otro corredor.
Cuando Wills vio el artículo del corredor solitario, le envió un correo electrónico a uno de los autores, Luis Goddyn de la Universidad Simon Fraser, para felicitarlo por “este maravilloso y poético nombre”. (Respuesta de Goddyn: “Oh, todavía estás vivo”).
Los matemáticos también demostraron que el problema del corredor solitario equivale a otra pregunta más. Imagine una hoja infinita de papel cuadriculado. En el centro de cada cuadrícula, coloca un cuadrado pequeño. Luego comienza en una de las esquinas de la cuadrícula y dibuja una línea recta. (La línea puede apuntar en cualquier dirección que no sea perfectamente vertical u horizontal.) ¿Qué tamaño pueden alcanzar los cuadrados más pequeños antes de que la línea deba llegar a uno?
A medida que proliferaron las versiones del problema del corredor solitario en todas las matemáticas, creció el interés en la cuestión. Los matemáticos demostraron diferentes casos de la conjetura utilizando técnicas completamente diferentes. A veces se basaban en herramientas de la teoría de números; en otras ocasiones recurrieron a la geometría o la teoría de grafos.