El 1 de enero de 1976, la nave espacial Viking 1 entró en la órbita de Marte.
Un mes después, mientras una agradable noche de verano se extendía ante ellos en Pasadena, California, docenas de controladores de la NASA observaron impotentes una transmisión retrasada 19 minutos mientras el módulo de aterrizaje Viking 1 se separaba del orbitador.
Tres horas más tarde, el módulo de aterrizaje se hundió en la atmósfera marciana a 16.000 kilómetros por hora. Diez minutos más tarde, tras una aproximación diabólicamente compleja y sin ayuda del JPL, el módulo de aterrizaje realizó un aterrizaje perfecto en Marte.
Para Mission Control, no ayudó que, cuando Viking 1 entró en la órbita marciana y apuntó su cámara hacia la superficie, el lugar de aterrizaje seleccionado originalmente resultó ser "al menos dos veces más accidentado que el promedio de Marte", lo que provocó una búsqueda frenética de un nuevo sitio.
Afortunadamente, se encontró un sitio más seguro que, en palabras de los científicos, todavía era "más accidentado que el promedio marciano", pero "cerca del promedio marciano en elevaciones accesibles para Viking" y "cerca del promedio marciano en reflectividad".
Incluso a 340 millones de kilómetros de la Tierra, la humilde media resultó ser el dispositivo estadístico que guió al Viking 1 a un lugar seguro en un mundo hostil.
El medio sigue haciendo sentir su utilidad en todo tipo de situaciones, a menudo de maneras realmente no obvias. Consideremos, por ejemplo, otra casualidad.
Cinco días después de que el módulo de aterrizaje Viking aterrizara en Marte, el 25 de julio de 1976, el orbitador Viking transmitió a la Tierra la siguiente fotografía.
La foto fue inmediatamente descartada como un mero juego de luces y sombras junto con datos faltantes (las “motas” oscuras en la imagen). Sin embargo, se convirtió en uno de los ejemplos más famosos de pareidolia: nuestra tendencia a detectar patrones, especialmente rostros, y atribuirles significado.
Y no se trata sólo de caras en Marte o la Luna.
La gente ha visto formas de animales y ovnis entre las nubes. En la Tierra, la gente ha visto tazas y platillos, cacerolas con asas, astas de banderas, martillos, personas colgando de postes, triángulos, rectángulos y, sobre todo, tendencias vertiginosas en gráficos y diagramas que han estado cómodamente en poco más que un paseo aleatorio.
No es que estos patrones no existan. A menudo existen, aunque sea de forma ligera y efímera, y cuando están ahí, nuestro sistema de visión ha evolucionado para detectar su presencia casi todas las veces. Lamentablemente, los patrones a menudo nunca significan lo que creemos que significan.
Entonces, ¿dónde está en todo esto la conexión con el medio?
Un representante para cada ocasión
La conexión con el medio surge de lo contrafactual, es decir, de datos en los que no se ven instantáneamente cacerolas o personas colgando de mástiles de banderas. En otras palabras, datos en los que no es fácil detectar tendencias y patrones.
A menudo, las tendencias en los datos no se expresan de manera que le brinden una ventaja evolutiva para detectarlas. Entonces tus ojos no logran verlos. Tu cerebro no logra interpretarlos. Ahí es cuando se necesitan con urgencia dispositivos como la media, la mediana, la moda y las puntuaciones percentiles.
Medidas estadísticas como la media pueden comprimir el ruido y extraer el patrón de una forma mensurable y procesable, siempre que exista.
Considere los siguientes tres gráficos que muestran el ausentismo diario en las escuelas públicas de la ciudad de Nueva York en los años escolares 2015-16, 2016-17 y 2017-18.
El eje X representa los días escolares y el eje Y representa el porcentaje de ausentismo diario. Cada barra representa la tasa agregada de ausentismo diario en todas las escuelas de la Ciudad de Nueva York para un día escolar en particular, como el 22 de octubre de 2015.
Este es un ejemplo clásico de un conjunto de datos de panel en el que las unidades, i, son días escolares, la variable de tiempo, t, es el año escolar, y la variable de respuesta, yit, es el porcentaje diario agregado de ausentismo en todas las escuelas en el día escolar, i, en el año, t.
Sólo a partir de los gráficos, ¿puede decirse si el ausentismo ha empeorado, mejorado o simplemente ha fluctuado sin una tendencia clara durante los tres años que constituyen el panel de datos?
A continuación se muestra otro ejemplo que muestra los valores anuales del índice de precios de la vivienda (HPI) a nivel estatal en los Estados Unidos de 2020 a 2025.
El eje X representa un estado de EE. UU. y el eje Y representa el HPI anual de ese estado. Cada barra representa el valor anual del HPI de un estado para el año correspondiente, suponiendo una base de 100 en 1975.
¿Cuál es su opinión sobre la tendencia del precio de la vivienda expresada en este panel de datos de seis años? ¿Los precios han aumentado, disminuido o fluctuado con indiferencia?
Es difícil para nosotros detectar tendencias y patrones en esos datos.
Entonces, ¿cuál sería un buen representante que resaltaría eficientemente la tendencia, si existe?
¿Sería el valor máximo o mínimo un buen candidato? ¿Qué tal la moda (el valor que ocurre con más frecuencia) o la mediana (el valor alrededor del percentil 50)?
La estadística que elija dependerá completamente de cómo pretenda utilizarla.
Revisemos el panel de datos de ausentismo diario.
El Departamento de Educación de EE. UU. define el ausentismo crónico como estudiantes que faltan “10% o más a la escuela”. Estrictamente hablando, el ausentismo crónico es una medida anual a nivel de estudiante. Pero si un sistema escolar tuviera el objetivo operativo adicional de mantener la tasa de ausentismo diario también por debajo del 10%, entonces querría monitorear la tasa máxima de ausentismo diario.
El siguiente cuadro utiliza los datos del panel de datos de ausentismo que se mostró anteriormente. Para cada año escolar, muestra el ausentismo diario máximo en todas las escuelas.
Es inmediatamente evidente que trazar el valor máximo diario pinta un panorama preocupante de la asistencia diaria a la escuela.
Ahora revisemos el panel de datos del índice de precios de la vivienda. Si la política económica federal requiere el seguimiento del índice medio anual de precios de la vivienda a nivel estatal, los formuladores de políticas querrán estar atentos a un gráfico como el siguiente.
El siguiente gráfico utiliza los datos del panel de datos del HPI y muestra el HPI anual medio en el panel de 50 estados más DC de 2020 a 2025. Nuevamente, la tendencia es inmediatamente visible cuando utilizamos una estadística resumida adecuada.
¿Qué tal usar la suma como estadística resumida?
Hay dos problemas con el uso de la suma.
En primer lugar, su valor suele ser proporcional al tamaño de la muestra. La suma confunde el valor “típico” (resumen) con el número de observaciones, lo que dificulta comparar muestras de diferentes tamaños.
En segundo lugar, muchas veces la suma no significa nada. Sumar observaciones sólo tiene sentido si son aditivas. Las observaciones como índices, tasas y porcentajes no son aditivas.
Por ejemplo, la suma de los índices de precios de la vivienda en todos los estados es un verdadero dolor de cabeza.
Pero no nos apresuremos a descartar la suma.
La media como suma ponderada por probabilidad
Supongamos que modificamos la suma de los valores observados para que la importancia de cada valor distinto esté ponderada por el factor correcto, un factor que refleja la frecuencia con la que se observa ese valor.
Normalmente, cuando se multiplica un número entero A por otro número entero B, B actúa como una lupa numérica para A, y viceversa. Estás magnificando el efecto de A por B.
Pero aquí nos gustaría hacer lo contrario. Nos gustaría "debilitar" la importancia de cada valor distinto en un factor. El factor que elegimos es la probabilidad de ocurrencia de ese valor, p.
Desarrollemos esta idea.
Supongamos que hay k valores distintos x1, x2,…, xi,…, xk en una población de tamaño N. Observe que k ≤ N ya que cada xi puede ocurrir más de una vez en la población.
Sea Ni la frecuencia de aparición de xi. ¿Cuál es la probabilidad de observar xi? Es la siguiente proporción.
Usando las probabilidades, pi, expresamos la suma ponderada por probabilidad de los k valores distintos en la población de la siguiente manera.
La ecuación (1) es la fórmula para la media poblacional μ (“mu”) y utiliza las probabilidades poblacionales p1, p2,…, pi,…, pk.
La probabilidad poblacional representa la frecuencia real de aparición del valor en toda la población.
Valor esperado
Ec. (1) es también la fórmula para el valor esperado o la expectativa incondicional de la variable aleatoria discreta X que puede tomar uno de los k valores distintos x1, x2,…, xi,…, xk con las correspondientes probabilidades p1, p2,…, pi,…, pk.
La media aritmética
Supongamos que todos los valores distintos x1 a xk en la ecuación. (1) ocurren a la misma frecuencia, m. En cuanto a la notación, representamos esta situación de la siguiente manera.
Entonces, cada probabilidad, pi, es el siguiente valor constante.
En este caso, la media se puede expresar de la siguiente manera.
Dado que m por xi es lo mismo que (xi + xi + xi…m veces), la ecuación. (1a) se puede escribir como una suma simple de todos los N valores de la población, de la siguiente manera.
Ec. (1b) es la fórmula para la media aritmética de N valores.
En el caso más simple, m = 1, es decir, cada valor distinto de la población ocurre exactamente una vez. En otras palabras, cada valor de la población es distinto. Entonces, tenemos la siguiente situación.
En este caso, k = N, y la media aritmética de N valores toma la siguiente forma familiar.
Ec. (1c) es la fórmula familiar para la media aritmética de N valores, donde cada valor de la población tiene la misma probabilidad 1/N.
La muestra y la población
En la mayoría de los casos, no tendría acceso a toda la población.
A menudo se desconoce el tamaño de la población. Piense en la población de un país: en la mayoría de los países se desconoce la población exacta.
En la práctica, estaría trabajando con una muestra finita de tamaño n en la que ha observado q valores distintos x1, x2,…, xi,…, xq donde q ≤ k ≤ N, donde k es el número de valores distintos en la población subyacente de tamaño N.
En esta muestra finita de tamaño n, anotará con qué frecuencia ocurre cada valor distinto xi. Para el i-ésimo valor distinto xi, esto le da la probabilidad de muestra pi_hat (pronunciada “pi hat” o “p hat i”).
pi_hat también se denomina probabilidad empírica porque surge de un experimento que implica la selección de una estrategia de muestreo adecuada y la toma de medidas. En consecuencia, una estadística calculada utilizando probabilidades empíricas también es de naturaleza empírica.
Usando pi_hat, escribimos la fórmula para la media muestral de la siguiente manera.
La n en X_bar_n denota el tamaño de la muestra.
Mientras que la media poblacional en la ecuación. (1) suele ser una cantidad teórica, la media muestral en la ecuación. (2) es prácticamente computable.
La media muestral sirve como estimación de trabajo de la media poblacional.
Todos usamos la media muestral porque rara vez, o nunca, tenemos acceso a la población. Considere las calificaciones de los restaurantes, por ejemplo. La calificación de aproximadamente 3,7 que vio en Google para el nuevo restaurante de la ciudad fue la media de varias calificaciones de 1 estrella, 2 estrellas, 3 estrellas, 4 estrellas y 5 estrellas dejadas por una fracción de todos los clientes que cenaron allí. Ni siquiera Google puede convencer a todos los usuarios para que dejen una calificación. Eso hace que la calificación de estrellas sea una media muestral y, por lo tanto, una mera estimación de la calificación real.
De hecho, las cosas empeoran un poco. La calificación que vio fue la media de las calificaciones dejadas únicamente por aquellos mecenas que decidieron dar una calificación. Si cree que las personas que tuvieron una experiencia excepcionalmente fabulosa o excepcionalmente pésima tienen más probabilidades de dejar una calificación, entonces las calificaciones de 1 estrella, 2 estrellas y 5 estrellas dominarán la muestra. Este dominio se producirá necesariamente a expensas de las valoraciones de 3 y 4 estrellas.
Esta sobrerrepresentación de los valores extremos puede inclinar la media hacia uno u otro extremo de la escala, provocando que la media pierda precisión. La media se convierte en una estimación sesgada de la calificación “verdadera”.
El siguiente cuadro ilustra esta situación. La muestra (mostrada por las barras naranjas) contiene una sobrerrepresentación de calificaciones de 1 y 2 estrellas, lo que hace que la media de la muestra se sesgue. En este caso, la media muestral está sesgada hacia abajo.
Por supuesto, plataformas como Google seguramente son conscientes de estos sesgos. Y es casi seguro que utilizan todos los trucos del manual del estadístico para domesticarlos, aunque tal vez a costa de aumentar la variación de la calificación estimada. En otras palabras, la calificación mostrada se vuelve menos sesgada, pero también puede convertirse en una estimación menos precisa de la calificación real. Esta tensión entre el error sistemático y la variación aleatoria (el equilibrio entre sesgo y varianza) influye en el diseño de muchos modelos estadísticos y de redes neuronales.
Sesgada o no, la muestra es todo lo que tendrá, y el valor muestral de la estadística, ya sea la media muestral, la mediana muestral, la moda muestral o cualquier otra estadística, es lo que utilizará como estimación de trabajo para tomar decisiones. De hecho, uno se sorprendería de cuánto se dedica la ciencia de datos, es decir, la ciencia misma, a estimar la media poblacional, la mediana poblacional, cualquier población, basándose en el valor de la muestra y al mismo tiempo eliminando el sesgo de esa estimación.
El papel de la probabilidad, p, en la fórmula de la media
En la fórmula de suma ponderada por probabilidad para la media, ¿por qué la ponderación debería ser específicamente p, y no alguna función de p como p2 o en general pr (r ≠ 1), o ep?
Hay dos razones de peso por las que p es la elección perfecta para el peso en la fórmula de la media ordinaria.
La razón filosófica
La primera razón es filosófica (o de sentido común, según su perspectiva) y se explica mejor con un ejemplo. Supongamos que sus datos contienen solo tres valores distintos. Supongamos que el primer valor se observa el 70% de las veces, el segundo sólo el 20% de las veces y el tercero el 10% restante de las veces. Usted querrá una muestra justa que contenga los tres valores distintos para darle más peso al primer valor, mucho menos peso al segundo e incluso menos peso al tercero. Específicamente, querrás que los tres valores tengan pesos en la proporción: 70: 20: 10 o 70/100: 20/100: 10/100. Por lo tanto, ponderar cada valor distinto por su frecuencia, o frecuencia estandarizada, en otras palabras, la probabilidad, p, concuerda gratamente con nuestro sentido de justicia.
La conexión de la media con la ley débil de los grandes números
La segunda razón para usar p se basa en algo profundo. Para saber qué es, debemos retroceder en el tiempo. Específicamente, debemos viajar a la ciudad-estado de Basilea en la antigua confederación suiza en la década de 1680, cuando el único e inigualable Jakob Bernoulli (1655-1705) hizo un pequeño descubrimiento, más tarde conocido como la Ley Débil de los Grandes Números.
Voy a permitirles un pequeño desvío para darles una breve explicación del LIN débil, lo suficiente para que podamos abordar la pregunta que nos ocupa: ¿por qué p es la elección correcta para el peso?
Si está ansioso por saber la respuesta de inmediato, es esta: si el objetivo es la media de la población ordinaria μ, p es la única opción de ponderación en la fórmula para la media que respeta la ley débil de los números grandes.
Si está dispuesto a tomar esa respuesta al pie de la letra, no necesita saber cómo funciona el LIN débil y por qué p, y solo p, respeta el LIN débil. Pero si tienes curiosidad, sigue leyendo.
Una breve introducción a la ley débil de los números grandes
La Ley Débil de los Grandes Números dice, básicamente, lo siguiente.
Primero, suponga que sus observaciones son independientes y están distribuidas de manera idéntica, o iid "Independiente" significa que la probabilidad de observar un valor no está influenciada por la probabilidad de observar ningún otro valor. "Idénticamente distribuido" significa que su configuración experimental no varía de una observación a la siguiente, y todas las observaciones se generan mediante la misma distribución de probabilidad subyacente.
Suponga también que la media poblacional existe y la varianza poblacional es finita.
En segundo lugar, incluso con observaciones iid, y sin importar cuánto haya trabajado para eliminar el sesgo de su muestra, la media de su muestra generalmente contendrá un error con respecto a la media de la población. En otras palabras, la media muestral generalmente será una estimación de la media poblacional.
Ahora viene la recompensa.
Supongamos que elige algún valor umbral positivo, ϵ, para el error que puede tolerar. La gran idea de Bernoulli fue que a medida que se recolectan muestras más grandes, se vuelve cada vez más difícil encontrar una muestra con un error absoluto mayor que su nivel de tolerancia, ϵ. Y este comportamiento no depende de qué tan pequeño sea el umbral de error que seleccione. Este comportamiento está impulsado por un concepto en estadística llamado convergencia en probabilidad.
La conclusión es que la media muestral se vuelve progresivamente más confiable con muestras más grandes. Se trata de la Ley Débil de los Grandes Números, y Jakob Bernoulli cuantificó con precisión cómo funciona su maquinaria.
La declaración exacta del LLN Débil es la siguiente.
Considere una muestra aleatoria formada por n variables aleatorias independientes X1, X2,…, Xn distribuidas idénticamente. Sea μ la media poblacional de la distribución subyacente en la que se definen las variables aleatorias. Sea Xn_bar la media muestral. Para cualquier número real positivo ϵ, la probabilidad de que la media muestral esté a más de ϵ de μ se acerca a cero a medida que el tamaño de la muestra se acerca al infinito.
Bajo estos supuestos, el LIN débil se puede expresar de la siguiente manera.
La ley débil de los números grandes implica que, bajo supuestos adecuados, la media muestral converge en probabilidad con la media poblacional.
De ello se deduce que la probabilidad muestral, p_hat, también converge en probabilidad con la probabilidad poblacional, p.
Para ver por qué esto es así, supongamos que X1, X2,…, Xn son n variables aleatorias binarias (1/0), cada una de las cuales denota el resultado de un ensayo aleatorio. Sea 1 la observación de un valor particular, como 5, y 0 cualquier otra observación, como cualquier valor distinto de 5, en un solo ensayo.
En una muestra aleatoria de tamaño 10, es decir, 10 ensayos iid, suponga que ve tres 5. Por lo tanto, su muestra podría parecerse al siguiente conjunto.
[1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0]
La probabilidad muestral pi_hat de observar un 5 es 3/10. La media muestral también resulta con el mismo valor 3/10, como sigue.
Por lo tanto, en este caso, la media muestral es también la probabilidad muestral, y el LIN débil dice que ambos convergen a la media poblacional μ, cualquiera que sea, que para una variable indicadora binaria es exactamente la probabilidad poblacional, p.
Con estos antecedentes, volvamos a mostrar por qué la probabilidad p es la elección correcta para el peso en la fórmula de la media.
En una muestra iid de tamaño n que contiene q valores distintos x1, x2,…, xq, supongamos que el i-ésimo valor distinto xi se observa ni veces. Entonces la probabilidad muestral pi_hat = ni /n, y la media muestral se pueden expresar de la siguiente manera.
A continuación, tomamos límites idénticos en ambos lados de la ecuación anterior de la siguiente manera.
Ahora tomemos el límite en el lado derecho dentro de la suma.
Hemos visto cómo las probabilidades muestrales convergen con sus contrapartes poblacionales.
Sustituyendo (6) dentro de (5), llegamos al siguiente resultado.
Por lo tanto, la elección de p como ponderación hace que la media muestral converja a la media poblacional, respetando así el LIN débil.
Ahora, supongamos que usamos p2 como peso en lugar de p. La estadística resultante obviamente no es la media muestral ordinaria X_bar_n mencionada en la ecuación. (2). Llamémoslo Tn.
La sumatoria de pj2sobre {1,…,q} en el denominador es esencial para estandarizar los pesos. Por cierto, también realizamos esta estandarización usando pi vía ∑ pj. Pero ahí lo hicimos de forma invisible porque ∑ pj=1. Eso es porque, en cualquier ensayo aleatorio, se garantiza que se observará exactamente uno de xi donde i ϵ {1,…,q}. Por lo tanto, ∑ pj = 1 cuando se suma sobre q siempre es 1. Por lo tanto, no era necesario mencionar esta suma explícitamente en el denominador.
Volvamos a la ecuación. (7) y, como antes, tomemos límites idénticos en ambos lados.
También como antes, tomaremos el límite del lado derecho dentro de la suma.
Recuerde que el LIN débil hace que la probabilidad de la muestra pi_hat converja al valor de la población pi. Entonces, una transformación continua de pi_hat como p2i_hat también convergerá al valor de población correspondiente p2i. Así, la ecuación. (8) convergerá en probabilidad al valor de población correspondiente de la siguiente manera.
Pero el valor de la población en el lado derecho de la ecuación anterior no es la media ordinaria μ. Por lo tanto, la ponderación p2 no logra estimar la media ordinaria ya que converge hacia el objetivo equivocado. Estima una estadística completamente diferente. El mismo problema surge con cualquier otra transformación estandarizada de p como ep.
Entonces, quieres construir tu propio universo
No nos adelantemos. Supongamos que todavía usamos p2 o ep como peso. Entonces, ¿qué pasa si el estadístico muestral Tn no converge con la media de la población ordinaria μ?
¿Qué tiene eso de malo?
Bueno, para citar la frase popularizada por el actor Tony Shalhoub en la serie de detectives Monk:
"Aquí está la cuestión".
Supongamos que su objetivo declarado es alguna estadística poblacional conocida, como la media ordinaria, μ. Si la estadística de muestra elegida no converge con el objetivo establecido, entonces se ha hecho una promesa incumplida. Al hacerlo, también has logrado construir un universo en forma de taza de té, un mundo imaginario de tu propio agrado, una existencia tolkieniana si lo prefieres (sin ofender a los fans de Tolkien). Un mundo que las leyes fundamentales del universo, tal como las conocemos, apenas se molestan en visitar.
Hay un final sombrío para esta historia.
En 1705, Jakob Bernoulli murió de tuberculosis cuando sólo tenía 50 años. Esta era una época en la que la tuberculosis estaba muy extendida, pero los médicos no sabían qué la causaba ni cómo curarla. El diagnóstico a menudo equivalía a una sentencia de muerte, y el deterioro podía ser largo y doloroso, pudiendo durar desde meses hasta algunos años. El paciente se fue consumiendo poco a poco, “consumido” como si fuera por algo misterioso dentro del cuerpo. Pasarían casi dos siglos más antes de que Robert Koch descubriera la causa de la tuberculosis: el microbio Mycobacterium tuberculosis.
Cuando Jakob Bernoulli murió, también dejó inacabada su obra maestra, Ars Conjectandi (“El arte de conjeturar”), que contenía su descubrimiento del LLN débil. Afortunadamente para las generaciones futuras, su sobrino Nicolaus Bernoulli (1687-1759) logró publicar la obra de su tío en 1713, ocho años después de la muerte de Jakob.
La conexión de la media con la pérdida al cuadrado
Resulta que existe una tercera razón, indirecta y no obvia, para utilizar la probabilidad p como ponderación. El papel de p en la media surge de la profunda conexión histórica de la media con la pérdida al cuadrado y el método de estimación de mínimos cuadrados. Para conocer esta conexión y las circunstancias que le dieron forma, debemos retroceder una vez más hacia la historia, esta vez hasta un punto aproximadamente un siglo después del descubrimiento del LLN Débil por parte de Jakob a finales de la década de 1680.
Ahora entramos en la Europa napoleónica de principios del siglo XIX y en las vidas profesionales de dos matemáticos en lados opuestos de las conquistas de Napoleón Bonaparte: el prolífico matemático parisino Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) y el extraordinariamente talentoso erudito Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), que tenía la habilidad de extraer ideas brillantes del éter y que Vivió en el Ducado de Brunswick-Wolfenbüttel en lo que hoy es Alemania.
Derecha: Un retrato de 1803 de Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) de Johann Christian August Schwartz (Wikipedia, dominio público)
El método de mínimos cuadrados y su conexión con la media aritmética
En 1805, exactamente 100 años después de que Bernoulli muriera en Basilea y dejara inacabado Ars Conjectandi, Legendre, uno de los mayores héroes de las matemáticas de todos los tiempos, publicó un libro en París cuyo apéndice se convertiría en el punto focal del discurso estadístico durante los siguientes 100 años.
El libro se llamaba Nouvelles Méthodes Pour La Détermination Des Orbites Des Comètes (Nuevos métodos para determinar las órbitas de los cometas) y el apéndice contenía el método de estimación de mínimos cuadrados.
Sucede que la humilde media tiene una profunda deuda con el método de mínimos cuadrados. Esta deuda es tan profunda que, si no hubiera sido por el método de mínimos cuadrados, la media habría perdido gran parte de su utilidad.
El siguiente ejemplo ilustrará esta profunda conexión.
Supongamos que desea estimar una cantidad desconocida x. x podría ser la posición de una nueva estrella que descubriste en el cielo nocturno. Para precisar x, apunta su telescopio a la supuesta ubicación de la estrella durante tres noches sucesivas y realiza tres observaciones plagadas de errores (también conocidas como “ruidosas”) x1, x2 y x3 de modo que x1, x2, x3 se pueda expresar como el valor verdadero de x más un error, de la siguiente manera.
x1 = x + ε1
x2 = x + ε2
x3 = x + ε3
Recuerde que se desconoce la verdadera x. Lo mejor que puedes hacer es calcular una estimación sorprendentemente buena de la verdadera ubicación de la estrella utilizando las tres observaciones x1, x2, x3.
En 1805, Legendre tuvo una idea innovadora al crear una estimación de este tipo: postuló que la mejor estimación de x sería aquella que penalizara gravemente los grandes errores, tanto negativos como positivos.
Las siguientes son palabras de Legendre, traducidas al inglés.
"Entre todos los principios que pueden proponerse a este efecto, creo que no hay uno más general, más exacto y más fácil de aplicar que el que hemos utilizado en las investigaciones precedentes, y que consiste en hacer mínima la suma de los cuadrados de los errores. De este modo se establece una especie de equilibrio entre los errores, que impide que prevalezcan los extremos y es muy adecuado para hacernos conocer el estado del sistema más cercano a la verdad." (Legendre, 1805, págs. 72–73)
Desafortunadamente, no es posible calcular estos errores directamente ya que cada error εi es la diferencia entre el xi observado y el x real y se desconoce el x real. Por tanto, en la práctica debemos utilizar el residual ei que es la diferencia entre el xi observado y el valor estimado de x, es decir, ei = (xi – x_hat).
Observe la diferencia de notación entre el error y el residual. Y observe la diferencia de significado entre los dos. εi denota el error de observación desconocido, mientras que ei denota el residuo que forma la estimación del error de observación.
Efectivamente, Legendre había propuesto que la mejor estimación de x sería aquella que minimizara la suma de los residuos cuadrados entre la estimación y cada observación xi.
Por tanto, la mejor estimación posible de x_hat sería aquella que minimice la siguiente suma.
En la ecuación. (9), S(x_hat) es una función de x_hat. Para encontrar el valor de x_hat que minimiza el valor de esta función, debemos tomar su derivada con respecto a x_hat, establecerla en 0 y resolver x_hat de la siguiente manera.
En este momento, es posible que haya desarrollado al menos una vaga premonición de hacia dónde se dirige esta derivación. Observemos lo que sucede cuando establecemos la derivada en la ecuación. (10) a 0 y resuelve para x_hat.
¡Aparece la media aritmética de las tres observaciones!
Ahora dime, ¿está genial o qué?
Tenga en cuenta también que la segunda derivada de S(.) es 6 > 0 (ver más abajo), lo que indica que en la media aritmética de las observaciones, la pérdida al cuadrado en las observaciones se minimiza.
En general, dada una x desconocida y un conjunto de observaciones ruidosas x1, x2, x3,…, xn, de esa cantidad, la media aritmética simple de esas observaciones es la estimación que minimiza la suma de los residuos al cuadrado entre la estimación y las observaciones. Esta media aritmética es la estimación óptima de x bajo pérdida de mínimos cuadrados.
Por el contrario, la suma de los residuos cuadrados entre la estimación y las observaciones se minimiza en un punto donde la estimación es la media aritmética de las observaciones.
Tenga en cuenta una vez más que estamos minimizando la suma de los residuos cuadrados, no los errores, aunque el método generalmente se llama método de errores de mínimos cuadrados, o simplemente, mínimos cuadrados.
Ahora, aumentemos un poco nuestras ambiciones.
Pérdida cuadrática esperada y su conexión con la media
Yendo más allá del caso especial de la media aritmética, si nuestro objetivo es minimizar el valor esperado del error cuadrático (también conocido como pérdida cuadrática esperada), entonces, una vez más, la media es el único representante de la muestra observada que cumplirá con este objetivo de diseño. Esto se puede demostrar de la siguiente manera.
Sean x1, x2, x3,…, xn varias observaciones de una variable aleatoria X. Para ilustrar, X podría representar la temperatura del aire registrada a las 12 p.m. CEST del 1 de julio por la histórica estación meteorológica Parc Montsouris en París. Entonces, x1, x2, x3,…, xn son las lecturas tomadas el 1 de julio en n años seleccionados aleatoriamente.
Supongamos que deseamos encontrar una constante adecuada c representativa de X.
El residuo al cuadrado entre xi y c es el siguiente.
A continuación, usaremos la siguiente fórmula para el valor esperado de una variable aleatoria discreta X.
Usando la fórmula anterior y las probabilidades empíricas pi_hat, la pérdida cuadrática esperada empírica E_hat(ei2) para una muestra de tamaño n que contiene q valores observados distintos viene dada por la siguiente fórmula.
Como antes, para encontrar el valor de c que minimice la pérdida empírica esperada al cuadrado, 𝐿(c), diferenciaremos 𝐿(c) con respecto a c, estableceremos la derivada en 0 y resolveremos para c de la siguiente manera.
La segunda derivada de 𝐿(c) con respecto a c es la siguiente.
Como 𝐿”(c) es positiva, establecer la ecuación (11) en cero nos dará el valor de c que minimiza la pérdida al cuadrado.
Establezcamos la Ec. (11) a cero y resolver para c.
Por lo tanto, si nuestro objetivo de diseño es encontrar un representante constante para una variable aleatoria X que minimice la pérdida cuadrática esperada empírica, es decir, lo siguiente.
Entonces, la solución es la expectativa empírica. En otras palabras, lo siguiente.
En términos simples:
La expectativa empírica E_hat(X) minimiza la pérdida cuadrática esperada empírica entre los valores observados de una variable aleatoria X y una constante representativa c de esa variable aleatoria. De manera análoga, la media poblacional, μ, minimiza la pérdida cuadrática esperada de la población, E[(X – c)2].
En cambio,
La pérdida cuadrática esperada empírica entre los valores observados de X y un representante constante c de esa variable aleatoria se minimiza en un punto donde la estimación c es la expectativa empírica E_hat(X) de X. De manera análoga, la pérdida cuadrática esperada de la población, E[(X – c)2] se minimiza en un punto donde el representante de la población es el valor esperado E(X) de X.
Hasta ahora, hemos estado trabajando en un espacio unidimensional donde hemos visto la conexión entre la media y la pérdida al cuadrado para una única variable aleatoria X.
En 1805, cuando Legendre publicó su método de mínimos cuadrados, fue mucho más allá de lo desconocido. Su objetivo era mostrar cómo se podía utilizar la minimización de la suma de errores al cuadrado para estimar los valores óptimos de todos los coeficientes en un sistema de ecuaciones lineales en el que el número de observaciones excedía el número de coeficientes. Efectivamente, en la primavera de 1805, cuando Legendre publicó “Nouvelles Méthodes…”, había apuntado nada menos que al modelo de Regresión Lineal, y presentó una técnica increíblemente simple basada en mínimos cuadrados para estimar todos los coeficientes de dicho modelo.
Legendre, Gauss y una cuestión de prioridad
Mientras tanto, a quinientas millas al este de París, el joven y extraordinariamente talentoso Gauss también estaba ocupado trabajando en un libro: un tomo sobre matemáticas celestes.
A principios del siglo XIX, Gauss no podía dejar de verse afectado en su trabajo por el clima político de Europa. Los ejércitos de Napoleón Bonaparte arrasaban el continente europeo a una velocidad cada vez mayor. El ducado de Brunswick-Wolfenbüttel en el que vivía estaba fuertemente alineado con el Reino de Prusia y, en otoño de 1806, Napoleón Bonaparte estaba a las puertas de Gauss. Para Gauss, el 14 de octubre de 1806 fue probablemente un día que le cambió la vida. Ese día, los ejércitos de Napoleón se enfrentaron al Reino de Prusia en dos batallas decisivas en Jena y Auerstedt. El duque de Brunswick comandaba las tropas en Auerstedt. Fue un desastre total. El duque recibió un disparo en los ojos y quedó ciego, indefenso e incapaz de liderar. En las semanas siguientes moriría a causa de sus heridas. Al final del día 14 de octubre, Prusia había perdido ambas batallas. Pronto perdería la mitad de su territorio en favor de Francia.
Con el duque derrotado y muerto, la tierra natal de Gauss, Brunswick, también quedó bajo la ocupación napoleónica. Al año siguiente, Napoleón disolvió el Ducado, incorporó sus tierras a un territorio recién creado llamado Reino de Westfalia y se lo entregó a su hermano menor, el extravagante Jérôme Bonaparte, quien de alguna manera logró vaciar el tesoro de Westfalia a pesar de los castigadores impuestos de guerra impuestos por el Emperador en las tierras ocupadas.
Mientras tanto, en 1806, Gauss había terminado de trabajar en la versión en alemán de su libro, pero le resultó difícil encontrar un editor local. Finalmente, encontró a alguien que accedió a publicar el trabajo con la condición de que fuera traducido al latín, probablemente para llegar a una audiencia científica paneuropea. Después de todo, dados los fuertes impuestos de guerra junto con los trucos gastadores de J. Bonaparte, podría ser seguro asumir que las instituciones académicas y los observatorios celestes en la tierra natal de Gauss no estaban repletos de dinero en efectivo gratis para comprar tomos científicos.
Finalmente, en 1809, vio la luz la Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que se mueven alrededor del Sol en secciones cónicas).
En su libro, Gauss presentó su propia versión del método de mínimos cuadrados. Si bien la exposición de Legendre era puramente algebraica, Gauss basó su método en los principios de probabilidad y probabilidad inversa desarrollados por Pierre-Simon Laplace en Francia.
Al presentar su propio método, Gauss hizo una referencia de pasada al artículo de Legendre de 1805: "… nuestro principio, que hemos utilizado desde el año 1795, ha sido publicado recientemente por LEGENDRE en la obra Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, París 1806, donde se han explicado varias otras propiedades de este principio, que, en aras de la brevedad, omitimos aquí". El énfasis es todo mío.
No sorprende que cuando la afirmación anterior llegó a manos de Legendre, desencadenara una respuesta casi inmediata del matemático mayor y de principios: una respuesta que metió al joven Gauss en muchos problemas.
El 31 de mayo de 1809, Legendre envió una carta a Gauss desde París. Después de un cortés preámbulo repleto de grandes elogios por los logros del joven matemático, Legendre llegó al verdadero punto de su misiva:
"… sentí cierta pena al ver que, al citar mis memorias en la página 221, usted dice principium nostrum quo jam inde ab anno 1795 usi sumus, etc. No hay descubrimiento que uno no pueda reclamar para sí mismo diciendo que había encontrado lo mismo algunos años antes. Pero si no se prueba esto citando el lugar donde lo publicó, tal afirmación se vuelve inútil y no es más que algo hiriente para el verdadero autor de el descubrimiento… Usted tiene suficientes tesoros propios, señor, para no tener necesidad de envidiar a nadie;…" El énfasis es todo mío.
Nadie sabrá jamás qué emociones se esconden detrás de esa prosa fulminante y de reproche.
Sin embargo, una cosa estaba clara: Legendre le había señalado a Gauss en términos muy claros que no se puede simplemente reclamar prioridad para un descubrimiento diciendo que ellos fueron los primeros en pensar en él. Deben poder citar dónde y cuándo lo publicaron.
En efecto, la pregunta aparentemente sin respuesta que Legendre también planteó a la comunidad científica fue la siguiente: si Gauss había descubierto el método de mínimos cuadrados en la década de 1790, ¿qué hacía manteniéndolo en secreto durante más de una década? ¿Por qué no lo publicó en la década de 1790?
Las correspondencias de Gauss con sus amigos y con el legendario Pierre-Simon Laplace revelan que su respuesta a tales preguntas fue, en esencia, la siguiente: en opinión de Gauss, el método de mínimos cuadrados era un concepto bastante simple que había descubierto mientras trabajaba en otro problema. Además, pensó que probablemente ya había sido utilizado por otros antes que él.
En otras palabras, en realidad no fue gran cosa, y Gauss lo mencionaría en una publicación futura junto con otros descubrimientos (que, dicho sea de paso, es exactamente lo que hizo en su libro de 1809 “Theoria motus…”).
Desafortunadamente para Gauss, Legendre tuvo una visión muy pobre de esta línea de lógica y convirtió a Gauss en blanco de amargos rencores e insultos durante las siguientes dos décadas. Laplace, un contemporáneo cercano de Legendre en París, y siempre un científico astuto y diplomático, hizo su parte para apagar la controversia dando públicamente crédito tanto a Legendre como a Gauss por el descubrimiento. Pero fue en vano. Incluso después de la muerte de Legendre en 1833, a Gauss le resultó difícil liberarse de las acusaciones de Legendre.
Independientemente de lo que Gauss pensara sobre el método de mínimos cuadrados, dominaría el discurso estadístico durante todo el siglo XIX.
Y la primacía que los mínimos cuadrados dieron a la media impulsó a la media al estatus de superpotencia.
Desventajas de la media
A pesar de todas sus ventajas, la media también adolece de algunos inconvenientes graves.
No capturar la forma distributiva de los datos
Mire el siguiente conjunto de distribuciones. A pesar de tener formas notablemente diferentes, ¡todos tienen la misma media!
La media, como estimación puntual, tiene cero capacidad para capturar la forma distributiva; en otras palabras, la esencia misma de los datos que representa. Por tanto, pierde gran parte de la información contenida en la forma del conjunto de datos. Desde un punto de vista teórico de la información, la media es una estimación con pérdidas. Esto tiene implicaciones importantes.
Por ejemplo, supongamos que sus datos cambian con el tiempo. A pesar de que diferentes grupos dentro de los datos se mueven en direcciones opuestas, la media podría seguir siendo la misma, proyectando así una imagen engañosa de estabilidad.
Si sus decisiones dependen de la forma de la distribución, la media es una mala guía. Por cierto, la mediana, la moda, el máximo y el mínimo sufren el mismo inconveniente, ya que tampoco capturan la forma distributiva de los datos.
Sensibilidad ilimitada a los valores atípicos
El segundo problema con la media es que un solo valor atípico puede tener una influencia enorme en la estadística. Esta sensibilidad a los valores atípicos surge directamente de la fórmula de la media, que es una suma ponderada por probabilidad. En una muestra de tamaño n que contiene q valores distintos x1, x2,…, xq con frecuencias n1, n2,…, nq y probabilidades muestrales p_hat1, p_hat2,…, p_hatq respectivamente, la media muestral viene dada por la siguiente fórmula.
Ahora supongamos que ampliamos esta muestra con un valor atípico, z. Supondremos que hay un único valor atípico.
La nueva media para la muestra de tamaño (n + 1) que contiene (q+1) valores distintos, es decir, el conjunto original de q valores distintos más el nuevo valor atípico, es la siguiente.
La inclusión de z ha desplazado la media en la siguiente cantidad.
Simplificando, obtenemos lo siguiente.
Si z es mayor que la media anterior, el cambio es positivo y viceversa.
Dado que z es un valor atípico, por definición, se encuentra lejos del grueso de la muestra y, a menudo, lejos de la media anterior. Entonces, el valor entre paréntesis en la ecuación. (12) será grande. Aunque el cambio real en la media es el valor entre corchetes reducido por el nuevo tamaño de muestra (n + 1), para muestras pequeñas (n pequeño), la diferencia entre corchetes no se reduce lo suficiente. Por tanto, el efecto de un valor atípico sobre la media anterior será especialmente grande en muestras pequeñas.
Pero incluso para n grande, el cambio en la media puede ser sustancial para valores extremos de z.
De hecho, la ecuación. (12) muestra que la media tiene una sensibilidad ilimitada a los valores atípicos. Incluso un solo valor atípico suficientemente extremo es suficiente para desestabilizar completamente la estadística.
Una estadística totalmente sintética
El tercer problema con la media es que es una estadística totalmente sintética. La media es un valor calculado. El mínimo, el máximo y la moda son valores observados que se encuentran en la muestra. La mediana produce el valor observado en una muestra de tamaño impar, aunque es posible que sea necesario interpolarlo en una muestra de tamaño par. La media no conlleva tales obligaciones y se ve poco afectada por tales restricciones. Es sintético por diseño.
El “aviador promedio”
La naturaleza sintética de la media, si no se identifica con prontitud, puede tener consecuencias costosas, como lo ilustra un estudio antropométrico de proporciones considerables llevado a cabo por la Fuerza Aérea de Estados Unidos en 1950.
El equipo de encuesta de la Fuerza Aérea visitó 14 bases aéreas en los EE. UU. y tomó 132 tipos de medidas corporales de más de 4.000 miembros del personal de la Fuerza Aérea en diferentes roles y rangos. Para cada medida, como altura, peso, altura de los ojos, longitud del brazo, circunferencia de la cabeza, etc., los autores de la encuesta publicaron tablas de percentiles que informan los valores de los percentiles 1 al 99, junto con la media, la mediana y la desviación estándar. El objetivo declarado de la encuesta era "proporcionar una base para el diseño de ropa, equipo y otros aspectos del entorno de vuelo".
Desafortunadamente, la encuesta no logró resaltar adecuadamente el simple hecho de que el valor promedio de una medición como la “altura al sentarse” o la “circunferencia del cuello”, utilizada por sí sola o en combinación con otras mediciones, no puede constituir una base adecuada para diseñar cualquier aspecto de la vestimenta, el equipo o el entorno operativo.
Afortunadamente, esta omisión se corrigió rápidamente cuando uno de los autores del estudio, GS Daniels, publicó un informe de seguimiento destacando los peligros de diseñar algo basado en el concepto del "hombre promedio". Daniels se esforzó en señalar que el “hombre promedio” no existía.
Recalcó su punto al mostrar cómo, para cualquier medición, si el 30% medio de los valores medidos se considera una indicación aproximada del promedio para esa medición, entonces en la muestra de 4063 personas en la encuesta original, ni un solo aviador poseía todo lo siguiente: estatura promedio, circunferencias promedio de pecho, torso, cadera, cuello, cintura y muslo, longitud promedio de mangas y entrepierna, y altura promedio de la entrepierna. Y este fue sólo un pequeño subconjunto de los 132 tipos de mediciones cubiertos en la encuesta original.
Hay que reconocer que la encuesta de la Fuerza Aérea publicó puntuaciones percentiles para cada medición que proporcionan a quien toma las decisiones una idea clara de la forma y el rango de las mediciones.
Desafortunadamente, el ejemplo de la Fuerza Aérea no fue el primero, ni será el último, en investigar promedios antropométricos. El encanto quimérico del "hombre medio" ha atraído a los científicos durante siglos.
Adolphe Quetelet y el mito del “hombre medio”
Ninguna discusión sobre la ciencia de los promedios estaría completa sin mencionar las contribuciones fundamentales de Quetelet en este campo.
En la década de 1820, el científico y astrónomo belga Adolphe Quetelet se embarcó en posiblemente uno de los estudios sistemáticos de promedios más grandes de la historia moderna. De su extenso trabajo que abarca varios años surgió (¡sorpresa, sorpresa!) el concepto del “Hombre promedio”. De hecho, creó una gran colección de “hombres promedio”, cada uno basado en una característica diferente, como la altura o el peso, o una combinación de características.
Quetelet utilizó estos seres promedio ficticios para hacer comparaciones entre grupos. Por ejemplo, hizo comparaciones aparentemente benignas entre reclutas de diferentes reinos de Europa basándose en medidas antropométricas agregadas, como la altura, el peso y las medidas promedio del pecho.
Entonces Quetelet hizo algo realmente preocupante.
Dirigió su mente analítica hacia características "morales" como las tasas agregadas de criminalidad y embriaguez para los diferentes grupos.
Quetelet notó que algunas de estas tasas específicas de grupo eran notablemente estables de un año a otro y lo tomó como una señal de que reflejaban causas y tendencias persistentes específicas de cada grupo. Asoció tales tasas específicas de grupo con el individuo "promedio" que representa ese grupo.
En efecto, Quetelet estaba ungiendo el promedio como el valor teóricamente correcto, el valor que la naturaleza pretendía para ese grupo, y las diferencias individuales eran simplemente desviaciones aleatorias del promedio.
Quetelet, que era astrónomo de profesión, había construido una falsa equivalencia entre las ruidosas observaciones astronómicas y la diversidad biológica y socioeconómica.
Se puede decir que un objeto celeste como una estrella tiene una posición teóricamente verdadera en un sistema de coordenadas específico en un momento específico. Múltiples observaciones ruidosas tomadas a través de un telescopio pueden interpretarse como desviaciones de este valor real. Pero este enfoque no se transfiere automáticamente a un grupo social de seres vivos.
Cuando se trata de características como la altura, la longitud, el peso, el intelecto o la propensión a cometer delitos de los seres vivos, no existe un valor teóricamente verdadero y pretendido por la naturaleza. El valor medio de tales características para un grupo de personas es sólo eso, un promedio.
Cualquier tipo de elevación de esta estadística al nivel de un valor previsto por la naturaleza para un grupo social, siendo la variación individual una mera desviación de este valor verdadero, constituye un salto intelectual de proporciones sorprendentes que desafía la gravedad.
Por un lado, Quetelet había regalado a las generaciones futuras un corpus amplio y rigurosamente desarrollado de influyentes trabajos estadísticos sobre promedios. Por otra parte, su obra resultó ser peligrosamente susceptible a malas interpretaciones.
Sin una contextualización adecuada, el trabajo de Quetelet podría, y lamentablemente así fue, ampliarse y tergiversarse en narrativas pseudocientíficas para elevar o condenar a todo un grupo de personas basándose únicamente en la noción de un representante promedio ficticio de ese grupo y las tasas promedio de diversas cualidades atribuidas a ese representante.
Para Quetelet, parece que estos efectos secundarios mortales nunca fueron una consideración suficiente.
Sus propias palabras delatan hasta qué punto estaba enamorado del poder de representación engañosamente eficaz ejercido por el "medio". En un momento dado, escribió lo siguiente: “Si un individuo en cualquier época dada de la sociedad poseyera todas las cualidades del hombre promedio, representaría todo lo que es grande, bueno o bello”. (Anónimo 1835, p. 661; Quetelet 1835, Vol. 2, p. 276; Quetelet 1842, p. 100)
La media sigue siendo la primera entre iguales
A pesar de todas sus deficiencias, la media, la mediana y la moda se han convertido en los superpoderes indiscutibles de la ciencia estadística. Pero incluso entre los tres, el medio es el número uno: el primero entre iguales.
La influencia de la media en la ciencia de datos es profunda y amplia. Desde medidas de dispersión como la varianza, hasta observaciones estandarizadas como el puntaje z; desde estadísticas basadas en momentos, como la media y la varianza, hasta estadísticas de forma, como la asimetría y el exceso de curtosis; desde medidas de asociación como la covarianza y la correlación de Pearson, hasta pruebas estadísticas de significancia como la prueba z y estadísticas económicas como el coeficiente de Gini, hay literalmente cientos de medidas estadísticas bien conocidas que utilizan la media en su fórmula.
En el análisis de regresión, la media ocupa un lugar de importancia incomparable. Un modelo de regresión entrenado para minimizar el error al cuadrado generalmente estimará la media condicional de la variable de respuesta.
El ejemplo más conocido de este tipo de modelo es el modelo de regresión lineal cuyo procedimiento de ajuste minimiza el error al cuadrado. La siguiente ecuación expresa la respuesta media de un modelo de regresión lineal como una función lineal de las variables de entrada x1, x2,…, xp.
En general, los modelos estadísticos, incluidos los modelos de redes neuronales, que están entrenados para minimizar la pérdida al cuadrado terminan estimando la media condicional de la variable de respuesta. Para tales modelos, la Ec. (13) se puede generalizar de la siguiente manera.
En la ecuación. (14), la función fθ(.) captura la estructura del modelo. fθ(.) puede variar desde una función lineal simple como se muestra en la ecuación. (13) a una representación terriblemente no lineal y compleja que surge de un modelo de red neuronal multicapa. El subíndice θ denota todos los pesos, sesgos y parámetros de normalización: todo lo que califica como un valor ajustable o entrenable.
Desde los tiempos promedio de viaje al trabajo que se muestran en Google Maps, hasta las calificaciones de productos mostradas en Amazon, desde los niveles de HbA1c hasta las expectativas de vida promedio que impulsan las primas de seguros, desde los puntajes promedio de las pruebas estandarizadas que dan forma a la política educativa, hasta los ingresos promedio por hora y los índices de precios al consumidor que informan la política económica, desde el tamaño promedio de las transacciones, los valores promedio de los pedidos minoristas y las tarifas promedio de las habitaciones de hotel hasta la cantidad promedio de tiempo que las audiencias dedican a leer mi trabajo antes de pasar a otras cosas, la lista de áreas en las que la media hace sentir su presencia es interminable.
El medio informa y guía todos los aspectos de la existencia humana.
Referencias
Anónimo (1835), “Sobre el hombre y el desarrollo de sus facultades, etc.—[Sur l'Homme et le Développement de ses Facultés, etc.], por A. Quetelet”, The Athenæum, 8 de agosto, 593–594; 15 de agosto de 611–613; 29 de agosto de 658–661 [URL]
Bernoulli, J. (2005[1713]), Sobre la ley de los grandes números: cuarta parte de Ars Conjectandi, O. Sheynin, (traducido al inglés)., Berlín: NG Verlag. [PDF]
Bühler, WK (1981), Gauss: un estudio biográfico, Berlín: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-49207-5.
Daniels, GS (1952), ¿El “hombre promedio”?, Nota técnica WCRD 53-7, Base de la Fuerza Aérea Wright-Patterson, OH: Wright Air Development Center. [PDF]
Gauss, CF (1809), Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientium, Hamburgo: F. Perthes e IH Besser.
Gauss, CF (1857), Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que se mueven alrededor del Sol en secciones cónicas: una traducción de “Theoria Motus” de Gauss, con un apéndice, CH Davis, trad., Boston: Little, Brown and Company.
Hald, A. (2007), Una historia de la inferencia estadística paramétrica de Bernoulli a Fisher, 1713–1935, Nueva York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-46409-1.
Hertzberg, HTE, Churchill, E. y Daniels, GS (1954), Anthropometry of Flying Personnel—1950, WADC Technical Report 52-321, Wright-Patterson Air Force Base, OH: Aero Medical Laboratory, Wright Air Development Center, US Air Force y Antioch College, Contrato AF 18(600)-30, PB111583, AD0047953. [PDF]
Legendre, A.-M. (1805), Nouvelles Méthodes pour la Détermination des Orbites des Comètes, París: Firmin Didot, págs. 72–80.
Niedersächsische Akademie der Wissenschaften zu Göttingen (sin fecha), Correspondencia completa de Carl Friedrich Gauß, base de datos de correspondencia en línea
Plackett, RL (1972), "Estudios de historia de la probabilidad y la estadística. XXIX: El descubrimiento del método de mínimos cuadrados", Biometrika, 59, 239–251, doi:10.1093/biomet/59.2.239. [PDF]
Polasek, W. (2000), “Los Bernoullis y el origen de la teoría de la probabilidad: una mirada retrospectiva después de 300 años”, Resonance, 5, 26–42, doi:10.1007/BF02837935. [PDF]
Quetelet, A. (1835), Sur l'homme et le développement de ses facultés, ou Essai de physique sociale, 2 vols., París: Bachelier.
Quetelet, A. (1842), Tratado sobre el hombre y el desarrollo de sus facultades, traducción al inglés supervisada por R. Knox y editada por T. Smibert, Edimburgo: William y Robert Chambers.
Seneta, E. (2013), “Una historia tricentenaria de la ley de los grandes números”, Bernoulli, 19, 1088–1121, doi:10.3150/12-BEJSP12. [PDF]
Stigler, SM (1986), La historia de la estadística: la medición de la incertidumbre antes de 1900, Cambridge, MA: Belknap Press de Harvard University Press, doi:10.2307/2982057
Derechos de autor
Este artículo es © Sachin Date y tiene licencia CC BY-SA.
A menos que se indique lo contrario en el título de la imagen, todas las imágenes de este artículo son © Sachin Date y tienen licencia CC BY-SA.