la versión original de esta historia apareció en Revista Quanta.
En 1917, el matemático japonés Sōichi Kakeya planteó lo que en un principio parecía nada más que un divertido ejercicio de geometría. Coloque una aguja infinitamente delgada, de una pulgada de largo, sobre una superficie plana, luego gírela para que apunte en todas direcciones. ¿Cuál es el área más pequeña que puede barrer la aguja?
Si simplemente lo giras alrededor de su centro, obtendrás un círculo. Pero es posible mover la aguja de formas ingeniosas, de modo que se consiga una cantidad de espacio mucho menor. Desde entonces, los matemáticos han planteado una versión relacionada de esta pregunta, llamada conjetura de Kakeya. En sus intentos por resolverlo, han descubierto conexiones sorprendentes con el análisis armónicoteoría de números e incluso física.
“De alguna manera, esta geometría de líneas que apuntan en muchas direcciones diferentes es omnipresente en una gran parte de las matemáticas”, dijo Jonathan Hickman de la Universidad de Edimburgo.
Pero también es algo que los matemáticos aún no comprenden del todo. En los últimos años han demostrado variaciones de la conjetura de Kakeya. en entornos más fáciles, pero la cuestión sigue sin resolverse en el espacio tridimensional normal. Durante algún tiempo, pareció como si todo el progreso se hubiera estancado en esa versión de la conjetura, a pesar de que tiene numerosas consecuencias matemáticas.
Ahora, dos matemáticos han movido la aguja, por así decirlo. Su nueva prueba derriba un obstáculo importante que se ha mantenido durante décadas, reavivando la esperanza de que finalmente pueda estar a la vista una solución.
¿Qué es el pequeño negocio?
Kakeya estaba interesado en conjuntos en el plano que contienen un segmento de recta de longitud 1 en cada dirección. Hay muchos ejemplos de conjuntos de este tipo, siendo el más simple un disco con un diámetro de 1. Kakeya quería saber cómo sería el conjunto más pequeño.
Propuso un triángulo con lados ligeramente hundidos, llamado deltoides, que tiene la mitad del área del disco. Sin embargo, resultó que es posible hacerlo mucho, mucho mejor.
El deltoides de la derecha tiene la mitad del tamaño del círculo, aunque ambas agujas giran en todas direcciones.Vídeo: Merrill Sherman/Revista Quanta
En 1919, apenas un par de años después de que Kakeya planteara su problema, el matemático ruso Abram Besicovitch demostró que si ordenas las agujas de una manera muy particular, puedes construir un conjunto de aspecto espinoso que tenga un área arbitrariamente pequeña. (Debido a la Primera Guerra Mundial y la Revolución Rusa, su resultado no llegaría al resto del mundo matemático durante varios años).
Para ver cómo podría funcionar esto, toma un triángulo y divídelo a lo largo de su base en piezas triangulares más delgadas. Luego, desliza esas piezas para que se superpongan lo más posible pero sobresalgan en direcciones ligeramente diferentes. Repitiendo el proceso una y otra vez (subdividiendo el triángulo en fragmentos cada vez más delgados y reorganizándolos cuidadosamente en el espacio) puedes hacer que tu conjunto sea tan pequeño como quieras. En el límite infinito, se puede obtener un conjunto que matemáticamente no tiene área pero que aún así, paradójicamente, puede acomodar una aguja que apunte en cualquier dirección.
“Eso es algo sorprendente y contradictorio”, dijo Ruixiang Zhang de la Universidad de California, Berkeley. “Es un conjunto que es muy patológico”.