Hay muchos tipos diferentes de números, algunos de los cuales quizás recuerdes del colegio: números naturales, racionales, irracionales, imaginarios, calculables e incalculables. Hoy, sin embargo, vamos a hablar de algo alegre: los “números felices”. Sí, efectivamente aparecen en matemáticas, y ese es realmente su nombre técnico.
Los números felices no tienen aplicaciones en el mundo real, pero hacer Tienen propiedades asombrosas, razón por la cual son tan populares entre los matemáticos aficionados. Por ejemplo, todos los números naturales se pueden dividir en números “felices” o “tristes”. Y una generalización de la “felicidad” conduce a los “números narcisistas”, que están fuertemente obsesionados con sí mismos.
No está claro quién desarrolló por primera vez el concepto de números felices. Fueron popularizados por el matemático británico Reginald Allenby en la década de 1960.: toma cualquier número natural, digamos, 13, eleva al cuadrado sus dígitos (12 = 1; 32 = 9) y súmalos (1 + 9 = 10). Luego repite este feliz cálculo con el número resultante (12 + 02 = 1). Si la suma de este segundo ejercicio es 1, has llegado a un “punto fijo”. Es decir, cada ejecución posterior del mismo proceso siempre producirá el resultado 1. Los números que eventualmente dan un 1 mediante repetidos cálculos felices se llaman números felices.
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En consecuencia, habría que llamar tristes a todos los demás números. Lo interesante es que los números tristes también siguen un patrón fijo cuando se aplica el cálculo feliz. Por ejemplo, comencemos con 4: 4.2 = 16, y 16 producirá 37 (la suma de 12 = 1 y 62 = 36). Si mantenemos este patrón, obtenemos 16 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4. Como comenzamos el feliz cálculo con 4, la secuencia numérica comienza de nuevo. Por lo tanto, si el repetido cálculo feliz de un número arroja los valores 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 o 20, el número seguramente será triste. Allenby se preguntó inmediatamente si todos los números naturales podrían dividirse en felices (con un resultado final de 1) o tristes (parte del ciclo que comienza con 4), o si el cálculo de la felicidad tiene otros puntos finales.
Hay una manera rápida de averiguarlo. Para hacer esto, primero debes verificar qué tan grande puede llegar a ser la suma de los dígitos al cuadrado de un número. Supongamos que tienes un número de un dígito, digamos 9. Su cuadrado, 81, es más grande que él mismo. Lo mismo ocurre con números de dos dígitos como 99: 92 + 92 = 162. Sin embargo, esto no es cierto para números con tres o más dígitos. Incluso para 999, la suma de los cuadrados de sus dígitos es menor que el número mismo, es decir, 243. Esto significa que si realizas repetidamente el feliz cálculo para un número de tres dígitos, solo obtendrás valores de tres dígitos. Si, por el contrario, comienzas con un número de cuatro dígitos, el feliz cálculo del primer paso conducirá a un resultado de tres dígitos.
Un algoritmo para números tristes
Para demostrar que todo número natural es feliz o triste, debes repasar todos los números de tres dígitos. Esta tarea es tediosa pero no particularmente complicada. Por ejemplo, puede crear un algoritmo breve para ayudar en el proceso que sigue estos pasos:
1. Elija un valor del 0 al 9 para i, j y k.
2. Calcular z = i2 + j2 + k2.
3. Si z = 1, entonces el número de tres dígitos así es un número feliz.
4. Si z = 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 o 20, entonces así Es un número triste.
5. Si ninguno de los casos es cierto, establezca nuevos valores para i, j y k usando la “función de piso” Piso(X), que asigna a cada número decimal su valor entero redondeado hacia abajo (Floor(1.6) = 1): i = Piso(z⁄100), j = Piso(a – 100x i⁄10), k = a – i x100- j x 10. Con estos nuevos valores para i, j y k, Continúe el algoritmo en el paso 2.
Repita este algoritmo para todos los valores numéricos de un dígito de i, j y k, y el resultado siempre será un número feliz o triste. En otras palabras, todos los números de tres dígitos son felices o tristes, al igual que todos los números de cuatro dígitos porque la suma de sus dígitos al cuadrado (el primer paso en el cálculo feliz) producirá un número de tres dígitos.
Este argumento puede continuarse para números naturales cada vez mayores. El resultado es que todo número natural es feliz o triste. No hay valor que escape a estos destinos cuando se utiliza repetidamente el feliz cálculo.
Pero los expertos no quedaron satisfechos con este resultado. Los matemáticos también se han preguntado, por ejemplo, qué porcentaje de números son felices. ¿Se vuelven más raros al aumentar de tamaño, como los números primos, o aparecen siempre aproximadamente con la misma frecuencia?
Primero, hay una cantidad infinita de números felices. Después de todo, cada potencia de 10, 10X, corresponde necesariamente a un número feliz.
Pero ¿qué pasa con su densidad ρ, es decir, la relación entre los felices y todos los números naturales? Entre los primeros 10 números naturales, hay tres felices (ρ = 0,3). Entre los primeros 100, hay 20 (ρ = 0,2). Y entre los primeros 1.000 números naturales, hay 143 felices (ρ = 0,143). Hay incluso una entrada en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras (OEIS) que trata sólo de la frecuencia de los números felices en un intervalo de 0 a 10norte. Por lo tanto, si calcula la densidad para diferentes potencias de norte, obtienes la siguiente imagen:
Ahora se podría suponer que la densidad equivale aproximadamente al 14 por ciento. Pero como demostró el matemático Justin Gilmer en 2011 en un artículo preimpreso (que era entonces publicado en 2013), los números felices no tienen una densidad claramente definida. Su densidad, demostró, depende del intervalo considerado y no converge a un límite fijo. Aunque ese resultado sorprendió a mucha gente.los números felices están lejos de ser los únicos que no tienen una densidad fija y definida.
Tal comportamiento se encuentra, por ejemplo, en el conjunto de todos los números que comienzan con 1. Entre los primeros nueve números (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), hay exactamente uno que comienza con un 1 (el número 1), que corresponde a una densidad de 1⁄9. Entre los primeros 19 números (1, 2,…, 10, 11, 12,…, 19), hay 11 que comienzan con 1, dando una densidad de 11⁄19. Y entre los primeros 99 números, todavía hay 11 que comienzan con 1, por lo que tienes una densidad de 11⁄99 = 1⁄9 en este intervalo numérico. Entre los primeros 199, hay 110 que comienzan con 1, por lo que la densidad es 110⁄199, y así sucesivamente.
La densidad fluctúa entre valores altos y bajos según el intervalo que elija. En tales casos, no se puede dar ningún límite para la densidad dentro de los números naturales enteros. Lo mismo ocurre con los números felices. Dependiendo del intervalo, su densidad varía desde un valor inferior al 12 hasta más del 18 por ciento.
Contando números felices consecutivos
Otra pregunta que mantiene ocupados a los matemáticos: ¿cuántos números felices consecutivos puede haber? Los dos primeros son 31 y 32. Para encontrar los tres primeros números felices consecutivos, debes acudir a valores de cuatro dígitos: 1.880, 1.881, 1.882.
En un artículo preimpreso de 2006, el matemático Hao Pan demostró que hay cualquier número de números felices consecutivos. (El documento fue posteriormente publicado en 2008.) El problema es que es posible que tengas que buscar durante mucho tiempo. Una secuencia con cuatro números consecutivos se puede encontrar en 7.839, una con cinco comienza con 44.488 y una con seis comienza con 7.899.999.999.999.959.999.999.996.
Otro enigma más es considerar cuántas veces se necesita el cálculo feliz para llevar un número feliz a 1. Esta cantidad se puede utilizar para definir la felicidad general de un número.. Cuantas menos iteraciones, más feliz será el número. Así, 1, 10, 100, etc. son extremadamente felices, mientras que 13 lo son un poco menos.
¿Qué número es el menos feliz sin estar triste? Entre los números de dos dígitos, es el 7. Se necesitan cinco iteraciones para pasar del 7 al 1. El siguiente es el 356, para el cual necesitas seis pasadas del feliz cálculo.
Después de ese punto, las cosas se vuelven locas. Si quieres un número aún menos feliz, terminas con un valor de 977 dígitos: 378899999…999. El número feliz con nueve iteraciones tiene 10.977 dígitos, y por lo que parece, no hay límite para el número de iteraciones. Se puede encontrar un número feliz para cualquier número. norte, lo que producirá un 1 sólo después norte repetidos cálculos felices. Por tanto, no hay límite para el grado de infelicidad.
Y las cosas se vuelven realmente emocionantes cuando se generaliza el concepto de números felices. En lugar de sumar los dígitos al cuadrado, también puedes sumar las terceras potencias. En este caso, los números naturales ya no se dividen en dos bandos sino en nueve. O las iteraciones terminan en 1 (“cubos felices”) o terminan en uno de los otros cuatro puntos fijos (153, 370, 371, 407) o en uno de cuatro ciclos: 55 → 250 → 133 → 55; 160 → 217 → 352 → 160; 136 → 244 → 136; o 919 → 1.459 → 919.
Números que vuelven a sí mismos
Esta generalización conduce a otro concepto de la teoría de números. Cuando un número consta de norte dígitos, puedes calcular la suma de sus dígitos exponenciados por norte. Para 243, por ejemplo, el resultado es: 23 + 43 + 33 = 8 + 64 + 27 = 99. Para algunos números, el resultado de este cálculo se remonta a sí mismo. Un ejemplo es 153 porque 13 + 53 + 33 = 153. Estos números se llaman narcisistas.
Todos los números de un solo dígito son narcisistas. De hecho, sólo hay 89 números narcisistas en total: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1.634, 8.208, 9.474, 54.748, 92.727, 93.084, 548.834,… y el mayor es 115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401.
Es posible demostrar que no hay números narcisistas mayores que ese con una estimación. Supongamos que un número tiene norte dígitos. El tamaño máximo de los dígitos sumados elevados a la potencia de norte resultados si todos los dígitos tienen el valor de 9: norte x9norte. Pero por encima de cierto tamaño de norte, este resultado es siempre menor que el número más pequeño que consta de norte dígitos (10norte–1). Por tanto, tal número no puede ser narcisista.
La transición se produce con números de 60 cifras: mientras que 60 x 960= 1,08 x 1059 y por lo tanto es mayor que 105961 x 961= 0,99 x 1060 y es menor que 1060. Esto es cierto para todos norte > 60. Por lo tanto, no puede haber ningún número narcisista que tenga más de 60 dígitos. Al revisar todos los números del 0 al 60 dígitos, se pueden probar si son narcisistas. Resulta que sólo hay 89 de ellos.
Debido a que sólo hay un número finito de números narcisistas, contienen muchas menos preguntas abiertas que los números felices. Pero ambas categorías son muy adecuadas para un pasatiempo divertido.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.