Investigación
Hace más de un siglo, Srinivasa Ramanujan Conmocionó al mundo matemático con su extraordinaria habilidad para ver patrones notables en los números que nadie más podía ver. El matemático autodidacta de la India describió sus ideas como profundamente intuitivas y espirituales, y los patrones a menudo le llegaban en sueños vívidos. Estas observaciones captaron la tremenda belleza y la absoluta posibilidad del mundo abstracto de las matemáticas puras. En los últimos años, hemos comenzado a ver que la IA logra avances en áreas que involucran la intuición humana profunday más recientemente en algunos de los Los problemas más difíciles en todas las ciencias.Sin embargo, hasta ahora, las últimas técnicas de IA no han contribuido a obtener resultados significativos en la investigación matemática pura.
Como parte de La misión de DeepMind Para resolver la inteligencia, exploramos el potencial del aprendizaje automático (ML) para reconocer estructuras y patrones matemáticos, y ayudar a guiar a los matemáticos hacia descubrimientos que de otro modo nunca habrían encontrado, demostrando por primera vez que la IA puede ayudar en la vanguardia de las matemáticas puras.
Nuestro trabajo de investigación, publicado hoy en la revista Nature, detalla nuestra colaboración con los mejores matemáticos para aplicar la IA para descubrir nuevos conocimientos en dos áreas de las matemáticas puras: topología y teoría de la representación. Con Profesor Geordie Williamson En la Universidad de Sydney descubrimos una nueva fórmula para una conjetura sobre permutaciones que lleva décadas sin resolverse. Con Profesor Marc Lackenby y Profesor András Juhász En la Universidad de Oxford hemos descubierto una conexión inesperada entre diferentes áreas de las matemáticas estudiando la estructura de los nudos. Estos son los primeros descubrimientos matemáticos importantes realizados con aprendizaje automático, según los principales matemáticos que revisaron el trabajo. También publicaremos artículos completos complementarios en arXiv para cada resultado que se enviará a las revistas matemáticas correspondientes (papel de permutaciones; nudos de papel). A través de estos ejemplos, proponemos un modelo de cómo otros matemáticos podrían utilizar estas herramientas para lograr nuevos resultados.
Un nudo es uno de los objetos fundamentales en la topología de baja dimensión. Es un bucle retorcido incrustado en un espacio tridimensional.
Una permutación es una reorganización de una lista ordenada de objetos. La permutación “32415” coloca el primer elemento en la tercera ubicación, el segundo elemento en la segunda ubicación y así sucesivamente.
Los dos objetos fundamentales que investigamos fueron los nudos y las permutaciones.
Durante muchos años, los matemáticos han utilizado las computadoras para generar datos que ayuden en la búsqueda de patrones. Conocidas como matemáticas experimentales, este tipo de investigación ha dado lugar a conjeturas bien conocidas, como la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer – uno de seis Problemas del Premio del Milenio, los problemas abiertos más conocidos de matemáticas (con un premio de 1 millón de dólares para cada uno). Si bien este enfoque ha tenido éxito y es bastante común, la identificación y el descubrimiento de patrones a partir de estos datos todavía depende principalmente de los matemáticos.
Encontrar patrones se ha vuelto aún más importante en matemáticas puras porque ahora es posible generar más datos de los que cualquier matemático puede razonablemente esperar estudiar en su vida. Algunos objetos de interés (como aquellos con miles de dimensiones) también pueden ser simplemente demasiado insondables para razonar sobre ellos directamente. Teniendo en cuenta estas limitaciones, creíamos que la IA sería capaz de aumentar los conocimientos de los matemáticos de formas completamente nuevas.
Se siente como si Galileo tomara un telescopio y pudiera contemplar profundamente el universo de datos y ver cosas nunca antes detectadas.
Marcus Du Sautoy, Profesor Simonyi para la Comprensión Pública de la Ciencia y Profesor de Matemáticas, Universidad de Oxford
Nuestros resultados sugieren que el ML puede complementar la investigación matemática para guiar la intuición sobre un problema al detectar la existencia de patrones hipotéticos con aprendizaje supervisado y brindar información sobre estos patrones con técnicas de atribución del aprendizaje automático:
Con el profesor Williamson, utilizamos la IA para ayudar a descubrir un nuevo enfoque a una conjetura de larga data en la teoría de la representación. Desafiando el progreso durante casi 40 años, el conjetura de invarianza combinatoriaestablece que debe existir una relación entre ciertos gráficos dirigidos y polinomios. Utilizando técnicas de ML, pudimos ganar confianza en que dicha relación realmente existe e identificar que podría estar relacionada con estructuras conocidas como intervalos diédricos rotos y reflexiones extremas. Con este conocimiento, el profesor Williamson pudo conjeturar un algoritmo sorprendente y hermoso que resolvería la conjetura de la invariancia combinatoria. Hemos verificado computacionalmente el nuevo algoritmo en más de 3 millones de ejemplos.
Con los profesores Lackenby y Juhász exploramos los nudos, uno de los objetos de estudio fundamentales en topología. Los nudos no sólo nos hablan de las muchas formas en que se puede enredar una cuerda, sino que también tienen conexiones sorprendentes con la teoría cuántica de campos y la geometría no euclidiana. El álgebra, la geometría y la teoría cuántica comparten perspectivas únicas sobre estos objetos y un misterio de larga data es cómo se relacionan estas diferentes ramas: por ejemplo, ¿qué nos dice la geometría del nudo sobre el álgebra? Entrenamos un modelo ML para descubrir tal patrón y, sorprendentemente, esto reveló que una cantidad algebraica particular (la firma) estaba directamente relacionada con la geometría del nudo, que no era conocida ni sugerida previamente por la teoría existente. Utilizando técnicas de atribución de aprendizaje automático, guiamos al profesor Lackenby a descubrir una nueva cantidad, a la que llamamos pendiente natural, que alude a un aspecto importante de la estructura pasado por alto hasta ahora. Juntos pudimos demostrar la naturaleza exacta de la relación, estableciendo algunas de las primeras conexiones entre estas diferentes ramas de las matemáticas.
Investigamos si el ML podría arrojar luz sobre las relaciones entre diferentes objetos matemáticos. Aquí se muestran dos “intervalos de Bruhat” y sus “polinomios de Kazhdan-Lusztig” asociados, dos objetos fundamentales en la teoría de la representación. Un intervalo de Bruhat es un diagrama que representa todas las diferentes formas en que se puede invertir el orden de una colección de objetos intercambiando solo dos de ellos a la vez. Los polinomios de KL les dicen a los matemáticos algo profundo y sutil sobre las diferentes formas en que este gráfico puede existir en un espacio de alta dimensión. Una estructura interesante sólo comienza a surgir cuando los intervalos de Bruhat tienen cientos o miles de vértices.
Nuestros modelos resaltan una estructura no descubierta previamente que nos guió hacia nuevos resultados matemáticos sorprendentes. Aquí se muestra una sorprendente relación entre la geometría y la firma de un nudo. La geometría de un nudo tiene que ver con su forma (por ejemplo, su volumen) cuando se mide de forma canónica. La firma es una invariante algebraica que se puede calcular observando la forma en que el nudo se cruza y se retuerce.
El uso de técnicas de aprendizaje y sistemas de inteligencia artificial es muy prometedor para la identificación y el descubrimiento de patrones en matemáticas. Incluso si ciertos tipos de patrones continúan eludiendo el aprendizaje automático moderno, esperamos nuestro papel de la naturaleza puede inspirar a otros investigadores a considerar el potencial de la IA como una herramienta útil en matemáticas puras. Para replicar los resultados, cualquiera puede acceder a nuestro cuadernos interactivos. Reflexionando sobre la increíble mente de Ramanujan, Templo de George Federico James escribió: «Los grandes avances en matemáticas no se han logrado mediante la lógica sino mediante la imaginación creativa». Al trabajar con matemáticos, esperamos ver cómo la IA puede elevar aún más la belleza de la intuición humana a nuevos niveles de creatividad.
