Antes de presentar la fórmula, es importante repasar algunos trabajos de preparación necesarios. Como dijimos anteriormente, se puede considerar la correlación como una forma de medir la relación entre dos variables. Digamos que estamos midiendo la correlación actual entre X y Y. Si existe una relación lineal, se puede considerar como una que se comparte mutuamente, es decir, la correlación entre X y Y siempre es igual a la correlación entre Y y X. Sin embargo, con este nuevo enfoque ya no mediremos la relación lineal entre X y Ypero nuestro objetivo es medir cuánto Y es una función de X. Comprender esta distinción sutil pero importante entre las técnicas de correlación tradicionales hará que la comprensión de las fórmulas sea mucho más fácil, porque en general ya no es necesariamente el caso que ξ(X,Y) es igual ξ(Y,X).
Siguiendo con la misma línea de pensamiento, supongamos que todavía quisiéramos medir cuánto Y es una función de X. Observe que cada punto de datos es un par ordenado de ambos. X y Y. Primero, debemos ordenar los datos como (X₍₁₎,Y₍₁₎),…,(X₍ₙ₎,Y₍ₙ₎) de una manera que resulte en X₍₁₎ ≤ X₍₂₎≤ ⋯ ≤ X₍ₙ₎. Dicho claramente, debemos ordenar los datos según X. Entonces podremos crear las variables. r₁, r₂, … ,rₙ dónde rᵢ es igual al rango de Y₍ᵢ₎. Con estos rangos ahora identificados, estamos listos para calcular.
Se utilizan dos fórmulas según el tipo de datos con el que esté trabajando. Si los vínculos en sus datos son imposibles (o extremadamente improbables), tenemos
y si se permiten empates, tenemos
dónde lᵢ se define como el número de j tal que Y₍ ⱼ₎ ≥ Y₍ᵢ₎. Una última nota importante sobre cuándo se permiten los empates. Además de utilizar la segunda fórmula, para obtener la mejor estimación posible es importante ordenar aleatoriamente los vínculos observados de manera que se elija un valor para clasificarlo más alto o más bajo sobre otro, de modo que (rᵢ₊₁— rᵢ) nunca es igual a cero como antes. La variable lᵢ es entonces solo el número de observaciones Y₍ᵢ₎ es en realidad mayor o igual que.
Para no profundizar demasiado en la teoría, también vale la pena señalar brevemente que esta nueva correlación viene con una buena teoría asintótica detrás que hace que sea muy fácil realizar pruebas de hipótesis sin hacer suposiciones sobre las distribuciones subyacentes. Esto se debe a que este método depende del rango de los datos y no de los valores en sí, lo que lo convierte en una estadística no paramétrica. Si es cierto que X y Y son independientes y Y es continua, entonces
Lo que esto significa es que si tiene un tamaño de muestra lo suficientemente grande, entonces esta estadística de correlación sigue aproximadamente una distribución normal. Esto puede resultar útil si desea probar el grado de independencia entre las dos variables que está probando.