Cómo una sociedad secreta descubrió los números irracionales

Por Manon Bischoff

El antiguo erudito Hipaso de Metaponto fue castigado con la muerte por su descubrimiento de los números irracionales, o al menos esa es la leyenda. Lo que realmente sucedió en el siglo V a. C. está lejos de estar claro.

Hipaso era pitagórico, miembro de una secta que se ocupaba de las matemáticas y el misticismo numérico, entre otras cosas. Un elemento central de las enseñanzas de los pitagóricos estaba relacionado con las relaciones numéricas armónicas, que incluían fracciones de números enteros.

Creían que el mundo entero podía describirse utilizando números racionales, incluidos los naturales y las fracciones. Sin embargo, cuando Hipaso examinó las proporciones de longitud de un pentagrama (el símbolo de los pitagóricos), según cuenta la historia, se dio cuenta de que algunas de las longitudes de los lados de la forma no podían expresarse como fracciones. Proporcionó así la primera prueba de la existencia de números irracionales.

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A partir de aquí, los relatos de Hippasus divergen. Algunos dicen que los pitagóricos se ofendieron por esta afirmación porque tales números iban en contra de su visión del mundo. En otros cuentos, Hipasus hizo públicos sus resultados y así violó el secreto de la secta.. De cualquier manera, se ahogó en el mar tras su descubrimiento. Algunos informes Afirman que los pitagóricos lo arrojaron de un barco. Otros afirman que su muerte fue un accidente que los pitagóricos consideraban un castigo divino.

Interpretaciones actuales de la evidencia histórica disponible., sin embargo, sugieren que estas historias son pura leyenda. El descubrimiento de Hipasoasumiendo que incluso lo logró—probablemente habría sido aclamado como un logro matemático que enorgullecía a los pitagóricos. De hecho, muchas historias cuestionables giran en torno a los pitagóricos que fueron perseguidos por sus ideas filosóficas y políticas.

Los hechos disponibles son limitados. La comunidad probablemente fue fundada en lo que hoy es el sur de Italia por Pitágoras de Samos—el erudito griego que da nombre al famoso teorema de Pitágoras (aunque tampoco está claro si demostró el teorema). Además de su interés por las matemáticas, los pitagóricos tenían una serie de puntos de vista que los diferenciaban de otros de la antigua Grecia. Rechazaron la riqueza, vivieron un estilo de vida ascético y vegetariano y creían en la reencarnación. Finalmente, el grupo sufrió varios ataques y, tras la muerte de Pitágoras, la comunidad desapareció por completo.

Respecto a la historia de Hipaso, el elemento que los historiadores coinciden en que probablemente sea cierto es que los pitagóricos en algún momento demostraron la inconmensurabilidad de ciertas cantidades, de lo que se desprende la existencia de números irracionales.

Números más allá de fracciones

Ahora aprendemos en la escuela que algunos valores (los llamados números irracionales) no se pueden expresar como la razón de dos números enteros. Pero esta comprensión está lejos de ser obvia. Después de todo, los valores irracionales pueden al menos aproximarse mediante fracciones, aunque esto a veces resulta difícil.

La famosa prueba de los números irracionales presentada por Hipaso (u otro pitagórico) se ilustra más fácilmente con un triángulo rectángulo isósceles: consideremos un triángulo con dos lados, cada uno de longitud a, que forman un ángulo recto opuesto a una hipotenusa de longitud C.

Tal triángulo tiene una relación de aspecto fija. ^a⁄_C. Si ambos a y C son números racionales, las longitudes de los lados del triángulo se pueden elegir de modo que a y C cada uno corresponde al número natural más pequeño posible (es decir, no tienen divisor común). Por ejemplo, si la relación de aspecto fuera ²/₃ elegirías a = 2 y C = 3. Suponiendo que las longitudes del triángulo corresponden a números racionales, a y C son números enteros y no tienen divisor común, o eso pensaba todo el mundo.

Prueba por contradicción

Hipasus utilizó esta línea de pensamiento para crear una contradicción, que a su vez demostró que la suposición original debía ser errónea. Primero, utilizó el teorema de Pitágoras (el viejo a² + b² = C²) para expresar la longitud de la hipotenusa C en función de los dos lados iguales a. O, para decirlo matemáticamente: 2a² = C². Porque a y C son números enteros, de la ecuación anterior se deduce que C² debe ser un número par. Respectivamente, C también es divisible por 2: C = 2norte, dónde norte es un numero natural

Sustituyendo C = 2norte en la ecuación original da: 2a² = (2norte)² = 4norte². El 2 se puede reducir en ambos lados, dando el siguiente resultado: a² = 2norte². Porque a también es un número entero, se sigue que a es al cuadrado y por lo tanto es un número par. Esta conclusión contradice la suposición original, sin embargo, porque si a y C Ambos son pares, ninguno de ellos puede ser divisor.

Esta contradicción permitió a Hipasus concluir que la relación de aspecto de un triángulo rectángulo isósceles ^a⁄_C no puede corresponder a un número racional. En otras palabras, hay números que no se pueden representar como la razón de dos valores enteros. Por ejemplo, si el ángulo recto que forma lados a = 1, entonces la hipotenusa C = √2. Y como sabemos hoy, √2 es un número irracional con decimales que continúan indefinidamente sin repetirse nunca.

Desde nuestra perspectiva actual, la existencia de valores irracionales no parece demasiado sorprendente porque nos enfrentamos a este hecho a una edad temprana. Pero sólo podemos imaginar lo que pudo haber provocado esta comprensión hace unos 2.500 años. Podría haber puesto patas arriba la visión matemática del mundo. Por eso no es de extrañar que existan tantos mitos y leyendas sobre su descubrimiento.

Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.