En la parte 1En Risk, el juego de conquista del mundo, analizamos las posibilidades relativas de ataque y defensa. Al final de la Parte 1, concluimos que el ataque tiene un 47,15 % de posibilidades de ganar la batalla para el primer soldado y nos preguntamos cómo los famosos conquistadores pudieron lograr sus hazañas en estas condiciones. Dejamos la discusión sobre el segundo soldado para la Parte 2.
Para refrescar la memoria, en Risk, el ataque lanza hasta 3 dados, mientras que la defensa lanza hasta 2 dados. Se comparan los resultados más altos de cada uno y el perdedor pierde un soldado, ganando la defensa en caso de empate. A continuación, se comparan los segundos resultados más altos de cada uno y, una vez más, el perdedor pierde un soldado, ganando la defensa en caso de empate nuevamente.
Bueno, aquí estamos. Vamos a sumergirnos en ello.
(Aquí yPuede encontrar el código en el que confirmo las probabilidades siguientes).
Por supuesto, en lo que respecta a las probabilidades del defensor, simplemente estamos calculando el resultado más bajo, ya que solo tiene dos dados. Por lo tanto, las probabilidades son una imagen especular de las probabilidades que vimos con respecto al resultado más alto. Esta vez, hay 11 posibilidades de obtener un segundo resultado más alto de 1, 9 de 2, 7 de 3, etc. La probabilidad se puede calcular dividiendo por 36, el número total de permutaciones posibles para los dos dados de la defensa.
El cálculo del segundo resultado más alto entre los tres dados del atacante difiere significativamente de los cálculos de la Parte 1. Seré sincero. Me costó un poco hacerlo. En los cálculos que siguen, hay que tener en cuenta dos cosas.
- Debemos considerar cuántos resultados son posibles. y de cuántas maneras puede ocurrir cada resultado. Por ejemplo, un resultado de (6, 2, 3) es, por supuesto, un resultado único, pero puede ocurrir de 6 maneras, que corresponden a en qué dado aparece cada valor. Puede ser cualquiera de {(2, 3, 6), (2, 6, 3), (3, 2, 6), (3, 6, 2), (6, 2, 3), (6, 3, 2)}. Por lo tanto, este resultado corresponde a 1*6 = 6 permutaciones. Otro ejemplo: un resultado con exactamente Dos unos es en realidad una colección de cinco resultados, ya que el dado restante puede tomar cualquier valor entre 2 y 6. Y Puede ocurrir de tres maneras, {(1, 1, x), (1, x, 1), (x, 1, 1)}, correspondientes a las tres posibles ubicaciones del dado restante, por lo que este resultado en realidad corresponde a 5*3 = 15 permutaciones.
- Debemos tener cuidado con los dobles y triples. Estos deben considerarse por separado ya que, si bien hay 6 formas de obtener un resultado de (1, 2, 3), solo hay 3 formas de obtener un (1, 2, 2) y solo 1 forma de obtener un (2, 2, 2).
Con las consideraciones anteriores en mente, estamos listos para continuar.
Consideremos la probabilidad de obtener un segundo resultado más alto de 1. Esto es relativamente sencillo. Claramente, el resultado más bajo también es un 1. Por ahora, no tendremos en cuenta el caso en el que los 3 dados sean 1. El dado más alto puede tomar cualquier valor entre 2 y 6, y puede aparecer en cualquiera de los 3 dados, ya que no hemos especificado cuál de los 3 dados contiene el resultado más alto. Esto da un total de 3*5=15 permutaciones. Si sumamos el caso de un triple 1, obtenemos un total de 16 permutaciones. Mediante un argumento simétrico, podemos calcular que la misma cantidad de permutaciones da como resultado un segundo resultado más alto de 6.
A continuación, ¿qué sucede si obtenemos un 2 como el segundo resultado más alto? Por ahora, descartaremos la posibilidad de múltiples dos y asumiremos que el resultado más alto fue mayor que 2 y que el resultado más bajo fue menor que 2. El resultado más alto puede tomar 4 valores (3-6) y el valor más bajo debe ser 1, para un total de 4 resultados, y estos pueden ocurrir en cualquiera de las 6 permutaciones de ubicaciones de los dados (3 posibilidades para la ubicación del resultado más alto (dado 1, dado 2 o dado 3) y las dos posibilidades restantes para la ubicación del resultado más bajo), para un total de 4*6=24 permutaciones. Ahora consideraremos los dos dobles, pero no los dos triples. Si hay exactamente 2 dos, entonces el dado restante puede tomar cualquiera de los 5 valores (excluyendo 2), y este dado restante podría ser cualquiera de los 3 dados, para un total de 5*3=15 permutaciones. Sumando el caso final de triple 2, obtenemos un total de 24+15+1 = 40 permutaciones. Un argumento paralelo arroja el mismo resultado para un segundo resultado más alto de 5.
Por último, ¿qué pasa si se obtiene un 3 o un 4? Empecemos con el 3. Una vez más, descartando la posibilidad de múltiples treses, el resultado más alto puede tomar cualquiera de los 3 valores (4, 5 o 6) y el resultado más bajo puede tomar cualquiera de los 2 valores (1 o 2), para un total de 6 resultados. Esto puede ocurrir una vez más en cualquiera de las 6 permutaciones de dos dados, para un total de 6*6 = 36 permutaciones. En el caso de exactamente 2 treses, el otro dado podría tomar cualquiera de los 5 valores (cualquiera excepto 3) y podría ocurrir en cualquiera de los tres dados, para un total de 5*3 = 15 permutaciones adicionales. Sumando la última posibilidad de 3 treses se obtiene un total de 36+15+1=52 permutaciones. Un cálculo paralelo también arroja 52 permutaciones para un segundo resultado más alto de 4. Estos resultados se resumen en las siguientes imágenes.
Obsérvese que las probabilidades de que se produzca un ataque son exactamente simétricas. Para ser matemáticamente precisos, P(x) = P(6-x). Volveremos a este punto.
A continuación comparamos directamente las probabilidades de ataque y defensa.
Vemos que el ataque tiene aquí una ventaja importante, es mucho más probable obtener valores de 4, 5 o 6 que la defensa.