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La solución de la ecuación de difusión del calor cumple la serie de Fourier

¿Qué sucedería si calentáramos una pequeña sección de una varilla de metal aislada y la dejáramos reposar durante un tiempo? Nuestra experiencia diaria de difusión del calor nos permite predecir que la temperatura se estabilizará hasta volverse uniforme. En un escenario de aislamiento perfecto, el calor permanecerá en el metal para siempre.

Ésta es una descripción cualitativa correcta del fenómeno, pero ¿cómo describirlo cuantitativamente?

Foto por Jonny Gios en Dejar de salpicar

Consideremos el problema unidimensional de una varilla metálica delgada envuelta en un material aislante. El aislamiento impide que el calor escape de la varilla por el costado, pero el calor puede fluir a lo largo del eje de la varilla.

Puedes encontrar el código utilizado en esta historia. aquí.

El ecuación de difusión de calor es una ecuación diferencial simple de segundo orden en dos variables:

x ∈ [0, L] es la posición a lo largo de la varilla, t es el tiempo, u(x, t) es la temperatura y α es la difusividad térmica del material.

¿Qué intuición podemos obtener sobre la evolución de la temperatura al examinar la ecuación de difusión del calor?

La ecuación (1) establece que La tasa local de cambio de temperatura es proporcional a la curvatura, es decir, la segunda derivada con respecto a x, del perfil de temperatura..

Figura 1: Perfil de temperatura con su tasa de cambio local. Imagen del autor.

La figura 1 muestra un perfil de temperatura con tres secciones. La primera sección es lineal, la segunda sección tiene una segunda derivada negativa y la tercera sección tiene una segunda derivada positiva. Las flechas rojas muestran la tasa de cambio de temperatura a lo largo de la varilla.

Si alguna vez se alcanza un estado estable donde ∂u/∂t = 0, el perfil de temperatura tendrá que suavizarse hasta el punto en que sea lineal.

La solución¹ de la ecuación de difusión de calor (1) es:

Se puede verificar derivando (2) que sí satisface la ecuación diferencial (1). Para quienes estén interesados ​​en la derivación, véase el Anexo I.

Los coeficientes {Aₙ}, {Bₙ}, {λₙ}, C, D y E son constantes que deben ajustarse a partir de las condiciones iniciales y de borde del caso. El trabajo que hicimos estudiando la serie de Fourier jugará!

Las condiciones de contorno son las restricciones impuestas en x=0 y x=L. En la práctica, encontramos dos tipos de restricciones:

  • Aislamiento, que se traduce en ∂u/∂x=0 en el extremo de la varilla. Esta restricción impide que el calor fluya hacia dentro o hacia fuera de la varilla;
  • Temperatura fija en la extremidad de la varilla: por ejemplo, la punta de la varilla podría calentarse o enfriarse mediante un refrigerador termoeléctricomanteniéndola a la temperatura deseada.

La combinación de tipos de restricciones determinará el tipo apropiado de la serie de Fourier para representar el perfil de temperatura inicial.

Ambos extremos aislados

Cuando ambos extremos de la varilla están aislados, el gradiente del perfil de temperatura se establece en cero en x = 0 y x = L:

La condición inicial es el perfil de temperatura a lo largo de la varilla en t=0. Supongamos que por alguna razón oscura (quizás la varilla estaba poseída por una fuerza maligna) el perfil de temperatura se ve así:

Figura 2: Perfil de temperatura inicial. Imagen del autor.

Para ejecutar nuestra simulación de la evolución de la temperatura, necesitamos hacer coincidir la ecuación (2) evaluada en t=0 con esta función. Conocemos el perfil de temperatura inicial a través de los puntos de muestra, pero no su expresión analítica. Esa es una tarea para una expansión de la serie de Fourier.

De Nuestro trabajo sobre la serie de Fourierobservamos que un Incluso expansión de medio rango produce una función cuya derivada es cero en ambos extremos. Eso es lo que necesitamos en este caso.

La figura 3 muestra la expansión de medio rango par de la función de la figura 2:

Figura 3: Expansión de medio rango uniforme de la función de la Figura 2. Imagen del autor.

Aunque el número finito de términos utilizados en la reconstrucción crea algunas oscilaciones en las discontinuidades, la derivada es cero en los extremos.

Igualando las ecuaciones (4), (5), (6) y (7) con la ecuación (2) evaluada en t=0:

Podemos resolver las constantes:

Observemos más de cerca (14). Esta expresión establece que λₙ es proporcional al cuadrado de n, que es el número de semiperíodos que recorre un término coseno particular en el rango [0, L]En otras palabras, n es proporcional a la frecuencia espacial. La ecuación (2) incluye un factor exponencial exp(λₙt), que obliga a cada componente de frecuencia a atenuarse con el tiempo. Dado que λₙ crece como el cuadrado de la frecuencia, predecimos que los componentes de alta frecuencia del perfil de temperatura inicial se atenuarán mucho más rápido que los componentes de baja frecuencia.

La figura 4 muestra un gráfico de u(x, t) durante el primer segundo. Observamos que el componente de mayor frecuencia del lado derecho desaparece en 0,1 s. El componente de frecuencia moderada en la sección central se desvanece considerablemente, pero sigue siendo visible después de 1 s.

Figura 4: Simulación del perfil de temperatura de la Figura 2 a lo largo de 1 segundo. Imagen del autor.

Cuando la simulación se ejecuta durante 100 segundos, obtenemos una temperatura casi uniforme:

Figura 5: Simulación con aislamiento en ambos extremos durante 100 s. Imagen del autor.

Ambos extremos a una temperatura fija

Manteniendo ambos extremos a una temperatura constante, tenemos condiciones de contorno de la forma:

El conjunto de series de Fourier que estudiamos en la publicación anterior no incluía el caso de temperaturas de contorno fijas en valores distintos de cero. Necesitamos reformular el perfil de temperatura inicial u₀(x) para desarrollar una función que evalúe 0 en x=0 y x=L. Definamos un perfil de temperatura inicial desplazado û₀(x):

La función recién definida û₀(x) desplaza linealmente el perfil de temperatura inicial u₀(x) de modo que û₀(0) = û₀(L) = 0.

A modo de ilustración, la Figura 6 muestra un perfil de temperatura inicial arbitrario u₀, con temperaturas establecidas de 30 en x=0 y 70 en x=0,3. La línea verde (Cx + D) va de (0, 30) a (0,3, 70). La curva naranja representa û₀(x) = u₀(x) — Cx — D:

Figura 6: u₀(x), û₀(x) arbitrarios, y la línea Cx + D. Imagen del autor.

El perfil de temperatura inicial desplazado û₀(x), que pasa por cero en ambos extremos, se puede expandir con expansión de medio rango impar:

Igualando la ecuación (2) con (17), (18), (19), (20) y (21):

Podemos resolver las constantes:

Ahora se puede ejecutar la simulación del perfil de temperatura a lo largo del tiempo u(x, t), a partir de la ecuación (2):

Figura 7: Simulación de la evolución de la temperatura con ambos extremos fijados a temperaturas constantes. Imagen del autor.

En un régimen permanente, el perfil de temperatura es lineal entre los dos puntos de ajuste y fluye calor constante a través de la varilla.

Aislamiento en el extremo izquierdo, temperatura fija en el extremo derecho

Tenemos estas condiciones de contorno:

Seguimos básicamente el mismo procedimiento que antes. Esta vez, modelamos el perfil de temperatura inicial con un expansión uniforme de un cuarto de rango para obtener una derivada cero en el extremo izquierdo y un valor fijo en el extremo derecho:

Lo que nos lleva a las siguientes constantes:

La simulación durante 1000 segundos muestra el comportamiento esperado. El extremo izquierdo tiene un gradiente de temperatura nulo y el extremo derecho se mantiene a temperatura constante. El régimen permanente es una varilla a temperatura uniforme:

Figura 8: Simulación de la evolución de la temperatura con el extremo izquierdo aislado y el extremo derecho fijado a temperatura constante. Imagen del autor.

Revisamos el problema de la dinámica del perfil de temperatura en una varilla metálica delgada. A partir de la ecuación diferencial que la rige, derivamos la solución general.

Consideramos varias configuraciones de contorno. Los escenarios de contorno nos llevaron a expresar el perfil de temperatura inicial de acuerdo con una de las Sabores de la serie de Fourier que derivamos en la publicación anteriorLa expresión de la serie de Fourier del perfil de temperatura inicial nos permitió resolver las constantes de integración y ejecutar la simulación de u(x, t).

Gracias por tu tiempo. Puedes experimentar con el código. En este repositorio. ¡Déjame saber lo que piensas!