Averiguar qué subgrupos contiene un grupo es una forma de comprender su estructura. Por ejemplo, los subgrupos de z6 son {0}, {0, 2, 4} y {0, 3}: el subgrupo trivial, los múltiplos de 2 y los múltiplos de 3. En el grupo D6las rotaciones forman un subgrupo, pero las reflexiones no. Esto se debe a que dos reflexiones realizadas en secuencia producen una rotación, no una reflexión, del mismo modo que la suma de dos números impares da como resultado uno par.
Ciertos tipos de subgrupos llamados subgrupos “normales” son especialmente útiles para los matemáticos. En un grupo conmutativo, todos los subgrupos son normales, pero esto no siempre es cierto en general. Estos subgrupos conservan algunas de las propiedades más útiles de la conmutatividad, sin obligar a todo el grupo a ser conmutativo. Si se puede identificar una lista de subgrupos normales, los grupos se pueden dividir en componentes de la misma manera que los números enteros se pueden dividir en productos de números primos. Los grupos que no tienen subgrupos normales se llaman grupos simples y no se pueden descomponer más, del mismo modo que los números primos no se pueden factorizar. el grupo znorte es simple solo cuando norte es primo: los múltiplos de 2 y 3, por ejemplo, forman subgrupos normales en z6.
Sin embargo, los grupos simples no siempre son tan simples. «Es el nombre más inapropiado en matemáticas», dijo Hart. En 1892, el matemático Otto Hölder propuso que los investigadores reunieran una lista completa de todos los posibles grupos finitos simples. (Los grupos infinitos, como los números enteros, forman su propio campo de estudio).
Resulta que casi todos los grupos finitos simples se parecen znorte (para valores primos de norte) o pertenecer a una de las otras dos familias. Y hay 26 excepciones, llamadas grupos esporádicos. Definirlos y demostrar que no hay otras posibilidades llevó más de un siglo.
El grupo esporádico más grande, acertadamente llamado grupo de monstruos, fue descubierto en 1973. Ha más de 8 × 1054 elementos y representa rotaciones geométricas en un espacio con casi 200.000 dimensiones. «Es una locura que los humanos puedan encontrar esto», dijo Hart.
En la década de 1980, la mayor parte del trabajo que Hölder había pedido parecía haberse completado, pero era difícil demostrar que ya no quedaban grupos esporádicos por ahí. La clasificación se retrasó aún más cuando, en 1989, la comunidad encontró lagunas en una prueba de 800 páginas de principios de los años 1980. una nueva prueba finalmente fue publicado en 2004, rematando la clasificación.
Muchas estructuras en las matemáticas modernas (anillos, campos y espacios vectoriales, por ejemplo) se crean cuando se agrega más estructura a los grupos. En anillos, puedes multiplicar, así como sumar y restar; en los campos, también puedes dividir. Pero debajo de todas estas estructuras más intrincadas se encuentra la misma idea de grupo original, con sus cuatro axiomas. «La riqueza que es posible dentro de esta estructura, con estas cuatro reglas, es alucinante», dijo Hart.
historia original reimpreso con permiso de Revista Quantauna publicación editorialmente independiente de la Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia cubriendo los desarrollos y tendencias de la investigación en matemáticas y ciencias físicas y biológicas.