Una pregunta ha preocupado a la humanidad durante miles de años: ¿existen infinities? Hace más de 2.300 años, Aristóteles distinguió entre dos tipos de infinito: potencial y real. El primero se ocupa de escenarios abstractos que resultarían de procesos repetidos. Por ejemplo, si se le pidió que imaginara contar para siempre, agregando 1 al número anterior, una y otra vez, esta situación, en opinión de Aristóteles, implicaría un infinito potencial. Pero los infinitos reales, argumentó el erudito, no podían existir.
La mayoría de los matemáticos dieron a Infinities un amplio puesto hasta finales del siglo XIX. No estaban seguros de cómo lidiar con estas extrañas cantidades. ¿Qué resulta en Infinity Plus 1 o Infinity Times Infinity? Luego, el matemático alemán Georg Cantor puso fin a estas dudas. Con la teoría del set, estableció la primera teoría matemática que hizo posible lidiar con lo inconmensurable. Desde entonces, las infinidades han sido una parte integral de las matemáticas. En la escuela, aprendemos sobre los conjuntos de números naturales o reales, cada uno de los cuales es infinitamente grande, y encontramos números irracionales, como PI y la raíz cuadrada de 2, que tienen un número infinito de decimales.
Sin embargo, hay algunas personas, los llamados finitistas, que rechazan el infinito hasta el día de hoy. Debido a que todo en nuestro universo, incluidos los recursos para calcular las cosas, parece limitado, no tiene sentido calcular con infinitos. Y de hecho, algunos expertos han propuesto una rama alternativa de las matemáticas que se basa solo en cantidades finitamente construibles. Algunos ahora incluso están tratando de aplicar estas ideas a la física con la esperanza de encontrar mejores teorías para describir nuestro mundo.
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Teoría de set e infinitos
Las matemáticas modernas se basan en la teoría de conjuntos, que, como su nombre lo sugiere, gira en torno a agrupaciones o conjuntos. Puede pensar en un set como una bolsa en la que puede poner todo tipo de cosas: números, funciones u otras entidades. Al comparar el contenido de diferentes bolsas, se puede determinar su tamaño. Entonces, si quiero saber si una bolsa es más llena que otra, saco los objetos uno a la vez de cada bolsa al mismo tiempo y veo cuál se vacía primero.
Ese concepto no suena particularmente sorprendente. Incluso los niños pequeños pueden comprender el principio básico. Pero Cantor se dio cuenta de que se pueden comparar cantidades infinitamente grandes de esta manera. Usando la teoría del conjunto, llegó a la conclusión de que hay infinitos de diferentes tamaños. El infinito no siempre es lo mismo que el infinito; Algunos infinitos son más grandes que otros.
Los matemáticos Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel utilizaron la teoría del set para darle a las matemáticas una base a principios del siglo XX. Antes de entonces, los subcampos como la geometría, el análisis, el álgebra y los estocásticos estaban en gran medida aislados entre sí. Fraenkel y Zermelo formularon nueve reglas básicas, conocidas como axiomas, en las cuales ahora se basa todo el tema de las matemáticas.
Uno de esos axiomas, por ejemplo, es la existencia del conjunto vacío: los matemáticos suponen que hay un conjunto que no contiene nada; una bolsa vacía. Nadie cuestiona esta idea. Pero otro axioma asegura que también existan conjuntos infinitamente grandes, que es donde los finitistas dibujan una línea. Quieren construir una matemática que pase sin este axioma, una matemática finita.
El sueño de las matemáticas finitas
Los finitistas rechazan los infinitos no solo por los recursos finitos disponibles para nosotros en el mundo real. También les molesta los resultados contradictorios que pueden derivarse de la teoría del conjunto. Por ejemplo, según la paradoja de Banach-Tarski, puede desmontar una esfera y luego volver a montarla en dos esferas, cada una de las cuales es tan grande como la original. Desde un punto de vista matemático, no es un problema duplicar una esfera, pero en realidad, no es posible.
Si los nueve axiomas permiten tales resultados, argumentan los finitistas, entonces algo está mal con los axiomas. Debido a que la mayoría de los axiomas son aparentemente intuitivos y obvios, los finitistas solo rechazan el que, en su opinión, contradice el sentido común: el axioma en conjuntos infinitos.
Su punto de vista se puede expresar de la siguiente manera: “Solo existe un objeto matemático si se puede construir a partir de los números naturales con un número finito de pasos”. Los números irracionales, a pesar de ser alcanzados con fórmulas claras, como la raíz cuadrada de 2, consisten en sumas infinitas y, por lo tanto, no pueden ser parte de las matemáticas finitas.
Como resultado, ya no se aplican algunos principios lógicos, incluido el teorema de Aristóteles del Medio excluidosegún el cual una declaración matemática es siempre verdadera o falsa. En el finitismo, una declaración puede ser indeterminada en un cierto punto en el tiempo si el valor de un número aún no se ha determinado. Por ejemplo, con declaraciones que giran en torno a números como 0.999 …, si lleva a cabo el período completo y considera un número infinito de 9, la respuesta se convierte en 1. Pero si no hay infinito, esta declaración es simplemente incorrecta.
¿Un mundo finitista?
Sin el teorema del medio excluido, todo tipo de dificultades surgen. De hecho, muchas pruebas matemáticas se basan en este mismo principio. No es sorprendente, entonces, que solo unos pocos matemáticos se hayan dedicado al finitismo. Rechazar infinitos hace que las matemáticas sean más complicadas.
Y sin embargo, hay físicos quienes siguen esta filosofía, incluida Nicolas Gisin de la Universidad de Ginebra. Espera que un mundo finito de números pueda describir nuestro universo mejor que las matemáticas modernas actuales. Basea sus consideraciones sobre la idea de que el espacio y el tiempo solo pueden contener una cantidad limitada de información. En consecuencia, no tiene sentido calcular con números infinitamente largos o infinitamente grandes porque no hay espacio para ellos en el universo.
Este esfuerzo aún no ha progresado lejos. Sin embargo, lo encuentro emocionante. Después de todo, física parece estar atascado: Las preguntas más fundamentales sobre nuestro universo, como cómo surgió o cómo se conectan las fuerzas fundamentales, aún no se han respondido. Vale la pena intentar encontrar un punto de partida matemático diferente. Además, es fascinante explorar hasta dónde puede llegar en las matemáticas si cambia u omite algunos supuestos básicos. ¿Quién sabe qué sorpresas acechan en el reino finito de las matemáticas?
Al final, se reduce a un cuestión de fe: ¿Crees en Infinities o no? Todos tienen que responder eso por sí mismos.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con permiso.
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