Nuestro nuevo método podría ayudar a los matemáticos a aprovechar las técnicas de IA para enfrentar desafíos de larga data en matemáticas, física e ingeniería.
Durante siglos, los matemáticos han desarrollado ecuaciones complejas para describir la física fundamental involucrada en la dinámica de fluidos. Estas leyes rigen todo, desde el vórtice giratorio de un huracán hasta el flujo de aire levantando el ala de un avión.
Los expertos pueden crear escenarios cuidadosamente que hacen que la teoría vaya en contra de la práctica, lo que lleva a situaciones que nunca podrían suceder físicamente. Estas situaciones, como cuando las cantidades como la velocidad o la presión se vuelven infinitas, se llaman ‘singularidades’ o ‘soplar’. Ayudan a los matemáticos a identificar limitaciones fundamentales en las ecuaciones de la dinámica de fluidos y ayudan a mejorar nuestra comprensión de cómo funciona el mundo físico.
En papel nuevopresentamos una familia completamente nueva de soplaciones matemáticas a algunas de las ecuaciones más complejas que describen el movimiento de fluidos. Estamos publicando este trabajo en colaboración con matemáticos y geofísicos de instituciones como la Universidad de Brown, la Universidad de Nueva York y la Universidad de Stanford.
Nuestro enfoque presenta una nueva forma de aprovechar las técnicas de IA para abordar los desafíos de larga data en matemáticas, física e ingeniería que exigen precisión e interpretabilidad sin precedentes.
La importancia de las singularidades inestables
La estabilidad es un aspecto crucial de la formación de singularidad. Una singularidad se considera estable si es robusta a pequeños cambios. Por el contrario, una singularidad inestable requiere condiciones extremadamente precisas.
Se espera que las singularidades inestables jueguen un papel importante en las preguntas fundamentales en la dinámica de fluidos porque los matemáticos creen que no existen singularidades estables para el complejo 3D sin límites. Euler y Paradas ecuaciones. Encontrar cualquier singularidad en las ecuaciones de Navier-Stokes es una de las seis famosas Problemas del premio al milenio que todavía están sin resolver.
Con nuestros nuevos métodos de IA, presentamos el primer descubrimiento sistemático de nuevas familias de singularidades inestables en tres ecuaciones de fluidos diferentes. También observamos un patrón emergente a medida que las soluciones se vuelven cada vez más inestables. El número que caracteriza la velocidad del soplado, Lambda (λ), se puede trazar contra el orden de inestabilidad, que es la cantidad de formas únicas en que la solución puede desviarse de la explosión. El patrón era visible en dos de las ecuaciones estudiadas, los medios porosos incompresibles (IPM) y las ecuaciones Boussinesq. Esto sugiere la existencia de soluciones más inestables, cuyos valores de lambda hipotéticos se encuentran a lo largo de la misma línea.
Descubrimos estos singularios incorporando técnicas de aprendizaje automático, como optimizadores de segundo pedido para capacitar a las redes neuronales. Estos métodos nos permitieron refinar nuestra precisión a un nivel sin precedentes. Como referencia, nuestros errores más grandes abordados son equivalentes a predecir el diámetro de la Tierra a unos pocos centímetros.
Aquí mostramos un ejemplo del campo Vorticidad (Ω) que se encuentra para una de las ecuaciones estudiadas. Esta es una medida de cuánto gira el fluido en cada punto.
También mostramos una porción unidimensional a través del mismo campo a lo largo de un eje para todas las inestabilidades que descubrimos, mostrando la evolución de singularidades cada vez más inestables.
El método novedoso navega por un vasto paisaje de singularidades
Nuestro enfoque se basa en el uso de redes neuronales informadas por física (PINN). A diferencia de las redes neuronales convencionales que aprenden de vastas conjuntos de datos, capacitamos a nuestros modelos para que coincidan con las ecuaciones que modelan las leyes de la física. La salida de la red se verifica constantemente con lo que esperan las ecuaciones físicas, y aprende minimizando su ‘residual’, la cantidad por la cual su solución no satisface las ecuaciones.
Nuestro uso de pinns va más allá de su papel típico como herramientas de propósito general utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDES). Al integrar las ideas matemáticas directamente en la capacitación, pudimos capturar soluciones esquivas, como singularidades inestables, que tienen métodos convencionales conallados de larga data.
Al mismo tiempo, desarrollamos un marco de alta precisión que empuja los pinns a la precisión cercana a la máquina, permitiendo el nivel de precisión requerido para las rigurosas pruebas asistidas por computadora.
Una nueva era de matemáticas asistidas por computadora
Este avance representa una nueva forma de hacer una investigación matemática, combinando ideas matemáticas profundas con IA de vanguardia. Estamos entusiasmados por este trabajo para ayudar a marcar el comienzo de una nueva era donde los desafíos de larga data se abordan con AI y pruebas asistidas por computadora.