¿Puedes deshacer una peonza?
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Imagínese hacer girar una peonza y luego dejarla reposar. ¿Hay alguna manera de que puedas girar la peonza nuevamente para que termine en la posición exacta en la que comenzó, como si nunca la hubieras girado? Sorprendentemente, sí, dicen los matemáticos que han descubierto una receta universal para deshacer la rotación de casi cualquier objeto.
Intuitivamente, parece que la única forma de deshacer una secuencia complicada de rotaciones es realizando minuciosamente los movimientos exactamente opuestos, uno por uno. Pero Jean-Pierre Eckmann de la Universidad de Ginebra en Suiza y Tsvi Tlusty del Instituto Nacional de Ciencia y Tecnología de Ulsan (UNIST) en Corea del Sur han encontrado un botón de reinicio oculto que implica cambiar el tamaño de la rotación inicial por un factor común, un proceso conocido como escala, y repetirlo dos veces.
En el caso de la peonza, si su rotación inicial había girado la peonza tres cuartos, puede regresar al inicio escalando su rotación a un octavo y luego repitiéndola dos veces para obtener un cuarto de rotación adicional. Pero Eckmann y Tlusty han demostrado que también es posible hacer esto en situaciones mucho más complicadas.
“En realidad, es una propiedad de casi cualquier objeto que gira, como un espín, un qubit, un giroscopio o un brazo robótico”, dice Tlusty. “Si [objects] “Siguen un camino muy complicado en el espacio, simplemente escalando todos los ángulos de rotación por el mismo factor y repitiendo esta complicada trayectoria dos veces, simplemente regresan al origen”.
Su prueba matemática comienza con un catálogo de todas las rotaciones posibles en tres dimensiones espaciales. Este catálogo, conocido como SO(3), se puede describir utilizando un espacio matemático abstracto que tiene reglas especiales y está estructurado como una pelota, con el acto de empujar un objeto a través de una secuencia de rotaciones en el espacio real correspondiente a moverse de un punto dentro de la pelota a otro, como un gusano que atraviesa una manzana.
Cuando haces girar una peonza de alguna manera complicada, el camino equivalente dentro del espacio SO(3) comienza en el centro mismo de la bola y puede terminar en cualquier otro punto dentro de la bola, dependiendo de los detalles de la rotación. El objetivo de deshacer la rotación equivale a encontrar un camino de regreso al centro de la pelota, pero como solo hay un centro, las probabilidades de hacerlo al azar son escasas.
Algunos de los muchos caminos que se pueden tomar a través del espacio matemático SO(3), correspondientes a secuencias de rotaciones en el espacio real
Tsvi Tlusty
Lo que Eckmann y Tlusty se dieron cuenta es que, como resultado de la forma en que está estructurado SO(3), deshacer una rotación a mitad de camino es equivalente a encontrar un camino que te lleve a cualquier lugar de la superficie de la pelota. Esto es mucho más fácil que intentar llegar al centro, porque la superficie está formada por muchos puntos, dice Tlusty. Esta fue la clave para la nueva prueba.
La pareja pasó mucho tiempo persiguiendo líneas de razonamiento matemático que no conducían a ninguna parte, dice Eckmann. Lo que funcionó al final fue una fórmula del siglo XIX para combinar dos rotaciones posteriores llamada fórmula de Rodrigues y un teorema de 1889 de una rama de las matemáticas conocida como teoría de números. En última instancia, los investigadores concluyeron que el factor de escala necesario para su reinicio casi siempre existe.
Para Eckmann, el nuevo trabajo es una muestra de cuán ricas pueden ser las matemáticas incluso en un campo tan trillado como el estudio de las rotaciones. Tlusty afirma que esto también podría tener consecuencias prácticas, por ejemplo, en la resonancia magnética nuclear (RMN), que es la base de la resonancia magnética (IRM). Aquí, los investigadores aprenden las propiedades de materiales y tejidos estudiando la respuesta de los espines cuánticos dentro de ellos a las rotaciones impuestas sobre ellos por campos magnéticos externos. La nueva prueba podría ayudar a desarrollar procedimientos para deshacer rotaciones de giro no deseadas que interferirían con el proceso de obtención de imágenes.
El trabajo también podría conducir a avances en robótica, afirma Josie Hughes de la Escuela Politécnica Federal de Lausana en Suiza. Por ejemplo, se podría hacer que un robot rodante siguiera una trayectoria de segmentos repetidos, comprendiendo un movimiento confiable de rodar-restablecer-rodar que, en teoría, podría continuar para siempre. “Imagínese si tuviéramos un robot que pudiera transformarse entre cualquier forma de cuerpo sólido, luego podría seguir cualquier camino deseado simplemente mediante la transformación de la forma”, dice.
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