El 1 de octubre de 2022 sucedió algo extraño en Filipinas: 433 personas ganaron el premio mayor de la lotería local. Para esta lotería en particular, se seleccionaron al azar seis números con valores entre 1 y 55, y todos los 433 ganadores acertaron. Aún más extraño, ordenados en orden ascendente, los números ganadores fueron: 9, 18, 27, 36, 45 y 54. En otras palabras, los números ganadores fueron múltiplos de 9 (9 × 1, 9 × 2, 9 × 3, etcétera). La curiosa coincidencia atrajo la atención internacional y acusaciones de comportamiento sospechoso.
Entonces, matemáticamente hablando, ¿qué probabilidad hay de que se produzca este resultado? Al sortear números para la lotería, se eligen seis números al azar entre 55 posibilidades, sin números repetidos. No importa el orden en que se extraen los números. Describimos el número de combinaciones posibles que puede generar este proceso como 55 eligen 6, lo que equivale aproximadamente a 29 millones. Entonces, la probabilidad de que se extraigan estos números exactos es de 1 entre aproximadamente 29 millones. Pero cualquier otro resultado posible tiene una probabilidad similar de alrededor de 1 entre 29 millones. Para investigar matemáticamente la posibilidad de fraude, hay que subir de nivel la complejidad y abordar la probabilidad bayesiana, que es exactamente lo que hizo el renombrado matemático y ganador de la medalla Fields, Terence Tao, en una publicación de blog de octubre de 2022.
La verdadera pregunta que queremos que se responda es: ¿Cuál es la probabilidad de que estos números salgan en una lotería amañada? Y resulta que eso es bastante difícil de determinar, porque depende no sólo de cantidades matemáticamente calculables sino que también requiere suposiciones que no necesariamente tienen una base científica.
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Estadísticas subjetivas
Si está familiarizado con las estadísticas, en este punto se dará cuenta de que necesitamos trabajar con múltiples hipótesis y la teoría de la probabilidad bayesiana para examinar este escenario de lotería. Si estos temas te resultan desconocidos, ¡no te preocupes! Puedo ayudar.
En primer lugar, hay esencialmente dos hipótesis que debemos considerar. En la hipótesis nula, asumimos que no se ha manipulado nada y que el sorteo de la lotería es completamente justo. En la hipótesis alternativa, la lotería fue manipulada de alguna manera. Ya puedes ver que esto podría complicarse porque “de alguna manera manipulado” es un término muy vago y podría abarcar muchos escenarios. Pero intentemos trabajar con lo que tenemos.
En estadística bayesiana el procedimiento es el siguiente: Primero, determine la probabilidad de cuál de las dos hipótesis es generalmente cierta. En otras palabras, ¿asumimos que estas loterías son justas o asumimos que están manipuladas con mayor frecuencia? Esta pregunta es subjetiva sin mucho conocimiento interno sobre este tema. Algunas personas pueden asumir que la mayoría de las veces los dibujos son justos, lo que significa que se apoya la hipótesis nula. Mientras tanto, los escépticos pueden creer que la hipótesis alternativa es más probable.
A continuación, podemos calcular cuánto altera un evento estas probabilidades determinadas subjetivamente utilizando el teorema de Bayes. En este caso, el evento es, por supuesto, que los seis números sorteados de la lotería son, sorprendentemente, todos múltiplos de 9. ¿Cuál es la probabilidad de que el evento (el sorteo) ocurra bajo el supuesto de la hipótesis nula? Ya lo calculamos al principio: la respuesta es aproximadamente 1 entre 29 millones. ¿Y cuál es la probabilidad de que el evento ocurra bajo el supuesto de la hipótesis alternativa? Ahora la cosa vuelve a ser complicada porque tenemos que pensar en los escenarios en los que se podría amañar el juego.
Por ejemplo, la lotería del 1 de octubre de 2022 podría haber sido manipulada por funcionarios corruptos que arreglaron los números antes del sorteo para compartir el resultado ganador con unos pocos elegidos. Si sacaron los números al azar, entonces la probabilidad de que ocurriera el evento antes mencionado bajo la hipótesis alternativa seguiría siendo de 1 entre 29 millones; después de todo, en este escenario, los individuos corruptos habrían sacado los números de manera justa; simplemente lo habrían hecho antes del sorteo oficial.
Debido a que las probabilidades de que ocurra el evento bajo la hipótesis alternativa y nula son las mismas, se cancelan entre sí. Esto significa que las probabilidades de la hipótesis nula y de la hipótesis alternativa permanecen sin cambios por este sorteo sospechoso.
Por supuesto, otra suposición podría ser que si los funcionarios corruptos quisieran manipular un sorteo específico y eligieran los números al azar de antemano, habrían rechazado un conjunto de números tan llamativo como 9, 18, 27, 36, 45 y 54. Teniendo esto en cuenta, la probabilidad de que el evento ocurra bajo la hipótesis alternativa disminuye, haciendo que ese escenario sea menos probable.
Una máquina rota
Otra posibilidad es que esto no haya sido una manipulación deliberada sino el resultado de una máquina defectuosa que no aleatorizó los números correctamente. En esta versión de nuestra hipótesis alternativa, todavía hay más variables a considerar que dificultan la determinación de la probabilidad.
Se podría, por ejemplo, suponer que hubo un mal funcionamiento de la máquina que provocó que solo se dibujaran grupos inusuales de números entre 1 y 55 con un patrón discernible. Si es así, la probabilidad que estamos buscando es una usando el conjunto de todos estos grupos de números inusuales. La probabilidad de sacar los seis múltiplos de 9 es bastante alta bajo este supuesto, por lo que parecería que la hipótesis alternativa es apoyada, pero la hipótesis es prácticamente refutada en la próxima lotería del 3 de octubre de 2022. Ese día, los números sorteados fueron 8, 10, 12, 14, 26, 51, un grupo de números sin un patrón discernible. Si este nuevo evento se incorpora a las estadísticas bayesianas, reduce la probabilidad de la hipótesis alternativa a casi cero.
Como señala Tao, hay otras hipótesis alternativas que podemos explorar, pero éstas tampoco logran producir un resultado convincente. Identifica tres propiedades que debe cumplir una hipótesis alternativa para ser estadísticamente relevante:
La hipótesis debe tener una buena probabilidad de ser cierta en general.
La hipótesis alternativa debe tener una probabilidad mucho mayor de producir el evento específico que la hipótesis nula.
La hipótesis alternativa aún debe tener sentido, dados los acontecimientos posteriores que se han observado, como el resultado de loterías posteriores.
Esos tres puntos nos ofrecen una guía para evaluar eventos inusuales y la cuestión de si podría haber algo sospechoso en marcha.
Hacia el final de su blog, Tao centró su atención estadística en una pregunta más: ¿Por qué tantas personas (un total de 433) seleccionarían estos mismos seis números? Quizás muchas personas tienden a elegir números según un patrón específico, como una secuencia de múltiplos de 9. Un argumento más convincente surge cuando se considera el diseño de un billete de lotería en Filipinas, que organiza los números 9, 18, 27, 36, 45 y 54 a lo largo de una diagonal. En otras palabras, ese patrón geométrico podría explicar cómo la gente elegía estos números.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.