Introducción
En el período 2017-2019, las redes neuronales basadas en la física (PINN) han sido un área de investigación muy popular en la comunidad científica de aprendizaje automático (SciML) [1,2]. Los PINN se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales (PDE) representando el campo de solución desconocido con una red neuronal y encontrando los pesos y sesgos (parámetros) de la red minimizando una función de pérdida basada en la ecuación diferencial gobernante. Por ejemplo, el enfoque original de PINN penaliza la suma de errores puntuales del PDE gobernante, mientras que el método Deep Ritz minimiza una “energía” funcional cuyo mínimo impone la ecuación gobernante.[3]. Otra alternativa es discretizar la solución con una red neuronal y luego construir la forma débil de la ecuación gobernante usando redes adversarias.[4]o funciones de prueba polinómicas [5,6]. Independientemente de la elección de la pérdida física, las discretizaciones de redes neuronales se han utilizado con éxito para analizar una serie de sistemas gobernados por PDE. De las ecuaciones de Navier-Stokes[7]conjugar la transferencia de calor[8]y elasticidad[9], los PINN y sus variantes han demostrado ser una valiosa adición al conjunto de herramientas del científico computacional.
Como ocurre con todos los problemas de aprendizaje automático, un ingrediente esencial para obtener soluciones sólidas y precisas con PINN es el ajuste de hiperparámetros. El analista tiene mucha libertad a la hora de construir un método de solución; como se analizó anteriormente, la elección de la función de pérdida física no es única, como tampoco lo es el optimizador, la técnica de aplicación de condiciones límite o la arquitectura de la red neuronal. Por ejemplo, si bien ADAM ha sido históricamente el optimizador de referencia para problemas de aprendizaje automático, ha habido un gran interés en los métodos de tipo Newton de segundo orden para problemas basados en la física [10,11]. Otros estudios han comparado técnicas para imponer condiciones de contorno en la discretización de la red neuronal.[12]. Las mejores prácticas para la arquitectura PINN se han investigado principalmente mediante la elección de funciones de activación. Para combatir el sesgo espectral de las redes neuronales.[13], se han utilizado funciones de activación sinusoidales para representar mejor los campos de solución de alta frecuencia [14,15]. En[16], se compararon varias funciones de activación estándar en problemas de flujo de fluido compresible. Se demostró que las funciones de activación con características parcialmente aprendibles mejoran la precisión de la solución en[17]. Si bien la mayoría de los PINN se basan en redes de perceptrones multicapa (MLP), las redes convolucionales se investigaron en[18]y redes recurrentes en[19].
Los estudios mencionados anteriormente están lejos de ser una lista exhaustiva de trabajos que investigan la elección de hiperparámetros para el entrenamiento basado en la física. Sin embargo, estos estudios demuestran que la función de pérdida, el optimizador, la función de activación y la clase básica de arquitectura de red (MLP, convolucional, recurrente, etc.) han recibido atención en la literatura como componentes interesantes e importantes del marco de la solución PINN. Un hiperparámetro que ha sido objeto de relativamente poco escrutinio es el tamaño de la red neuronal que discretiza el campo de solución. En otras palabras, hasta donde sabemos, no hay trabajos publicados que planteen la siguiente pregunta: ¿de cuántos parámetros debería constar la red basada en la física? Si bien esta pregunta es en cierto sentido obvia, la falta de interés de la comunidad en ella no es sorprendente: no hay ningún precio que pagar en la precisión de la solución para una red sobreparametrizada. De hecho, las redes sobreparametrizadas pueden proporcionar una regularización beneficiosa del campo de soluciones, como se ve con el fenómeno del doble descenso.[20]. Además, en el contexto de los problemas de clasificación basados en datos, se ha demostrado que las redes sobreparametrizadas conducen a panoramas de pérdidas más fluidos.[21]. Debido a que la precisión de la solución no proporciona ningún incentivo para reducir el tamaño de la red, y debido a que el problema de optimización en realidad puede favorecer la parametrización excesiva, muchos autores utilizan redes muy grandes para representar soluciones PDE.
Si bien la precisión de la solución solo se puede mejorar al aumentar el recuento de parámetros, el costo computacional de la solución aumenta con el tamaño de la red. En este estudio, tomamos tres ejemplos de la literatura sobre PINN y mostramos que las redes con órdenes de magnitud menos parámetros son capaces de reproducir satisfactoriamente los resultados de las redes más grandes. La conclusión de estos tres ejemplos es que, en el caso de campos de soluciones de baja frecuencia, las redes pequeñas pueden obtener soluciones precisas con un costo computacional reducido. Luego proporcionamos un contraejemplo, donde la regresión a una función oscilatoria compleja se beneficia continuamente del aumento del tamaño de la red. Así, nuestra sugerencia es la siguiente: el número de parámetros en un PINN debe ser el menor posible, pero no menor.
Ejemplos
Los primeros tres ejemplos están inspirados en problemas tomados de la literatura sobre PINN. En estos trabajos se utilizan grandes redes para obtener la solución PDE, donde el tamaño de la red se mide por la cantidad de parámetros. Si bien diferentes arquitecturas de red pueden funcionar de manera diferente con diferentes recuentos de parámetros, utilizamos esta métrica como indicador de la complejidad de la red, independientemente de la arquitectura. En nuestros ejemplos, disminuimos incrementalmente el recuento de parámetros de una red de perceptrones multicapa hasta que el error con una solución de referencia comienza a aumentar. Este punto representa un límite inferior en el tamaño de la red para el problema particular, y comparamos la cantidad de parámetros en este punto con la cantidad de parámetros utilizados en el artículo original. En cada caso, encontramos que las redes de la literatura están sobreparametrizadas en al menos un orden de magnitud. En el cuarto ejemplo, resolvemos un problema de regresión para mostrar cómo las redes pequeñas pueden no representar campos oscilatorios, lo que actúa como una advertencia para nuestros hallazgos.
Fractura del campo de fase
El modelo de campo de fase de fractura es un enfoque variacional de la mecánica de fractura, que encuentra simultáneamente los campos de desplazamiento y daño minimizando una energía funcional adecuadamente definida.[22]. Nuestro estudio se basa en el problema de ejemplo unidimensional dado en[23], que utiliza el método Deep Ritz para determinar los campos de desplazamiento y daño que minimizan la energía de fractura funcional. Esta energía funcional está dada por
[PiBig(u(x),alpha(x)Big) = Pi^u + Pi^{alpha}=int_0^1 frac{1}{2}(1-alpha)^2 Big(frac{partial u}{partial x}Big)^2 + frac{3}{8}Big( alpha + ell^2 Big(frac{partial alpha}{partial x}Grande)^2 Grande) dx,]
donde ( x ) es la coordenada espacial, ( u(x) ) es el desplazamiento, ( alpha(x)in[0,1] ) es la densidad de grietas y ( ell ) es una escala de longitud que determina el ancho de las grietas suavizadas. La energía funcional comprende dos componentes ( Pi^u ) y ( Pi^{alpha} ), que son las energías elástica y de fractura respectivamente. Como en el trabajo citado, tomamos (ell=0.05). El campo de desplazamiento y fase se discretiza con una única red neuronal ( N: mathbb R rightarrow mathbb R^2 ) con parámetros (boldsymbol theta). El problema se debe a un desplazamiento de tracción aplicado en el extremo derecho, que denotamos ( U ). Las condiciones de contorno están integradas en los dos campos con
[ begin{bmatrix}
u(x; boldsymbol theta) \ alpha (x; boldsymbol theta)
end{bmatrix} = begin{bmatrix} x(1-x) N_1(x;boldsymbol theta) + Ux \ x(1-x) N_2(x; boldsymbol theta)
end{bmatriz} ,]
donde (N_i ) se refiere a la (i)-ésima salida de la red y las condiciones de contorno de Dirichlet sobre la densidad de grietas se utilizan para suprimir las grietas en los bordes del dominio. En[23], se utiliza una red MLP de cuatro capas ocultas con un ancho de 50 para representar los dos campos de solución. Si descuidamos el sesgo en la capa final, esto corresponde a (7850) parámetros entrenables. Para todos nuestros estudios, utilizamos una red de dos capas ocultas con funciones de activación tangente hiperbólica y sin sesgo en la capa de salida, ya que, según nuestra experiencia, estas redes son suficientes para representar cualquier campo de solución de interés. Si ambas capas ocultas tienen un ancho (M), el número total de parámetros en esta red es (M^2+5M). Cuando (M=86), obtenemos (7826) parámetros entrenables. En ausencia de una solución analítica, la utilizamos como solución de referencia de red grande con la que se comparan las redes más pequeñas.
Para generar los campos de solución, minimizamos la energía potencial total utilizando la optimización ADAM con una tasa de aprendizaje de (1 times 10^{-3}). La fractura total de la barra se observa alrededor de (U=0.6). Como en el artículo, calculamos las energías elástica y de fractura en un rango de desplazamientos aplicados, donde ADAM se ejecuta durante (3500) épocas en cada incremento de desplazamiento para obtener los campos de solución. Estas "curvas de carga" se utilizan para comparar el rendimiento de redes de diferentes tamaños. Nuestro experimento se lleva a cabo con (8) tamaños de red diferentes, cada uno de los cuales comprende (20) incrementos del desplazamiento aplicado para construir las curvas de carga. Consulte la Figura 1 para ver las curvas de carga calculadas con los diferentes tamaños de red. Solo cuando hay parámetros (|boldsymbol theta|=14), que corresponden a una red de ancho (2), vemos una divergencia de las curvas de carga de la solución de referencia de la red grande. La red más pequeña que funciona bien tiene (50) parámetros, que es (157times) más pequeña que la red utilizada en el artículo. La Figura 2 confirma que esta pequeña red es capaz de aproximarse al campo de desplazamiento discontinuo, así como al campo de daño localizado.
La ecuación de las hamburguesas
Ahora estudiamos el efecto del tamaño de la red en un problema modelo común de mecánica de fluidos. La ecuación de Burgers se utiliza con frecuencia para probar métodos de solución numérica debido a su no linealidad y tendencia a formar características nítidas. La ecuación de Burgers viscosa con límites de Dirichlet homogéneos viene dada por
[frac{partial u}{partial t} + ufrac{partial u}{partial x} = nu frac{partial^2 u}{partial x^2}, quad u(x,0) = u_0(x), quad u(-1,t)=u(1,t) = 0,]
donde (xin[-1,1]) es el dominio espacial, (tin[0,T]) es la coordenada de tiempo, (u(x,t)) es el campo de velocidad, (nu) es la viscosidad y (u_0(x)) es el perfil de velocidad inicial. En[24], se utiliza una discretización de la red neuronal del campo de velocidad para obtener una solución a la ecuación diferencial gobernante. Su red contiene (3) capas ocultas con (64) neuronas en cada capa, correspondientes a (8576) parámetros entrenables. Nuevamente, utilizamos una red de dos capas ocultas que tiene (5M+M^2) parámetros entrenables donde (M) es el ancho de cada capa. Si tomamos (M=90), obtenemos (8550) parámetros entrenables en nuestra red. Tomamos la solución de esta red como la solución de referencia (u_{text{ref}}(x,t)) y calculamos la discrepancia entre los campos de velocidad de redes más pequeñas. Hacemos esto con una función de error dada por
[ E Big( u(x,t)Big)= frac{int_{Omega}| u(x,t) – u_{text{ref}}(x,t)| dOmega}{int_{Omega}| u_{text{ref}}(x,t)| dOmega},]
donde (Omega = [-1,1] times [0,T]) es el dominio computacional. Para resolver la ecuación de Burgers, adoptamos el enfoque estándar de PINN y minimizamos el error al cuadrado de la ecuación gobernante:
[ underset{boldsymbol theta}{text{argmin }} L(boldsymbol theta), quad L(boldsymbol theta) = frac{1}{2} int_{Omega} Big(frac{partial u}{partial t} + ufrac{partial u}{partial x} – nu frac{partial^2 u}{partial x^2}Grande)^2 dOmega.]
El campo de velocidad se discretiza con la ayuda de una red MLP (N (x,t;boldsymbol theta)), y las condiciones iniciales y de contorno se incorporan con un enfoque de tipo función de distancia[25]:
[ u(x,t;boldsymbol theta) = (1+x)(1-x)Big(t N(x,t; boldsymbol theta) + u_0(x)(1-t/T)Big). ]
En este problema, tomamos la viscosidad como (nu=0.01) y el tiempo final como (T=2). La condición inicial está dada por (u_0(x) = – sin(pi x)), lo que conduce al conocido patrón de choque en (x=0). Ejecutamos la optimización de ADAM para (1.5 times 10^{4}) épocas con una tasa de aprendizaje de (1.5 times 10^{-3}) para resolver el problema de optimización en cada tamaño de red. Al examinar (8) tamaños de red, buscamos nuevamente el recuento de parámetros en el que la solución se aleja de la solución de referencia. Tenga en cuenta que verificamos nuestra solución de referencia con un solucionador espectral para garantizar la precisión de nuestra implementación. Consulte la Figura 3 para ver los resultados. Todas las redes con parámetros (|boldsymbol theta|geq 150) muestran un rendimiento aproximadamente igual. Como tal, la red original está sobreparametrizada por un factor de (57).
Hiperelasticidad neohookeana
En este ejemplo, consideramos la deformación elástica no lineal de un cubo bajo un desplazamiento prescrito. La densidad de energía de deformación de un sólido hiperelástico 3D viene dada por el modelo neohookeano compresible[26]como
[PsiBig( mathbf{u}(mathbf{X}) Big) = frac{ell_1}{2}Big( I_1 – 3 Big) – ell_1 ln J + frac{ell_2}{2} Big( ln J Big)^2 ,]
donde (ell_1) y (ell_2) son propiedades materiales que tomamos como constantes. La energía de deformación hace uso de las siguientes definiciones:
[ mathbf{F} = mathbf{I} + frac{partial mathbf{u}}{partial mathbf{X}}, \
I_1 = mathbf{F} : mathbf{F}, \
J = det(mathbf{F}),]
donde (mathbf{u}) es el campo de desplazamiento, (mathbf{X}) es la posición en la configuración de referencia y (mathbf F) es el tensor de gradiente de deformación. El campo de desplazamiento se obtiene minimizando la energía potencial total, dada por
[ PiBig( mathbf{u}(mathbf{X}) Big) = int_{Omega} PsiBig( mathbf{u}(mathbf{X}) Big) – mathbf{b} cdot mathbf{u} dOmega – int_{partial Omega} mathbf{t} cdot mathbf{u} dS,]
donde (Omega) es la configuración no deformada del cuerpo, (mathbf{b}) es una fuerza volumétrica y (mathbf{t}) es una tracción superficial aplicada. Nuestra investigación sobre el tamaño de la red se inspira en[27], en el que se utiliza el método Deep Ritz para obtener un mínimo de la energía potencial total hiperelástica funcional. Sin embargo, optamos por utilizar el modelo neohookeano de energía de deformación, a diferencia del modelo de López-Pamies que emplean. Como en el trabajo citado, tomamos la configuración no deformada como el cubo unitario (Omega=[0,1]^3) y sometemos el cubo a un estado de deformación uniaxial. Para imponer este estado de deformación, aplicamos un desplazamiento (U) en la dirección (X_3) en la superficie superior del cubo. En la superficie inferior se aplican soportes de rodillos, que ponen a cero sólo el componente (X_3) del desplazamiento. Todas las demás superficies están libres de tracción, lo que se ve reforzado débilmente por la energía funcional elegida. Las condiciones de contorno se satisfacen automáticamente discretizando el desplazamiento como
[ begin{bmatrix}
u_1(mathbf{X}; boldsymbol theta) \
u_2(mathbf{X}; boldsymbol theta) \
u_3(mathbf{X}; boldsymbol theta)
end{bmatrix} = begin{bmatrix}
X_3 N_1(mathbf{X}; boldsymbol theta)\
X_3 N_2(mathbf{X}; boldsymbol theta)\
sin(pi X_3) N_3(mathbf{X}; boldsymbol theta) + UX_3
end{bmatriz},]
donde ( N_i) es el (i)-ésimo componente de la salida de la red. En el trabajo citado, se utiliza una red de seis capas ocultas de ancho (40) para discretizar los tres componentes del campo de desplazamiento. Esto corresponde a (8480) parámetros entrenables. Dado que la red es un mapa ( N: mathbb R^3 rightarrow mathbb R^3), una red de dos capas ocultas de ancho (M) tiene (8M+M^2) parámetros entrenables cuando no se aplica ningún sesgo en la capa de salida. Por lo tanto, si tomamos ( M=88 ), nuestra red tiene (8448) parámetros entrenables. Tomaremos esta arquitectura de red como la referencia de la gran red.
En[27], se calculó la relación entre el componente normal del primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff (mathbf{P}) en la dirección del desplazamiento aplicado y el componente correspondiente del gradiente de deformación (mathbf{F}) para verificar su implementación en Deep Ritz. Aquí, estudiamos la relación entre esta tensión de tracción y el desplazamiento aplicado (U). El primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff se obtiene con la densidad de energía de deformación como
[ mathbf{P} = frac{ partial Psi}{partial mathbf{F}} = ell_1( mathbf{F} – mathbf{F}^{-T} ) + ell_2 mathbf{F}^{-T}log J.]
Dada la geometría del cubo unitario y el estado de tensión/deformación uniaxial, el gradiente de deformación viene dado por
[ mathbf{F} = begin{bmatrix}
1 y 0 y 0 \ 0 y 1 y 0\ 0 y 0 y 1+U
end{bmatriz}.]
Con estas dos ecuaciones, calculamos la tensión de tracción (P_{33}) y la energía de deformación en función del desplazamiento aplicado como
[ begin{aligned} P_{33} = ell_1Big( 1 + U – frac{1}{1+U}Big) + ell_2frac{log(1+U)}{1+U}, \ Pi = frac{ell_1}{2}(2+(1+U)^2-3) – ell_1 log(1+U) + frac{ell_2}{2}(log(1+U))^2. end{alineado}]
Estas soluciones analíticas se pueden utilizar para verificar nuestra implementación del modelo hiperelástico, así como para medir el rendimiento de redes de diferentes tamaños. Utilizando el modelo de red neuronal, la tensión de tracción y la energía de deformación se calculan en cada desplazamiento aplicado con:
[ P_{33} = int_{Omega} ell_1( {mathbf{F}} – {mathbf{F}}^{-T} ) + ell_2 {mathbf{F}}^{-T}log J dOmega, quad Pi = int_{Omega} PsiBig( {mathbf{u}}(mathbf{X})Grande) dOmega,]
donde el campo de desplazamiento se construye a partir de parámetros obtenidos del método Deep Ritz. Para calcular la tensión, promediamos todo el dominio, dado que esperamos un estado de tensión constante. En este ejemplo, los parámetros del material se establecen en (ell_1=1) y (ell_2=0.25). Iteramos sobre (8) tamaños de red y tomamos (10) pasos de carga en cada tamaño para obtener la energía de tensión y deformación en función del desplazamiento aplicado. Consulte la Figura 4 para ver los resultados. Todas las redes reproducen exactamente las curvas de energía de deformación y carga de tensión. Esto incluye incluso la red de ancho (2), con solo (20) parámetros entrenables. Por lo tanto, la red original tiene (424veces) más parámetros de los necesarios para representar los resultados de la prueba de tracción.
Un contraejemplo
En el cuarto y último ejemplo, resolvemos un problema de regresión para mostrar la falla de las redes pequeñas para ajustarse a funciones de alta frecuencia. El problema de regresión unidimensional viene dado por
[ underset{boldsymbol theta}{text{argmin }} L(boldsymbol theta), quad L(boldsymbol theta) = frac{1}{2}int_0^1Big( v(x) – N(x;boldsymbol theta) Big)^2 dx,]
donde ( N) es una red MLP de dos capas ocultas y (v(x)) es la función objetivo. En este ejemplo, tomamos (v(x)=sin^5(20pi x)). Iteramos sobre (5) diferentes tamaños de red e informamos el valor de pérdida convergente (L) como una medida de error. Entrenamos usando la optimización ADAM para (5 times 10^4) épocas y con una tasa de aprendizaje de (5 times 10^{-3}). Consulte la Figura 5 para ver los resultados. A diferencia de los tres ejemplos anteriores, la función objetivo es lo suficientemente compleja como para que se requieran grandes redes para representarla. El error convergente disminuye monótonamente con el recuento de parámetros. También cronometramos el procedimiento de entrenamiento en cada tamaño de red y observamos la dependencia del tiempo de ejecución (en segundos) del recuento de parámetros. Este ejemplo ilustra que representar funciones oscilatorias requiere redes más grandes y que el recuento de parámetros aumenta el costo de la capacitación.
Conclusión
Si bien el ajuste de los hiperparámetros que rigen la función de pérdida, el proceso de optimización y la función de activación es común en la comunidad PINN, es menos común ajustar el tamaño de la red. Con tres problemas de ejemplo tomados de la literatura, hemos demostrado que redes muy pequeñas a menudo son suficientes para representar soluciones PDE, incluso cuando hay discontinuidades y/u otras características localizadas. Consulte la Tabla 1 para obtener un resumen de nuestros resultados sobre la posibilidad de utilizar redes pequeñas. Para calificar nuestros hallazgos, presentamos el caso de la regresión a una función objetivo de alta frecuencia, que requería una gran cantidad de parámetros para ajustarse con precisión. Por lo tanto, nuestras conclusiones son las siguientes: los campos de solución que no oscilan a menudo pueden representarse mediante redes pequeñas, incluso cuando contienen características localizadas como grietas y choques. Debido a que el costo del entrenamiento aumenta con la cantidad de parámetros, las redes más pequeñas pueden acelerar el entrenamiento para problemas basados en la física con campos de solución no oscilatorios. Según nuestra experiencia, este tipo de campos de solución aparecen regularmente en problemas prácticos de conducción de calor y mecánica estática de sólidos. Al reducir el tamaño de la red, estos problemas y otros representan oportunidades para hacer que las soluciones PINN sean más eficientes computacionalmente y, por lo tanto, más competitivas con los enfoques tradicionales como el método de elementos finitos.
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