Introducción
Los penaltis se encuentran entre los momentos más decisivos y de mayor presión en el fútbol. Un solo tiro, en el que sólo hay que batir al portero, puede determinar el resultado de todo un partido o incluso de un campeonato. Desde una perspectiva de ciencia de datos, ofrecen algo aún más interesante: un entorno excepcionalmente controlado para estudiar la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre estratégica.
A diferencia del juego abierto, los tiros penales cuentan con una distancia fija, un solo ejecutor, un portero y un conjunto limitado de acciones claramente definidas. Esta simplicidad los convierte en un escenario ideal para comprender cómo interactúan los datos y la estrategia.
Supongamos que queremos responder una pregunta aparentemente simple:
¿Dónde debe disparar un pateador para maximizar la probabilidad de anotar?
A primera vista, mirar los datos históricos parece ser suficiente para responder a esta pregunta. Sin embargo, como veremos, confiar únicamente en estadísticas brutas puede llevar a conclusiones engañosas. Cuando los resultados dependen de interacciones estratégicas, las decisiones óptimas no pueden inferirse únicamente a partir de promedios.
Al final de este artículo, veremos por qué la estrategia más exitosa para lanzar un penal no es la sugerida por los datos brutos, cómo la teoría de juegos explica esta aparente paradoja y cómo se aplica un razonamiento similar a muchos problemas del mundo real que involucran competencia y comportamiento estratégico.
El peligro de las tasas de conversión brutas
Imagine tener acceso a un conjunto de datos que contiene muchas observaciones históricas de tiros penales. Una primera cantidad natural que podríamos pensar en medir es la tasa de puntuación asociada con cada dirección de tiro.
Supongamos que descubrimos que los penales dirigidos al centro se convierten con más frecuencia que los dirigidos a los laterales. La conclusión puede parecer obvia: los pateadores siempre deben apuntar al centro.
La suposición oculta detrás de este razonamiento es que el comportamiento del portero permanece sin cambios. Sin embargo, en realidad las sanciones no son decisiones independientes. Son interacciones estratégicas en las que ambos jugadores se adaptan continuamente entre sí.
Si los pateadores de repente comenzaran a apuntar centralmente cada vez, los porteros responderían rápidamente permaneciendo en el medio con más frecuencia. Por lo tanto, la tasa histórica de éxito de los tiros centrales refleja un comportamiento estratégico pasado más que la superioridad intrínseca de esa elección.
Por lo tanto, el problema no consiste en identificar la mejor acción de forma aislada, sino en encontrar un equilibrio en el que ninguno de los jugadores pueda mejorar su resultado cambiando su estrategia. En teoría de juegos, este equilibrio se conoce como equilibrio de Nash.
Formalizar las sanciones como un juego de suma cero
Naturalmente, los tiros penales pueden modelarse como un juego de suma cero entre dos jugadores. Tanto el pateador como el portero deben elegir simultáneamente una dirección. Para simplificar las cosas, supongamos que solo tienen tres opciones posibles:
Izquierda (L) Centro (C) Derecha (R)
Al hacer su elección, los pateadores intentan maximizar su probabilidad de anotar, mientras que los porteros intentan minimizarla.
Si PP denota la probabilidad de anotar, entonces el pago del pateador es PP, mientras que el pago del portero es −PP. La recompensa, sin embargo, no es una constante fija, ya que depende de la elección combinada de ambos jugadores. Podemos representar el pago como una matriz:
p=[PLLPLCPLRPCLPCCPCRPRLPRCPRR] P= \begin{bmatrix} P_{LL} & P_{LC} & P_{LR}\\ P_{CL} & P_{CC} & P_{CR}\\ P_{RL} & P_{RC} & P_{RR}\\ \end{bmatrix},
donde cada elemento PijP_{ij} representa la probabilidad de anotar si el pateador elige la dirección ii y el portero elige la dirección jj.
Más adelante estimaremos estas probabilidades a partir de datos anteriores, pero primero desarrollemos alguna intuición sobre el problema utilizando un modelo simplificado.
Un modelo de juguete
Para definir un modelo simple pero razonable para la matriz de pagos, asumimos que:
Si el pateador y el portero eligen direcciones diferentes, el resultado siempre es un gol (Pij=1P_{ij}=1 para i≠ji\ne j). Si ambos eligen centrar, el tiro siempre lo detiene el portero (PCC=0P_{CC}=0). Si ambos eligen el mismo lado, se marca gol el 60%60\% de las veces (PLL=PRR=0.6P_{LL}=P_{RR}=0.6).
Esto produce la siguiente matriz de pagos:
p=[0.611101110.6]P= \begin{bmatrix} 0,6 y 1 y 1\\ 1 y 0 y 1\\ 1 y 1 y 0,6\\ \end{bmatrix}.
Estrategias de equilibrio
¿Cómo podemos encontrar las estrategias óptimas para el pateador conociendo la matriz de pagos?
Es fácil entender que tener una estrategia fija, es decir, hacer siempre la misma elección, no puede ser óptimo. Si un lanzador apunta siempre en la misma dirección, el portero podría aprovechar esta previsibilidad inmediatamente. Asimismo, un portero que siempre se lanza de la misma manera sería fácil de derrotar.
Para lograr el equilibrio y seguir siendo inexplotables, los jugadores deben elegir al azar, que es lo que en teoría de juegos se llama tener una estrategia mixta.
Una estrategia mixta se describe mediante un vector, cuyos elementos son las probabilidades de realizar una elección particular. Denotemos la estrategia mixta del pateador como
p=(pL,pC,pR)p = (p_L, p_C, p_R),
y la estrategia mixta del portero como
q=(qL,qC,qR)q = (q_L, q_C, q_R).
El equilibrio se alcanza cuando ninguno de los jugadores puede mejorar su resultado cambiando unilateralmente su estrategia. En este contexto, implica que los pateadores deben aleatorizar sus tiros de manera que los porteros sean indiferentes a lanzarse hacia la izquierda, hacia la derecha o permanecer en el centro. Si una dirección ofreciera una mayor tasa de salvada esperada, los porteros la explotarían, obligando a los pateadores a adaptarse.
Usando la matriz de pagos definida anteriormente, podemos calcular la probabilidad esperada de anotar para cada elección posible del portero:
Si el portero se lanza hacia la izquierda, la probabilidad esperada de anotar es:
VL=0,6pL+pC+pRV_L = 0,6 p_L + p_C +p_R
si el portero se queda en el centro:
VC=pL+pRV_C = p_L +p_R
si el portero se lanza hacia la derecha:
VR=pL+pC+0,6pRV_R = p_L + p_C + 0,6 p_R
Para que la estrategia del lanzador sea una estrategia de equilibrio, necesitamos encontrar pLp_L, pCp_C, pRp_R tales que para los porteros la probabilidad de conceder un gol no cambie con su elección, es decir, necesitamos que
VL=VC=VRV_L = V_C = V_R,
que, junto con la condición de normalización de la estrategia
pL+pC+pR=1p_L+p_C+p_R=1,
da un sistema lineal de tres ecuaciones. Resolviendo este sistema, encontramos que la estrategia de equilibrio para el pateador es
p∗≃(0.417,0.166,0.417)p^* \simeq (0.417, 0.166, 0.417).
Curiosamente, aunque los tiros centrales son los más fáciles de salvar cuando se anticipan, disparar centralmente alrededor del 16,6%16,6\% de las veces hace que todas las opciones sean igualmente efectivas. Los tiros centrales funcionan precisamente porque son raros.
Ahora que contamos con el conocimiento de la teoría de juegos y el equilibrio de Nash, finalmente podemos recurrir a datos del mundo real y probar si los jugadores profesionales se comportan de manera óptima.
Aprender de datos del mundo real
Analizamos un conjunto de datos abierto (licencia CC0) que contiene 103 tiros penales de la temporada 2016-2017 de la Premier League inglesa. Para cada penalti, el conjunto de datos registra la dirección del tiro, la dirección elegida por el portero y el resultado final.
Al explorar los datos, encontramos que la tasa global de anotación de un penalti es aproximadamente del 77,7%77,7\%, y que los tiros centrales parecen ser los más efectivos. En particular, encontramos los siguientes índices de puntuación para diferentes direcciones de tiro:
Izquierda: 78,7%78,7\%; Centro: 88,2%88,2\%; Derecha: 71,2%71,2\%.
Sin embargo, para derivar las estrategias óptimas, necesitamos reconstruir la matriz de pagos, lo que requiere estimar nueve tasas de conversión, una para cada combinación posible de las elecciones del pateador y del portero.
Sin embargo, con sólo 103 observaciones en nuestro conjunto de datos, ciertas combinaciones rara vez se encuentran. Como consecuencia, estimar estas probabilidades directamente a partir de recuentos brutos introduciría un ruido significativo.
Dado que no hay ninguna razón sólida para creer que los lados izquierdo y derecho de la meta sean fundamentalmente diferentes, podemos mejorar la solidez de nuestro modelo imponiendo simetría entre los dos lados y agregando situaciones equivalentes.
Esto reduce efectivamente la cantidad de parámetros a estimar, reduciendo así la varianza de nuestras estimaciones de probabilidad y aumentando la solidez de la matriz de pagos resultante.
Bajo estos supuestos, la matriz de resultados empíricos se convierte en:
P≃[0.610.860.9400.940.8610.6]P\simeq \begin{bmatrix} 0,6 y 1 y 0,86\\ 0,94 y 0 y 0,94\\ 0,86 y 1 y 0,6\\ \end{bmatrix}.
Podemos ver que la matriz de pagos medida es bastante similar al modelo de juguete que definimos anteriormente, con la principal diferencia de que en realidad los pateadores pueden fallar el gol incluso si el portero elige la dirección equivocada.
Resolviendo las estrategias de equilibrio, encontramos:
p∗≃(0.39,0.22,0.39)q∗≃(0.415,0.17,0.415)\begin{aligned} p^* &\simeq (0.39, 0.22, 0.39) \\ q^* &\simeq (0.415, 0.17, 0.415) \end{aligned}.
¿Son los jugadores realmente óptimos?
La comparación de las estrategias de equilibrio con el comportamiento observado revela un patrón interesante.
Los pateadores se comportan de manera casi óptima, aunque apuntan al centro con menos frecuencia de lo que deberían (16,5%16,5\% de las veces en lugar de 22%).
Por otro lado, los porteros se desvían significativamente de su estrategia óptima, permaneciendo en el centro sólo el 6%6\% de las veces en lugar del óptimo 17%17\%.
Esto explica por qué los tiros centrales parecen inusualmente exitosos en los datos históricos. Su alta tasa de conversión no indica una superioridad intrínseca, sino más bien una ineficiencia sistemática en el comportamiento de los porteros.
Si tanto los porteros como los porteros siguieran perfectamente sus estrategias de equilibrio, los tiros centrales se anotarían aproximadamente el 77,8%77,8\% de las veces, lo que está cerca de la media mundial.
Más allá del fútbol: una perspectiva de la ciencia de datos
Aunque los tiros penales proporcionan un ejemplo intuitivo, el mismo fenómeno aparece en muchas aplicaciones de ciencia de datos del mundo real.
Los sistemas de precios en línea, los mercados financieros, los algoritmos de recomendación y las defensas de ciberseguridad implican que los agentes se adapten al comportamiento de los demás. En tales entornos, los datos históricos reflejan un equilibrio estratégico más que resultados pasivos. Una estrategia de precios que parece óptima en datos pasados puede dejar de funcionar una vez que los competidores reaccionan. Asimismo, los sistemas de detección de fraude cambian el comportamiento de los usuarios tan pronto como se implementan.
En entornos competitivos, aprender de los datos requiere interacción de modelado, no solo correlación.
Conclusiones
Los tiros penales ilustran una lección más amplia para la optimización de la toma de decisiones basada en datos.
Los promedios históricos no siempre revelan decisiones óptimas. Cuando los resultados surgen de interacciones estratégicas, los datos observados reflejan un equilibrio entre agentes en competencia más que la calidad intrínseca de las acciones individuales.
Por lo tanto, comprender el mecanismo que genera los datos es esencial. Sin modelar el comportamiento estratégico, las estadísticas descriptivas pueden fácilmente confundirse con una orientación prescriptiva.
Por lo tanto, el verdadero desafío para los científicos de datos no es sólo analizar lo que sucedió, sino también comprender por qué agentes racionales hicieron que esto sucediera en primer lugar.