Cómo encontrar pi en forma aleatoria a tu alrededor

Celebre el Día de Pi y lea todo sobre cómo aparece este número en las matemáticas y las ciencias en nuestra página especial del Día de Pi.

Toma algo circular, como una taza, mide la distancia alrededor del círculo y divídela por la distancia en la parte más ancha. Lo que obtendrás es una estimación bastante buena del número irracional pi (3,14159…). Pero también puedes encontrar pi en una serie de lanzamientos de monedas al azar o en una colección de agujas arrojadas sobre un suelo de madera. A veces, la razón por la que pi aparece en valores generados aleatoriamente es obvia: si hay círculos o ángulos involucrados, pi es tu opción. Pero a veces el círculo está hábilmente oculto y, a veces, la razón por la que aparece pi es un misterio matemático.

Para celebrar el Día de Pi este año, aquí hay tres formas de estimar pi usando una probabilidad aleatoria que puedes probar en casa. El último, que utiliza lanzamientos de monedas, es nuevo y se publicó justo a tiempo para el Día Pi.

Sobre el apoyo al periodismo científico

Si está disfrutando de este artículo, considere apoyar nuestro periodismo galardonado suscribiéndose. Al comprar una suscripción, ayudas a garantizar el futuro de historias impactantes sobre los descubrimientos y las ideas que dan forma a nuestro mundo actual.

1. Círculo en un cuadrado.

Quizás la forma más sencilla de estimar pi aleatoriamente funcione así: tome un cuadrado con una longitud de lado 2 y coloque un círculo con radio 1 en su interior de modo que toque los bordes del cuadrado. Luego genera puntos aleatoriamente en el cuadrado. A medida que agregas más y más puntos aleatorios, la proporción de puntos que terminan en el círculo se acercará a π⁄4, la relación entre el área del círculo (pi) y el área del cuadrado (4).

La incidencia de pi aquí no es sorprendente (proviene directamente de la fórmula para el área de un círculo), pero el método es un ejemplo clásico de simulación de Monte Carlo, en la que se utilizan datos aleatorios para aproximar un cálculo exacto.

2. Fideos de Buffon

Supongamos que dejo caer un montón de agujas en un piso de madera con líneas espaciadas a una longitud de aguja. ¿Qué proporción de agujas puedo esperar que crucen las líneas? Esta pregunta fue planteada por primera vez por Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon (o conde de Buffon) en 1733, y la respuesta es 2⁄π (aproximadamente 2⁄3).

Para descubrir por qué, debemos pensar en una pregunta más general: ¿Qué pasa si nuestra aguja no es una línea recta sino un garabato, un cuadrado o cualquier otra forma dibujada con una línea?

Esta versión ampliada del problema a veces se denomina “fideos de Buffon” porque los fideos tienen muchas más formas que las agujas. Resulta que no importa la forma que adopte la aguja, podemos esperar que, en promedio, cruce el mismo número de líneas. El valor esperado del número de líneas cruzadas es proporcional a la longitud de la aguja. En otras palabras, podemos esperar que una colección de agujas de longitud n (de cualquier forma) cruce n veces más líneas que el mismo número de agujas de longitud 1.

Entonces, para encontrar la respuesta a la pregunta de Buffon, todo lo que necesitas hacer es elegir una forma inteligente para tus agujas. Aquí es donde entran los círculos. Si tienes líneas espaciadas una unidad y una aguja doblada formando un círculo que tiene un diámetro de 1, siempre cruzará las líneas exactamente dos veces. La longitud de la aguja que forma el círculo es pi, por lo que la probabilidad de que una aguja de longitud 1 cruce una línea será el valor esperado del número de veces que el círculo cruza (2) dividido por la longitud de la aguja circular, lo que nos da 2⁄π.

3. Lanzar monedas

Coge una moneda y lánzala. Graba cara o cruz. Repita hasta que haya obtenido una cara más que una cruz y registre la proporción de caras con respecto al total de lanzamientos. Por ejemplo, si tu primer lanzamiento fue cara, detente de inmediato y registra 1. Si volteas cruz, cara, cruz, cara, cara, detente y registra frac35;. El valor esperado de tu resultado, o el promedio de todas tus pruebas si hiciste una cantidad infinita, es π⁄4. Cuantas más pruebas promedies juntas, más te acercarás a π⁄4.

Este nuevo método para estimar pi mediante lanzamientos de moneda fue presentado por James Propp, matemático de la Universidad de Massachusetts Lowell, en una preimpresión publicada en línea en ArXiv.org el mes pasado, ¡justo a tiempo para el Día de Pi! Aunque las matemáticas detrás del método no son nada nuevas, la idea de usarlo para estimar pi lanzando una moneda sí lo es.

Entonces, ¿por qué obtenemos π⁄4? La respuesta insatisfactoria es que en algún lugar del cálculo de probabilidad hay una suma infinita que corresponde a los valores de la función arcosen, una función trigonométrica estrechamente relacionada con pi. Pero los matemáticos no han encontrado una conexión significativa entre lanzar monedas y pi. “A veces, algo que es realmente básico tiene relevancia para dos ramas de las matemáticas totalmente desconectadas”, dice Propp. “Ese es uno de los placeres de las matemáticas, pero en muchos aspectos es un misterio”.

El matemático de la Universidad Tecnológica de Viena, Stefan Gerhold, observó un resultado muy similar, que publicó como preimpresión en arXiv.org en 2025. En lugar de lanzar una moneda al aire hasta obtener más cara que cruz, Gerhold y su coautor estaban pensando en familias que tenían hijos y se detenían cuando tenían un niño más que una niña. “Es muy misterioso”, dice Gerhold. “No creo que haya una buena manera de entender eso. [in this scenario] la expectativa involucrará a pi”.

Ninguno de estos métodos es particularmente práctico para estimar el valor de pi. Para que pi tenga una precisión de 3,14, Propp estima que podrían ser necesarios hasta un billón de lanzamientos de monedas. Esto se debe en parte a que las secuencias de lanzamiento de monedas pueden ser muy largas antes de que las caras superen a las cruces, ¡hasta el punto de que el valor esperado de la longitud de una secuencia es infinito! Además de eso, no puedes lanzar todas las monedas a la vez de la misma manera que arrojas agujas: el orden de cara y cruz es importante. Es por eso que Propp sugiere probarlo en un salón de clases, donde muchos estudiantes pueden lanzar secuencias de monedas simultáneamente.

Jennifer Wilson, matemática de la New School, que utiliza modelos de probabilidad similares para analizar métodos de votación, encuentra el resultado satisfactorio. “Es bueno porque ciertamente es algo que puedes probar con cualquier grupo de estudiantes, y todo lo que necesitas es experiencia en cálculo para entenderlo”.

Por su cuenta, es posible que esté lanzando monedas durante bastante tiempo para obtener una lectura precisa de pi. E incluso los otros dos métodos podrían requerir alrededor de un millón de puntos aleatorios o gotas de aguja para obtener 3,14, pero podrías tener más suerte. Este Día del Pi, considere unirse a la tradición de encontrar el valor de pi de maneras tremendamente ineficientes.