La forma matemáticamente correcta de cortar una pizza

La forma matemáticamente correcta de cortar una pizza

Por Manon Bischoff editado por Daisy Yuhas

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No me gusta compartir mi comida. Pero a veces tengo que cortar un sándwich o una pizza por la mitad. Si la otra persona tiene la misma hambre, será escrupulosa en cuanto a que la división sea justa. Todavía hay casos complicados. ¿Qué sucede, por ejemplo, si dividimos una pizza con ingredientes que no se han distribuido uniformemente sino que están agrupados en grupos? Los matemáticos han reflexionado sobre estos escenarios.

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¿Cómo se corta una pizza por la mitad de manera justa?

En aras de la simplicidad, comencemos imaginando una pizza perfectamente circular, cubierta uniformemente con queso y salsa de tomate y con rebanadas de pepperoni distribuidas al azar. Ahora puedes hacer una rebanada recta, cortando la masa, la salsa de tomate y el queso por la mitad. Para ello se pasa un cortador de pizza por el centro. Pero supongamos que el 30 por ciento del pepperoni está en la mitad izquierda y el 70 por ciento en la derecha. Esta división sería injusta: una persona tendría más ingredientes que la otra.

Si gira la pizza en el sentido de las agujas del reloj pero mantiene el filo en el centro, puede variar la proporción de pepperoni en ambas mitades. Después de una rotación de 180 grados, por ejemplo, la situación se invierte: en la mitad izquierda (desde el punto de vista de la persona que corta), está el 70 por ciento de la cobertura; a la derecha, sólo hay un 30 por ciento. Pensando en este caso, una observación importante es que la proporción de pepperoni sólo puede cambiar continuamente durante la rotación; es decir, la proporción en el lado izquierdo debe aumentar constantemente del 30 al 70 por ciento. ¡Pero eso también significa que hay un punto a lo largo de esta rotación en el que ambos lados tienen exactamente el 50 por ciento de la cobertura!

Esta observación es consecuencia de lo que los matemáticos llaman el teorema del valor intermedio. Si una función continua (es decir, una función matemática sin huecos ni cortes) toma valores f(a) < s y f(b) > s, entonces, en algún punto entre a y b, hay un punto x tal que f(x) = s. Para dar algunos ejemplos, si la temperatura es de 20 grados centígrados a las 8 a.m. y 30 grados C a las 3 p.m., entonces hubo un momento entre las 8 a.m. y las 3 p.m. en que hacía exactamente 25 grados. El mismo principio se aplica a nuestra pizza.

Un corte vertical en el centro de una pizza de pepperoni crea dos mitades con siete rebanadas de pepperoni a la izquierda y 10 a la derecha. Girar el pastel 180 grados en el sentido de las agujas del reloj y mantener la misma línea de corte da como resultado lo contrario: la mitad izquierda tiene 10 rebanadas y la mitad derecha tiene siete. Por tanto, debe haber un corte entre ellos que divida la pizza de manera justa.

Una pizza real, especialmente una hecha a mano, no siempre es perfectamente circular. Aun así, se puede dividir equitativamente. Las formas irregulares carecen de simetría y, por lo tanto, no existe un punto central claro para cortar un pastel irregular. Pero todavía es posible encontrar un centro de masa.

Puede identificar una línea para cortar la masa, el queso y la salsa de tomate por la mitad y luego girarla (ajustando la ubicación de la línea según la forma del pastel hecho a mano) hasta que, después de una rotación de 180 grados, vuelva a la posición inicial, con las porciones de pepperoni invertidas para las mitades izquierda y derecha. Por tanto, se puede volver a utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar la conjetura: sí, cada pizza de pepperoni se puede dividir equitativamente en dos mitades.

A todos los que se dirigen a una fiesta de pizza: ¡de nada! Y la próxima semana, en la segunda parte, abordaremos un caso más complicado de dividir una comida de manera equitativa.

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