Frank Merle está acostumbrado a afrontar un mundo desordenado. Trabaja en las matemáticas de sistemas altamente no lineales, aquellos que responden de manera dramática e impredecible incluso a los cambios más pequeños. Son las mismas matemáticas que explican cómo, en las condiciones adecuadas, la atmósfera sobre una llanura árida puede producir un tornado turbulento.
Una ecuación lineal es algo así como y = 2x, que establece que el valor de y se duplica cada vez que se duplica el valor de x. Pero la mayoría de las ecuaciones son mucho más sensibles a los cambios en sus datos de entrada. Un sistema altamente no lineal se define por ecuaciones que pueden saltar de cero al infinito casi de la nada. Descubrir si un sistema de ecuaciones puede exhibir este tipo de comportamiento extremo, llamado “singularidad” o “explosión”, es una tarea difícil para los matemáticos.
Merle ha tenido un enorme éxito al controlar estos estallidos en las ecuaciones que describen láseres, fluidos y mecánica cuántica. Su truco consiste en abrazar lo no lineal. Mientras que la mayoría de los investigadores anteriores a él trataron estos fenómenos con cautela, haciendo pequeños ajustes en un mundo lineal y de buen comportamiento, él los ha centrado, estudiando directamente sus consecuencias matemáticas. “Tengo una visión ligeramente diferente del mundo”, dice. “Veo el mundo como un lugar más catastrófico para vivir”.
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Al interactuar con el caos, Merle descubrió la simplicidad. Gran parte de su trabajo se centra en estructuras especiales, llamadas “solitones”, que persisten en medio del caos de los sistemas no lineales. Los solitones son capaces de mantener su forma y energía mientras se mueven en reinos donde reinan las matemáticas más retorcidas como una única ola rebelde que atraviesa un vasto y arremolinado océano completamente intacto. Merle cree que todos los sistemas no lineales pueden abordarse pensándolos como un grupo de solitones que se unen: el caos contradice la simplicidad.
Merle recibió hoy el Premio Breakthrough Prize en Matemáticas de este año por sus logros. El premio viene con una dotación de 3 millones de dólares. Scientific American habló con Merle sobre cómo logró dominar algunos de los conjuntos de ecuaciones más enredados de la naturaleza.
[An edited transcript of the interview follows.]
¿Qué significa este premio para ti?
Fue un shock: me tomó algún tiempo recuperarme. Es un gran honor. Y es emocionante, porque cuando encontré esta nueva forma de ver estos problemas, la mayoría de la gente no estaba convencida de que pudiera producir algo interesante. Luego surgió un problema y luego otro, así que por supuesto ahora hay mucho reconocimiento a todo este trabajo.
¿Cuál fue su “nueva forma de ver los problemas” en dinámica no lineal?
Sólo me concentraba en la estructura no lineal. La mayor parte del trabajo anterior partió de algo que entendemos (cosas lineales) y las empujó ligeramente hacia lo no lineal. Pero mi punto de partida nunca fue la estructura lineal; fueron las cosas no lineales.
Y esto te llevó a poner los solitones al frente y al centro.
Sí, porque los solitones son un concepto totalmente no lineal. Un solitón es una solución especial para ecuaciones no lineales, como las ecuaciones de fluidos, que no envía energía al infinito: mantiene toda su energía contenida y mantiene la misma forma.
Cuando observamos cantidades físicas en sistemas no lineales, parecen oscilar y cambiar caóticamente. Pero si se mira lo suficiente, aparece alguna estructura emergente que no depende tanto de cómo comenzaron las cosas. Esta estructura emergente es el solitón. Desde el punto de vista matemático, inicialmente no se ve por qué aparecerá, pero de alguna manera aparece.
Los solitones parecen mucho más simples que el comportamiento caótico y loco de los sistemas no lineales. Sin embargo, usted cree que el comportamiento de estos sistemas se reduce, de alguna manera, a los solitones.
Sí, una familia de solitones que interactúan. Esto se llama la “conjetura de la resolución del solitón”.
Ha sido una creencia desde la década de 1970, pero la gente entonces no podía ver realmente la naturaleza de este fenómeno: exactamente por qué debe ser cierto. Y matemáticamente, no hay manera de abordarlo, excepto por unos pocos tipos específicos de ecuaciones no lineales.
Pero la idea es pura belleza. Observas una situación muy complicada (tu problema es caótico, con una cantidad infinita de parámetros), pero luego, al final, todo se vuelve simple, con un número finito de parámetros que puedes rastrear y calcular.
La ecuación que descubres al final puede ser incluso más sencilla de lo que crees. Hay una simplicidad que está muy oculta, muy difícil de ver incluso mediante experimentos, pero aparece. Hay un poco de magia en eso.
Usaste solitones para ayudar a estudiar la explosión, el fenómeno en el que las ecuaciones no lineales se descomponen y de repente se vuelven infinitas. ¿Por qué esto importa?
Para diferentes ecuaciones no lineales, la ampliación puede ser buena o no: o se quiere ampliar o no. Pero saber cómo funciona es importante de cualquier manera. En la ecuación de qué tan enfocado está un láser, desea ampliar porque desea enfocar su láser tanto como sea posible.
Y demostraste que las ecuaciones del láser pueden explotar bajo ciertas condiciones. ¿Eso significa que el láser en realidad se enfoca infinitamente?
No precisamente. La ecuación matemática dice que llega al infinito, pero en realidad no es así. Simplemente se volverá muy concentrado y luego permanecerá así durante mucho tiempo.
Pero la ecuación es sólo una aproximación. De hecho, en toda la física, las ecuaciones son siempre aproximaciones. Cuando el láser está muy concentrado, surgen diferentes físicas: a veces física conocida y a veces física completamente desconocida.
También trabajaste en la ampliación de ecuaciones de fluidos. ¿En qué se diferencia eso?
En las ecuaciones de fluidos, conviene evitar explosiones porque están relacionadas con la turbulencia. Pero en la vida real, hay turbulencias en todas partes, así que al menos necesitas entenderlas.
Trabajé con fluidos compresibles, que se rigen por la ecuación de Navier-Stokes. La gente ya sabía que una versión simplificada de la ecuación, sin fricción alguna, podría producir singularidades.
Pero la pregunta era si tener fricción podría al menos ralentizar la formación de singularidades o [even] Basta. Nuestro resultado fue demostrar que eso no lo detuvo: que la fricción no detiene la explosión.
¿No es la explosión en Navier-Stokes uno de los problemas del Premio del Milenio del Clay Mathematics Institute? ¿Eso significa que resolverlo vale 1 millón de dólares?
El problema de Clay es la misma pregunta para los fluidos incompresibles. Esto fue para fluidos comprimibles; la compresibilidad ayuda en cierto sentido. Así que el problema de Clay sigue abierto.
También trabajó en la versión no lineal de la ecuación de Schrödinger que rige la mecánica cuántica. ¿Cuál fue el avance allí?
Tienes una parte lineal de la ecuación de Schrödinger y una parte no lineal. Normalmente el término lineal es el más importante, pero a veces (lo que se llama el “caso supercrítico”) el término no lineal puede tener su propia locura.
Todo el mundo (incluso yo mismo) pensamos durante mucho tiempo que las soluciones a la ecuación de Schrödinger nunca explotarían, porque cualquier singularidad se dispersaría después de un tiempo. Durante un tiempo intentamos demostrarlo.
En matemáticas, a veces casi se demuestra algo de varias maneras diferentes, y cada vez falta algún punto clave, algo que no se puede dominar. Quizás creas que es pequeño.
Pero después de un tiempo, tienes la sensación de que tal vez esto sea un indicio de que podría ser todo lo contrario. Y esa pequeña pieza resulta dramática, el elemento clave de lo que se convierte en la prueba de lo contrario. Eso es lo que pasó en este caso. De modo que el proceso de las matemáticas en sí también suele ser no lineal, al menos para mí.