Tres matemáticos acaban de demostrar una famosa conjetura de geometría de hace 30 años, con solo una pequeña ayuda de la IA. La conjetura dice que incluso dentro de conjuntos enormes, dispersos y caóticos de puntos que existen en innumerables dimensiones, inevitablemente surgirán formas simples y ordenadas.
El matemático francés Michel Talagrand planteó esta “conjetura de la convexidad” en 1995 como una afirmación poderosa y amplia sobre la geometría de las formas de alta dimensión. Nunca pensó que viviría para verlo demostrado.
“Este es el resultado más extraordinario de toda mi vida”, dice Talagrand, quien ganó el Premio Abel 2024, a menudo llamado el Premio Nobel de Matemáticas. “La palabra adecuada es ‘sensacional'”.
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De hecho, hasta la semana pasada, cuando la nueva prueba apareció en línea, Talagrand ni siquiera creía que su propia conjetura fuera cierta.
Se trata de construir formas “convexas”, de esas que sobresalen hacia afuera sin hoyuelos ni grietas. Un pentágono es convexo, al igual que un círculo, pero Pac-Man no lo es: conecta dos puntos encima y debajo de su boca con una línea recta, y esa línea pasará más allá de su perímetro amarillo. Para que una forma sea convexa, cualquier línea entre dos puntos dentro de ella o en su perímetro debe estar completamente encajada dentro de ella.
Las formas convexas también existen en el espacio de dimensiones superiores, como el tetraedro tridimensional. Talagrand estaba interesado en formas que habitaran cientos o miles de millones de dimensiones, o incluso más.
Este concepto puede parecer oscuro y específico, pero muchos cálculos dependen de matemáticas de dimensiones superiores, y el mundo real está lleno de conjuntos de datos con innumerables parámetros, cada uno de los cuales constituye una especie de “dimensión”. “Lo estás usando sin saberlo cada vez que buscas algo en Google o haces una pregunta a ChatGPT”, dice Assaf Noar, matemático de la Universidad de Princeton, que no participó en el nuevo trabajo.
En 1995, Talagrand estaba pensando en cómo construir estas formas de dimensiones superiores a partir de un conjunto de puntos.
Dibuja algunos puntos en una hoja de papel. Ahora dibuja una forma convexa que los contenga a todos; sería suficiente atarlos dentro de un gran círculo. Si repites este proceso en cualquier dimensión, existe una forma conocida de construir una forma convexa que siempre contenga todos los puntos. Pero como es de esperar, cuanto mayor es la dimensión, más difícil se vuelve este procedimiento porque tu forma requerirá cada vez más movimientos matemáticos para dibujar.
Pero en 1995 Talagrand empezó a sospechar que había una forma mucho más sencilla de construir una forma convexa a partir de puntos de grandes dimensiones. En el caso más extremo (un caso que propuso pero que no creía que pudiera ser cierto) se podría encontrar un procedimiento de complejidad fija que no se vuelve más difícil a medida que crece la dimensión. Incluso en miles de millones de dimensiones, se podría construir una forma notablemente simple que aun así lograra “rodear” muchos de los puntos.
Para cualquiera que esté familiarizado con la geometría de altas dimensiones, la perspectiva parecería absurda. “Hice esta audaz conjetura realmente sin ningún fundamento, ¿sabes? Es sólo un tiro en la oscuridad”, admite Talagrand. “Cuando dices algo así, sientes que no es posible que sea cierto. Eso sería un milagro total”.
Talagrand vio su conjetura como un desafío más que como una verdad por demostrar. Quería atraer a alguien para que encontrara un contraejemplo: un conjunto multidimensional de puntos a partir del cual no se podía construir fácilmente una forma convexa. Durante años escribió y dio charlas sobre el problema, e incluso ofreció 2.000 dólares a quien lo resolviera y otro dilema relacionado. Nadie cobró la recompensa.
Pero el verano pasado, Antoine Song, matemático del Instituto de Tecnología de California, encontró una manera de traducir la pregunta al lenguaje de la teoría de la probabilidad. En lugar de hablar de formas convexas, convirtió la conjetura de Talagrand en una afirmación sobre la elección de puntos aleatorios en el espacio de acuerdo con algunas reglas estadísticas.
Después de décadas de que los matemáticos hicieran girar sus ruedas, el problema de repente pareció manejable. “Fue una sorpresa total y pensé que cambiaría las reglas del juego”, dice Noar. Cuando Song reveló su avance en una charla en Princeton en diciembre pasado, Noar esperaba que pronto llegaría una prueba completa. “Había una grieta en la pared”, dice. “No llegaste al otro lado, pero sientes que se va a romper”.
Pero Song no pudo descifrar la pieza que faltaba, lo que requirió manipular un objeto matemático con el que no estaba familiarizado. Entonces él y su alumno Dongming (Merrick) Hua recurrieron a ChatGPT. Con un poco de ayuda, el modelo de lenguaje grande (LLM) pudo llenar el vacío en su comprensión, proporcionando una prueba de la propuesta que necesitaban.
Luego escucharon a Stefan Tudose, un matemático de Princeton que había asistido a la conferencia de Song en diciembre. Tudose estaba familiarizado con el objeto en cuestión y había pasado el tiempo trabajando en su propia prueba.
Song y Hua decidieron que la prueba de Tudose era más general y reveladora que la de ChatGPT. De hecho, posteriormente encontraron algunas publicaciones preexistentes con ideas muy similares a las del chatbot. Aun así, no pueden perforar la opacidad inherente del “proceso de pensamiento” del LLM para saber si ChatGPT de alguna manera se inspiró en ese material existente pero pasado por alto.
Esta prueba podría ser el resultado matemático de más alto perfil que cita explícitamente el uso de un LLM, pero el trabajo de la inteligencia artificial finalmente no se utilizó y su originalidad es imposible de determinar. “Desde mi punto de vista, la IA no cambió mucho”, dice Tudose.
Sin embargo, sí muestra que la IA se está convirtiendo en un pilar del conjunto de herramientas del matemático. “Históricamente, navegar por la literatura matemática desconocida requería consultar a especialistas en el campo”, dice Song. “La llegada de los motores de búsqueda aceleró este proceso y ahora las herramientas de inteligencia artificial lo han hecho aún más fácil”.
En lo que respecta a las matemáticas en sí, es demasiado pronto para conocer todas las ramificaciones de la prueba, pero su nueva unificación de los mundos geométrico y probabilístico podría conducir a avances en la forma en que las máquinas procesan conjuntos de datos de alta dimensión.
“Estoy seguro de que la gente utilizará esta prueba en todas direcciones”, dice Talagrand. “Si tuviera 20 años menos, pasaría un año haciendo esto para asegurarme de entender lo que hay detrás”.
Desde entonces, Talagrand ha reorganizado sus diversas apuestas en un premio único y recurrente que se otorgará por primera vez en 2032 o el año posterior a su muerte, lo que ocurra primero. “El ganador será elegido por un jurado en el que no influiré de ninguna manera”, afirma Talagrand. “Pero parece obvio que se considerará a Song”.