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En la vida real casi nada es perfecto. Pero en matemáticas las cosas pueden ser. Los estudiosos consideran que los círculos y las esferas son perfectos debido a su alta simetría, que es una de las razones por las que fue difícil abandonar el concepto de órbitas planetarias circulares y aceptar las órbitas elípticas postuladas por el astrónomo Johannes Kepler. Si nos centramos en los poliedros (polígonos tridimensionales), cinco de ellos destacan como perfectos, formando los llamados sólidos platónicos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
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Es cierto que sus nombres no ofrecen ningún atractivo estético especial. Pero sus formas son únicas. Los sólidos platónicos son poliedros con la mayor simetría posible. Cada una de sus caras está limitada por el mismo número de aristas y el mismo número de caras se encuentran en cada vértice.
Sólo cinco polígonos cumplen esos criterios, suponiendo que nos limitemos a aquellos sin agujeros ni hendiduras. La razón de esto reside en una de mis cantidades matemáticas favoritas: la característica de Euler. Esta es una medida de la topología, un subcampo matemático abstracto centrado en las propiedades fundamentales de los objetos. Imagínese moldear masa en varias formas. Si dos formas pueden transformarse entre sí simplemente amasando, sin rasgarse ni pegarse, entonces tienen la misma forma desde el punto de vista de un topólogo. Esto significa que una baguette y un panecillo son iguales, pero un bagel y un pretzel son diferentes.
Aunque las primeras ideas topológicas no surgieron hasta el siglo XVIII, la historia de los sólidos platónicos se remonta a mucho más atrás. Los eruditos de la antigua Grecia, sobre todo Platón, de quien reciben su nombre, los estudiaron exhaustivamente. Platón asumió que los cuatro elementos básicos (fuego, agua, tierra, aire) estaban compuestos cada uno de un sólido platónico: el fuego del tetraedro, una forma puntiaguda que puede causar dolor al contacto; aire del octaedro, una forma tan flexible que las partículas apenas son perceptibles; agua del icosaedro, una forma fluida que podría fluir a través de las manos; y la tierra del cubo, una forma quebradiza cuyas partículas pueden llenar completamente el espacio tridimensional, lo que hace que la tierra sea particularmente estable. El dodecaedro, en cambio, se asociaba con el éter y el cielo estrellado. Teeteto, matemático contemporáneo de Platón, logró demostrar mediante métodos geométricos que no existen más de cinco de estos cuerpos altamente simétricos.
Casi 2.000 años después, Kepler intentó explicar el sistema solar conocido utilizando estos cinco cuerpos. Fracasó. Sin embargo, sus consideraciones le llevaron finalmente a la conclusión, hoy comprobada, de que las órbitas planetarias son elípticas.
El hecho de que sólo existen cinco sólidos platónicos se sabe desde la antigüedad, pero gracias a una observación del matemático suizo del siglo XVIII Leonhard Euler también podemos demostrarlo matemáticamente. Euler se dio cuenta de que si sumas todos los vértices y caras de un poliedro sin agujeros y restas el número de aristas, siempre obtienes dos, ¡siempre!
Compruébalo tú mismo. Un cubo, por ejemplo, tiene ocho vértices, seis caras y 12 aristas, lo que da 8 + 6 – 12 = 2. Un dodecaedro trigonal tiene ocho vértices, 12 caras y 18 aristas, lo que da 8 + 12 – 18 = 2. Si esta relación es válida para todos los poliedros sin agujeros, se puede utilizar para calcular cuántos sólidos platónicos hay.
Pero, ¿por qué la fórmula del poliedro de Euler, V − E + F = 2, debería ser siempre cierta para los vértices, V, las aristas, E, y las caras, F? Resulta que se trata de una invariante topológica: una cantidad que es la misma para todos los sólidos que pueden deformarse unos en otros sin romperse ni pegarse.
La fórmula de Euler demuestra que sólo existen cinco sólidos platónicos. Cada una de estas formas simétricas consta de caras que son polígonos idénticos (n-gonos), donde cada vértice es intersectado por exactamente m aristas. Para saber qué poliedros pueden cumplir estas propiedades, buscamos todos los números naturales posibles n y m que satisfagan la fórmula del poliedro de Euler.
Para hacer esto, primero se debe expresar el número de caras y vértices de un poliedro en términos de los números n y m. Si m aristas intersecan cada vértice y cada arista está delimitada por dos vértices, entonces m × V = 2E. Al mismo tiempo, una arista siempre forma un límite entre dos caras. Como cada cara consta de n aristas, se deduce que: n × F = 2E.
Sustituyendo estos hallazgos en la fórmula del poliedro de Euler, se obtiene (2E)/m − E + (2E)/n = 2. Esta expresión se puede simplificar encontrando un denominador común para las fracciones, combinando términos y tomando el recíproco: 2n – mn + (2m)/(2mn) = 1/E.
Una pequeña reordenación adicional produce la expresión 1/m + 1/n = 1/E+ 1/2. El término 1/E simplemente aumenta el valor en el lado derecho porque siempre es positivo, por lo que podemos considerar la siguiente desigualdad para n y m: 1/m + 1/n > 1/2.
Por tanto, para generar un sólido platónico, la suma de los recíprocos de n y m debe ser mayor que 1/2. Como n y m son números naturales y deben ser mayores que 3, dado que de lo contrario no es posible ningún poliedro, esto permite sólo cinco posibilidades: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) y (5,3), que corresponden a los cinco sólidos platónicos.
Gracias a la fórmula del poliedro de Euler hemos encontrado pruebas concluyentes de que existen exactamente cinco sólidos platónicos. Esa ecuación representa un concepto mucho más general que se puede aplicar a todo tipo de figuras y dimensiones espaciales. Por ejemplo, puedes cubrir una superficie con una red de triángulos y luego calcular la fórmula del poliedro V − E + F. El resultado siempre será el mismo, independientemente de si la red consta de seis o 600 triángulos. Para una esfera, como ocurre con los poliedros, el resultado es dos. Pero para otras superficies, como un panecillo, el valor es cero.
El más general V − E + F = χ también es un invariante topológico, y esta característica distingue diferentes objetos entre sí desde una perspectiva topológica. Por lo tanto, si χ es diferente para dos figuras, entonces también son topológicamente diferentes. Para superficies bidimensionales ordinarias, V − E + F = 2 – 2 × L, donde L es el número de agujeros en la superficie. Por lo tanto, para un pretzel con tres agujeros, χ = -4.
Así, la fórmula propuesta por Euler se ha convertido en una herramienta matemática indispensable. Con su ayuda, los topólogos se acercan un paso más a su objetivo de encontrar cantidades adecuadas para categorizar diferentes estructuras.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización. Fue traducido de la versión original alemana con la ayuda de inteligencia artificial y revisado por nuestros editores.