Este artículo es de Proof Positive, nuestro amigable boletín que explora los placeres y las peculiaridades de las matemáticas. Regístrese hoy para recibir un ensayo y un acertijo de matemáticas semanal en la bandeja de entrada de su correo electrónico.
En el pasado, calcular valores complejos como el logaritmo de un número requería mucho tiempo y paciencia, así como el material de referencia adecuado. Este trabajo, aunque a veces tedioso, condujo a descubrimientos inesperados. Por ejemplo, mientras hojeaba tablas de logaritmos, el astrónomo Simon Newcomb observó que las páginas de valores que comenzaban con el dígito 1 estaban significativamente más desgastadas que las demás. Esta observación finalmente condujo a la llamada ley de Benford, que describe cómo se distribuyen ciertos números aleatorios.
Sobre el apoyo al periodismo científico
Si está disfrutando de este artículo, considere apoyar nuestro periodismo galardonado suscribiéndose. Al comprar una suscripción, ayudas a garantizar el futuro de historias impactantes sobre los descubrimientos y las ideas que dan forma a nuestro mundo actual.
Si hubieran existido calculadoras en aquel entonces, es posible que la ley de Benford nunca se hubiera descubierto. Aún así, personalmente estoy agradecido de no haber tenido que luchar con tablas de logaritmos u otras colecciones de fórmulas durante mis años escolares o estudios universitarios, o en mi trabajo. De hecho, no me gustaría quedarme sin mi calculadora científica. No sólo tiene programados valores importantes como pi o el número de Euler, sino que también puede calcular operaciones más complicadas, como la raíz cúbica o el logaritmo de un número, con sólo pulsar un botón.
Sin embargo, como explica el físico Andrzej Odrzywołek de la Universidad Jagellónica de Polonia en una preimpresión de marzo de 2026, las calculadoras podrían diseñarse de forma mucho más sencilla: bastan dos botones para realizar los cálculos y funciones elementales de una calculadora científica. Ya sea tangente, raíz cuadrada, pi o exponenciación, todas estas funciones se pueden codificar usando solo el número 1 y el operador eml(x,y) = exp(x) − ln(y). Desde entonces, su trabajo ha sido verificado por el llamado verificador de pruebas, un programa informático que recorre las conclusiones lógicas paso a paso y comprueba si todo es correcto.
De 36 a 2
Dependiendo del modelo, una calculadora puede realizar tareas de diversa complejidad. Algunos modelos sólo manejan las cuatro operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división. Otros son capaces de evaluar funciones trigonométricas, extraer raíces y calcular logaritmos. Tuve acceso a una calculadora de este tipo, por ejemplo, durante mis años escolares. Pero no me permitieron usar calculadoras gráficas, que también pueden resolver ecuaciones de forma independiente y representar funciones geométricamente.
Odrzywołek, en su trabajo, hace referencia a 36 cantidades y operaciones que se encuentran en las calculadoras escolares científicas convencionales, incluidas las funciones trigonométricas antes mencionadas, la exponenciación, etc. “Las matemáticas superiores revelan que muchas de estas [functions] son redundantes: por ejemplo, los trigonométricos se reducen al exponencial complejo. ¿Hasta dónde puede llegar esta reducción?” pregunta en su periódico.
El físico sospechaba que una función y un número podrían ser suficientes para construir las 36 funciones y cantidades. “Eso suena plausible”, dice el matemático Manuel Kauers de la Universidad Johannes Kepler de Linz en Austria, que no participó en el trabajo actual. “La clase de funciones elementales no es particularmente rica”.
Esta suposición también está respaldada desde una perspectiva técnica. Ya en 1913, el matemático Henry Sheffer demostró que se pueden realizar cálculos digitales utilizando un único operador lógico, la “puerta NAND”. Este descubrimiento permitió realizar cálculos informáticos extremadamente complejos utilizando un tipo de transistor.
Una función todopoderosa
Para encontrar la única función necesaria para su calculadora, Odrzywołek recurrió primero al conjunto de instrucciones del ampliamente utilizado programa informático algebraico Wolfram Mathematica. Este conjunto de instrucciones utiliza sólo siete funciones para derivar las operaciones elementales. “Sirvió como referencia para un ya optimizado [system] … probado minuciosamente durante casi 40 años”, escribe.
Para reducir aún más este conjunto de instrucciones, el físico diseñó un programa informático que le ayudara en la búsqueda sistemática. Dado un candidato para operaciones universales, este programa explora sistemáticamente todas las posibilidades para expresar las 36 funciones elementales, números y constantes importantes. Después de muchos intentos, llegó a la conclusión de que 1 en combinación con eml(x, y) (“eml” es una función exponencial menos logaritmo) podría ser la base para reconstruir las funciones elementales.
Por ejemplo, para generar el número e de Euler, simplemente es necesario calcular eml(1,1) porque exp(1) − ln(1) = e. Sin embargo, para realizar restas o calcular funciones trigonométricas, el operador eml debe anidarse varias veces; en otras palabras, ese eml debe conectarse a una operación repetidamente. Para la función seno, por ejemplo, se debe anidar más de 10 veces seguidas, una tarea más engorrosa.
La espiral muestra cómo se generan diferentes funciones y valores elementales a partir de la operación eml. Las flechas indican qué elementos se pueden utilizar para componer las cantidades.
“Todas las funciones elementales de un único operador binario”, de Andrzej Odrzywołek. Preimpresión publicada el 23 de marzo de 2026 en https://arxiv.org/abs/2603.21852
Y rápidamente surgen otras dificultades. Incluso con las matemáticas del mundo real, es posible que necesites involucrarte con números complejos, que involucran las raíces cuadradas de valores negativos. Pero el logaritmo de un número complejo no está definido de forma única, por lo que debes elegir una “rama” o segmento específico donde el logaritmo toma un valor definido. Por lo tanto, escribe Odrzywołek, se debe tener mucho cuidado al implementar la estructura eml para obtener los resultados correctos.
Además, eml y 1 no son las únicas combinaciones de función y número de las que se pueden derivar operaciones elementales. Como descubrió el físico, se puede diseñar una calculadora científica completamente funcional utilizando un logaritmo dividido por exponente edl(x,y) y e. También podría haber otras soluciones.
EML y aprendizaje automático
Aunque el resultado de Odrzywošek me parece bastante interesante desde una perspectiva teórica, parece ofrecer pocas aplicaciones prácticas. Una calculadora con sólo dos botones, por ejemplo, sería increíblemente compacta pero difícilmente fácil de usar. Para generar el número 0, habría que realizar el siguiente cálculo: eml(1, eml(eml(1, 1), 1)) = eml(1, eml(e, 1)) = eml(1, ee) = e – e × ln(e) = 0. Por lo tanto, incluso introducir los números más simples requiere mucho tiempo y paciencia (además de cierta aptitud para la aritmética).
Odrzywołek propuso también otra aplicación en el campo de las redes neuronales. Estos algoritmos de IA se basan en funciones elementales que pueden representarse mediante una estructura eml. Esto podría ofrecer ventajas: en lugar de mantener varias unidades funcionales diferentes y tablas de búsqueda para las operaciones aritméticas convencionales de redes neuronales como ReLU, tanh, GELU o sine, se podrían utilizar células eml idénticas, de forma muy parecida a las puertas NAND de los chips de ordenador.
Eymen Ipek, investigador de la Universidad Tecnológica de Graz en Austria, probó esto en una preimpresión publicada en el servidor arXiv.org en abril de 2026. Ipek reemplazó parte de una red neuronal utilizada para calcular sistemas de propulsión de vehículos eléctricos con una estructura eml. Pero aunque la arquitectura del código puede parecer más simple, requiere muchas más operaciones computacionales, descubrió. ReLU, tanh y funciones similares representan solo una operación, pero ejecutar una función eml requiere 111 operaciones. Por lo tanto, pasará mucho tiempo antes de que una computadora eml se utilice en la práctica, si es que alguna vez se utiliza.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización. Fue traducido de la versión original alemana con la ayuda de inteligencia artificial y revisado por nuestros editores.