Este es el segundo capítulo del libro en progreso sobre álgebra lineal, “Una vista panorámica del álgebra lineal”. El índice hasta el momento:
- Capítulo 1: Los basicos
- Capitulo 2: (Actual) La medida de un mapa — determinantes
El álgebra lineal es la herramienta de muchas dimensiones. No importa lo que esté haciendo, tan pronto como escale a norte dimensiones, el álgebra lineal entra en escena.
En el capítulo previo, Describimos mapas lineales abstractos. En este, nos arremangamos y comenzamos a trabajar con matrices. Ahora se empezarán a explorar consideraciones prácticas como la estabilidad numérica, algoritmos eficientes, etc.
Discutimos en el capítulo previo el concepto de espacios vectoriales (básicamente colecciones de números de n dimensiones y, más generalmente, colecciones de campos) y mapas lineales que operan en dos de esos espacios vectoriales, llevando objetos de uno al otro.
Como ejemplo de este tipo de mapas, un espacio vectorial podría ser la superficie del planeta en el que estás sentado y el otro podría ser la superficie de la mesa en la que estás sentado. Los mapas literales del mundo también lo son en este sentido ya que “mapean” cada punto de la superficie de la Tierra a un punto en un papel o superficie de una mesa, aunque no son mapas lineales ya que no conservan datos relativos. (Groenlandia parece mucho más grande de lo que es, por ejemplo, en algunas de las proyecciones).
Una vez que elegimos un base para el espacio vectorial (una colección de norte vectores “independientes” en el espacio; podría haber infinitas opciones en general), a todos los mapas lineales en ese espacio vectorial se les asignan matrices únicas.
Por el momento, limitemos nuestra atención a los mapas que toman vectores desde un espacio n-dimensional de regreso al espacio n-dimensional (generalizaremos más adelante). Las matrices correspondientes a estos mapas lineales son norte X norte (ver sección III de Capítulo 1). Podría resultar útil “cuantificar” dicho mapa lineal, expresar su efecto sobre el vector…