Todavía recuerdo la noche de cine cuando vi Good Will Hunting por primera vez con mi mamá. Matt Damon interpretó a un conserje en el Instituto Tecnológico de Massachusetts. Mientras trapeaba los pasillos, pasó junto a una pizarra con un problema de matemáticas avanzado escrito en ella. Se detuvo y comenzó a resolver el problema. Observé, hipnotizado, cómo creaba estructuras aparentemente ilegibles de puntos y líneas, hasta que de repente un profesor de matemáticas salió de una sala de conferencias y lo ahuyentó.
Anteriormente se le dijo a la audiencia que ese problema estaba destinado a ser increíblemente difícil, y que requeriría años de pensamiento experto para resolverlo, sin embargo, el perspicaz conserje de Damon lo resolvió rápidamente en solo unos momentos. En ese momento, me fascinaba la idea de que las personas pudieran poseer un talento oculto que nadie sospechaba que existiera.
A medida que crecí y adquirí más conocimientos matemáticos, descarté todo el asunto como una tontería de Hollywood. Good Will Hunting puede contar una gran historia, pero no es muy realista. De hecho, el desafío matemático no resiste mucho escrutinio. Con la ceremonia de premiación de los Oscar de este mes, muchas personas recuerdan a los ganadores anteriores, incluido Good Will Hunting. Merece la pena echar un vistazo más de cerca a la pizarra de una película que, en 1997, obtuvo nueve nominaciones y ganó tanto por guión original como por actor secundario.
Sobre el apoyo al periodismo científico
Si está disfrutando de este artículo, considere apoyar nuestro periodismo galardonado suscribiéndose. Al comprar una suscripción, ayudas a garantizar el futuro de historias impactantes sobre los descubrimientos y las ideas que dan forma a nuestro mundo actual.
Basado en eventos reales
La película se inspiró en una historia real, una que personalmente encuentro mucho más convincente que la versión de cuento de hadas de Good Will Hunting. La historia real se centra en George Dantzig, quien algún día sería conocido como el “padre de la programación lineal”.
Dantzig no siempre fue un estudiante destacado. Afirmó haber tenido problemas con el álgebra en la escuela secundaria. Pero él no era un profano cuando ocurrió el hecho que inspiró la película. En ese momento, era un estudiante de posgrado en matemáticas. En 1939 llegó tarde a una conferencia dirigida por el profesor de estadística Jerzy Neyman en la Universidad de California, Berkeley. Neyman escribió dos problemas en la pizarra y Dantzig supuso que eran deberes.
Dantzig notó que la tarea parecía más difícil de lo habitual, pero aun así resolvió ambos problemas y presentó sus soluciones a Neyman. Al final resultó que, había resuelto lo que entonces eran dos de los problemas no resueltos más famosos de la estadística.
Esa hazaña fue bastante impresionante. Por el contrario, el problema matemático utilizado en la película de Hollywood es muy fácil de resolver una vez que se aprende algo de la jerga. De hecho, te guiaré a través de ello. Tal como lo presenta la película, el desafío es el siguiente: dibujar todos los árboles homeomórficamente irreducibles de tamaño n = 10.
Antes de continuar, quiero señalar dos cosas. En primer lugar, la presentación de este desafío es en realidad lo más difícil. Es bastante poco realista esperar que un profano, independientemente de su talento matemático, esté familiarizado con el lenguaje técnico utilizado para formular el problema. Pero eso me lleva a la segunda cosa a tener en cuenta: una vez que se traducen los términos técnicos, la tarea real es simple. Con un poco de paciencia y orientación, incluso podrías asignarlo a niños.
Resolviendo el problema de la caza de la buena voluntad
Entremos en el vocabulario. En matemáticas, un árbol es un tipo de gráfico, es decir, un conjunto de puntos conectados entre sí. Los árboles, en particular, no pueden contener bucles, por lo que no se pueden conectar los puntos de manera que se cierren en uno solo. El tamaño del árbol viene dado en términos del número de puntos o nodos en el gráfico. En este caso, sabemos que debemos dibujar todos los gráficos de árbol posibles con 10 nodos.
El término “homeomórfico” básicamente se refiere a la idea de que los nodos de esta red siempre siguen una secuencia particular; la forma exacta del árbol no es tan importante como la secuencia de conexiones. Cuando trazo una conexión entre los nodos A y B, puedo alargar o acortar ese vínculo o girarlo ligeramente, y no importará mientras la estructura general de la red siga siendo la misma. Lo importante es que A se conecta con B.
Para pensar en eso de una manera diferente, imagine un árbol con forma de X con cinco nodos y un árbol con forma de K con cinco nodos. Se considera que estos árboles son el mismo árbol porque el número de nodos y la secuencia de conexiones no cambian entre las dos formas.
Y “irreducible”, en este caso, significa que cada nodo en el gráfico debe estar conectado por una línea o por tres o más líneas, de modo que ningún nodo esté conectado por solo dos líneas: si un nodo estuviera conectado por solo dos líneas, podría reducirse a una sola línea.
Entonces, en lenguaje sencillo, la tarea es dibujar todos los árboles con las propiedades especificadas, cada uno de los cuales tiene 10 nodos. Hay varios enfoques para esto. Por ejemplo, podrías escribir un programa de computadora que resuelva la tarea en una fracción de segundo. O podrías empezar a dibujar a mano todos los gráficos que cumplan estos criterios. Resulta que es posible que solo necesites unos minutos para garabatear si decides seguir la última ruta.
Para demostrarlo, primero puede dibujar un árbol que consta de un nodo central que irradia nueve conexiones, lo que nos da un total de 10 nodos. Ese diseño cumple con los criterios requeridos: es uno de nuestros árboles homeomórficamente irreducibles de tamaño n = 10. ¡Buen trabajo!
A continuación, dibuje un árbol con ocho conexiones; encontrará que este diseño conduce a un callejón sin salida porque no podrá agregar un nodo sin recrear el árbol anterior o introducir una línea reducible. Continúe dibujando un árbol que comienza con un nodo que tiene siete conexiones. Aún necesitarás colocar dos nodos más, pero puedes imaginarte agregándolos a uno de los siete que acabas de dibujar. En este punto, deberías poder seguir explorando las posibilidades.
Si prefiere un enfoque aún más sistemático (aunque puede que le lleve un poco más de tiempo, dependiendo de su comodidad con la teoría de grafos), una solución inteligente implica considerar qué condiciones matemáticas deben cumplir los árboles y representarlas con ecuaciones.
Para este enfoque, podemos definir nk como el número de nodos n con k conexiones. Como el árbol debe ser irreducible, no existe ninguna circunstancia en la que n2 pueda existir, por lo que n2 = 0. Además, sabemos que el árbol debe tener 10 nodos en total; eso significa que nunca tendrás n10 o n11, y así sucesivamente. El máximo es n9.
Luego podemos representar lo que sabemos con una fórmula matemática:
n1 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 + n8 + n9 = 10
Tenga en cuenta que omitimos n2 porque sabemos que sería igual a 0.
Hay otra restricción que podemos expresar. Nuestro árbol con 10 nodos tendrá finalmente 18 líneas, o conexiones, entre ellas si contamos de tal manera que el vínculo entre el nodo A y el nodo B cuente dos veces, siendo uno AB y el otro BA. Podemos usar eso para construir una ecuación en la que representemos cada conexión y nodo individualmente. Por ejemplo, si un nodo se vincula a otro nodo, crea una conexión: 1n1. Si un solo nodo se vincula a otros tres nodos, se crearán tres conexiones, es decir, 3n3, etcétera. Esto nos lleva a la siguiente ecuación:
n1 + 3n3 + 4n4 + 5n5 + 6n6 + 7n7 + 8n8 + 9n9 = 18
Ahora ha creado dos ecuaciones que acorralan y restringen nuestras opciones de dibujo de árboles. Pero necesitamos combinarlos para identificar los términos más relevantes para nuestra tarea. Puedes restar la primera ecuación de la segunda para producir:
2n3 + 3n4 + 4n5 + 5n6 + 6n7 + 7n8 + 8n9 = 8
Esta ecuación sirve como referencia para dibujar los distintos árboles. La idea es tomar términos que, juntos, sumen 8 cuando sumas su primer número entero o coeficiente. Mire 8n9, por ejemplo. Eso nos dice que solo necesitamos un n9 para construir nuestro árbol, que corresponde al dibujo en el que un solo nodo tiene nueve conexiones.
Si intentas dibujar n8, llegarás a un escenario sin salida, sin ningún árbol que cumpla con nuestros criterios. Si estuvieras usando nuestra ecuación como referencia, ni siquiera te molestarías en intentar dibujarla porque verías que no puedes combinar 7n8 con otro término de modo que el primer número de cada uno sea igual a 8.
Pero un nodo con siete conexiones, n7, puede funcionar si lo combinas con n3, lo que significa que puedes combinar un árbol con siete conexiones (representado por 6n7 en la ecuación) y un árbol con tres conexiones (2n3) para encontrar otra solución al problema. ¡Y puedes continuar con el proceso desde allí!
Existen mejores ejemplos
Puedo entender por qué los realizadores de Good Will Hunting rehuyeron el trabajo real de Dantzig. La solución que ideó no fue corta y los árboles probablemente sean más atractivos visualmente para un director de fotografía.
Pero sigo pensando que los realizadores eligieron mal este problema matemático en particular, incluso para una película de Hollywood. La historia de las matemáticas tiene muchas historias sorprendentes, incluidas historias reales de personas comunes y corrientes que resuelven un problema abierto, que podrían ser un gran material para el cine.
En el campo de la geometría, por ejemplo, muchos avances en el mosaico del plano los han logrado personas ambiciosas que no habían estudiado matemáticas ni nada similar. Uno de mis favoritos personales ocurrió en 2022, cuando el técnico de impresión jubilado David Smith finalmente encontró el tan buscado “mosaico de Einstein”, un polígono que puede llenar un plano por completo sin espacios y sin que el patrón resultante se repita jamás.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización. Fue traducido de la versión original alemana con la ayuda de inteligencia artificial y revisado por nuestros editores.