Imagínese que usted y yo estamos jugando un simple juego de azar. Cada uno de nosotros arroja $50 en un bote y comenzamos a lanzar una moneda. Cara, obtienes un punto; Cruz, consigo uno. La primera persona que alcance los 10 puntos se llevará los $100 completos. El juego comienza y el marcador es actualmente de ocho a seis a tu favor. De repente suena mi teléfono: hay una emergencia y debo salir rápidamente. Ahora tenemos un problema. No querrás devolverme mis 50 dólares simplemente porque estás ganando. Pero soy reacio a darte todo el bote porque todavía tengo la oportunidad de tener una racha de suerte y remontar. ¿Cuál es la forma más justa de dividir el efectivo?
Conocido como el “problema de los puntos” o “problema de la división de las apuestas”, este enigma dejó perplejos a los matemáticos durante más de 150 años. Y lo hizo por una buena razón: la teoría de la probabilidad no se había inventado cuando se planteó el problema por primera vez. Dos grandes de las matemáticas del siglo XVII, Blaise Pascal y Pierre de Fermat, mantuvieron correspondencia sobre el problema en una famosa serie de cartas. No sólo descubrieron la forma correcta de compartir el bote, sino que también crearon las bases de la teoría moderna de la probabilidad en el proceso. Hasta el día de hoy, la solución es la base para evaluaciones de riesgos de todo tipo, ayudándonos a hacer apuestas más inteligentes en todo, desde comprar acciones hasta asegurar una casa a lo largo de la costa.
En 1494, el matemático italiano Luca Pacioli abordó por primera vez el problema de los puntos en su libro de texto, cuyo título se traduce como Resumen de aritmética, geometría, proporciones y proporcionalidad. Propuso que los jugadores dividieran el bote en proporción a la cantidad de puntos que tuviera cada uno en el momento de la interrupción. En nuestro ejemplo en ejecución, has ganado ocho de los 14 lanzamientos hasta el momento. Según la solución de Pacioli, tomarías ocho catorceavos del bote, lo que equivale aproximadamente a $57,14. Yo tomaría los seis catorceavos restantes. La solución parece sensata, pero más de 50 años después, Niccolò Fontana “Tartaglia” notó que fallaba en los casos en que la proporción de puntos entre los jugadores era extrema. ¿Qué pasaría si la interrupción se produjera después de un único lanzamiento de moneda? Bajo la regla de Pacioli, el ganador de ese lanzamiento se llevaría todo el bote, aunque el juego estaba lejos de estar decidido. Esto sería claramente injusto, y el problema de los puntos tiene que ver con buscar una división justa.
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Tartaglia propuso un método alternativo. Imagina que, en nuestro juego hipotético, llevas dos lanzamientos de ventaja. Tienes una quinta parte de los 10 lanzamientos necesarios para ganar. Como eso está una quinta parte más cerca de la meta, Tartaglia razonó que deberías recuperar tu apuesta completa y tomar una quinta parte de mi apuesta: los $50 originales que pusiste más una quinta parte de mis $50, para un total de $60. Este nuevo enfoque parece funcionar de manera más equitativa, especialmente en los extremos. Ahora bien, si el juego se interrumpe después de un lanzamiento, entonces el ganador de ese lanzamiento se llevaría sólo una décima parte de la apuesta de su oponente en lugar de toda. Mientras que el método de Pacioli recompensa al jugador ganador en función del tamaño de su ventaja en relación con el número de lanzamientos hasta el momento, el método de Tartaglia lo recompensa en función del tamaño de su ventaja en relación con la duración total del juego. Sin embargo, Tartaglia dudó de su propia innovación y escribió: “Cualquiera que sea la forma en que se haga la división, habrá motivo de litigio”. Creía que no existía una solución matemática perfecta y que el problema estaba diseñado para provocar discusiones. Resulta que al menos tenía razón al dudar de su propia solución. Imaginemos que un jugador tuviera 199 puntos y que el otro tuviera 190 puntos durante un partido con una meta de 200 puntos. Tartaglia otorgaría al primer jugador sólo nueve dos centésimas de la apuesta de su oponente, o 2,25 dólares, aunque su oponente necesitaría 10 cruces seguidas para ganar. El miserable pago del primer jugador difícilmente parece reflejar su abrumadora probabilidad de ganar en esa etapa del juego.
El debate no llegó a ninguna parte hasta mediados del siglo XVII, cuando un jugador e intelectual de alta sociedad francés contó con la ayuda del matemático Blaise Pascal. Pascal vio inmediatamente que la solución no estaba en la partitura en el momento de la interrupción sino en las posibilidades futuras de la partitura, y escribió a su amigo y colega matemático Pierre de Fermat para que le ayudara a demostrarlo. Su correspondencia arrojó dos enfoques completamente únicos del problema. Sorprendentemente, sus distintos enfoques siempre llegaron a la misma solución. Esta convergencia selló su confianza en sus resultados, y los matemáticos ahora coinciden en que habían encontrado la forma más justa de dividir lo que estaba en juego.
La solución de Fermat fue mirar todas las posibles continuaciones del juego después del punto en el que fue interrumpido y contar el número de esas continuaciones que resultan en una victoria para cada jugador. Un porcentaje justo del bote total otorgado a un jugador debería ser el porcentaje de futuros posibles en los que ese jugador gane el juego. Tomemos como ejemplo la puntuación de ocho a seis de nuestro reciente juego con una meta de 10 puntos; Fermat se daría cuenta de que el juego debe terminar en cinco lanzamientos de moneda. Si el primer jugador ganó un lanzamiento y el segundo ganó tres, entonces estarían empatados nueve a nueve y el juego terminaría en el siguiente lanzamiento. Si el juego se detuviera en este punto, el método de Fermat para dividir el bote enumeraría todos los resultados posibles de esos cinco lanzamientos de moneda y luego contaría los que acumularon 10 puntos para cada jugador. En algunos de esos futuros posibles, un jugador ganará en menos de cinco lanzamientos, pero está bien: podemos imaginar que si el juego termina antes, los jugadores lanzan la moneda unas cuantas veces más sólo para facilitar la contabilidad. La siguiente figura revela la respuesta a nuestro enigma. El primer jugador gana en 26 de las 32 posibles continuaciones del juego, por lo que se le debe 26/32 = 81,25 por ciento del bote, o $81,25.
La solución de Fermat, aunque elegante, adolecía de un gran inconveniente: ¿qué pasaría si hubiera demasiadas posibles continuaciones para enumerarlas? Incluso si sólo quedaran 20 lanzamientos en nuestro juego, tendríamos que considerar más de un millón de futuros imaginarios para descubrir una división justa. Pascal ofreció una respuesta genial y, en el proceso, proporcionó el primer razonamiento sobre lo que se convertiría en el concepto de valor esperado, que sigue siendo un pilar fundamental de la teoría de probabilidad moderna.
El método de Pascal comienza con una afirmación no controvertida: si el juego está empatado en el momento de la interrupción, entonces los dos jugadores deben dividir el bote en partes iguales. Si el puntaje era nueve a nueve cuando ocurrió la interrupción, entonces cada jugador recuperaría $50. Ahora trabajamos hacia atrás desde allí. Si el marcador fuera nueve a ocho a favor del primer jugador, el enfoque de Pascal preguntaría qué pasaría después de un lanzamiento más. Habría un 50 por ciento de posibilidades de que el jugador a la cabeza ganara el lanzamiento de la moneda, alcanzara los 10 puntos y se llevara todo el bote. Por otro lado, habría un 50 por ciento de posibilidades de que el otro jugador ganara el lanzamiento y empatara el juego nueve a nueve, lo que significaría que debería dividir el bote. Las ganancias del primer jugador promediarían:
50 por ciento de $100 + 50 por ciento de $50 = $75
Entonces, si el juego se interrumpe con una puntuación de nueve a ocho, entonces el primer jugador debería tomar $75. Podemos aplicar este tipo de razonamiento de forma recursiva para determinar la división adecuada para cualquier situación.
La clave es ver cuáles serían sus ganancias justas si saliera una cara más y cuáles serían si saliera una cruz más. Luego encuentras el promedio de esas dos posibilidades. Con una puntuación de nueve a siete, el primer jugador debería ganar $87,50: una cara más le daría $100, y una cruz más le daría $75 porque ese sería el caso de nueve a ocho que acabamos de analizar. Con una puntuación de nueve a seis, se llevarían 93,75 dólares. Una puntuación de ocho a siete otorgaría 68,75 dólares, el promedio de su participación justa en una puntuación de nueve a siete con su participación justa en una puntuación de ocho a ocho. Y finalmente, con una puntuación de ocho a seis, el primer jugador debería quedarse con: 50 por ciento de $93,75 + 50 por ciento de $68,75 = $81,25
Esta es exactamente la misma solución que el método de Fermat. Tanto Fermat como Pascal tenían la misma idea: una división justa depende de los futuros posibles, y cada futuro posible debe sopesarse según su probabilidad de ocurrir. Hoy reconocemos estas ecuaciones como valores esperados o promedios ponderados de todos los resultados futuros posibles. Fermat enumeró estos resultados futuros de manera exhaustiva, considerando cada forma posible en que podrían aterrizar los próximos cinco lanzamientos de moneda. Pascal ideó una manera inteligente de trabajar hacia atrás: calculas la división justa cuando te quedan cinco lanzamientos de moneda, basándose en las divisiones justas con cuatro lanzamientos de moneda restantes, que a su vez calculas en base a tres lanzamientos restantes, y así sucesivamente.
El concepto de valor esperado no se limitó a los juegos de salón del siglo XVII. Es el motor matemático que impulsa casi todas las evaluaciones de riesgos modernas. Cuando un actuario fija el precio de una prima de seguro de vida, un analista de Wall Street evalúa una cartera de acciones o un jugador sopesa los riesgos de una apuesta, están realizando exactamente el mismo cálculo. Multiplican el efecto financiero de cada escenario posible por su probabilidad y luego encuentran la suma de esos resultados para cuantificar el valor de una decisión. La incertidumbre es ineludible y debemos gran parte de nuestra estatura tecnológica actual a nuestra capacidad para afrontarla con rigor. Durante milenios, los matemáticos trataron los problemas de azar mediante conjeturas no sistemáticas. La correspondencia de Pascal y Fermat reemplazó esas conjeturas con un marco. Si bien todavía no podemos predecir el futuro, al menos sabemos cómo ponerle precio.