La semana pasada, OpenAI sorprendió a la comunidad matemática al revelar que uno de sus modelos internos de inteligencia artificial (IA) había encontrado un contraejemplo de una famosa conjetura hecha por el legendario matemático húngaro Paul Erdős en 1946.
El problema de la distancia unitaria plana, o problema 90 de Erdő, ha intrigado a los matemáticos durante décadas.
El nuevo resultado no es mera curiosidad. El matemático canadiense Daniel Litt lo describió como “el primer resultado producido de forma autónoma por una IA que me parece interesante en sí mismo”.
El avance, producido con un modelo de IA de propósito general en lugar de uno especializado en matemáticas, también resalta cómo la IA está cambiando la propia investigación matemática.
Días después del artículo de OpenAI, el matemático estadounidense Will Sawin siguió la misma línea de razonamiento para obtener un resultado mejorado. También la semana pasada, un equipo de Google DeepMind utilizó uno de sus propios modelos para resolver nueve problemas abiertos menores dejados por Erdős.
Al mismo tiempo, resultados como este nos muestran en qué tipo de matemáticas son buenos los modelos de IA actuales y dónde sus capacidades aún son inciertas.
Puntos y líneas
Paul Erdős fue uno de los matemáticos más prolíficos del siglo XX. Era famoso por plantear preguntas engañosamente simples cuyas soluciones a menudo resistieron décadas de esfuerzo.
A primera vista, el problema subyacente parece relativamente sencillo.
Suponga que tiene una cierta cantidad de puntos (llame al número n) dibujados en una hoja de papel infinitamente grande. Dado que puedes organizar los puntos como quieras, ¿cuántos pares de puntos se pueden colocar exactamente a una unidad de distancia entre sí?
Si intenta resolver este problema usted mismo (en una hoja de papel presumiblemente finita), puede gravitar rápidamente hacia una cuadrícula como candidata prometedora para la mejor disposición. El espaciado de la cuadrícula crea naturalmente muchos pares a una distancia regular.
Esta intuición influyó en gran parte de las primeras ideas sobre el problema. A medida que crece el número de puntos, las disposiciones en forma de cuadrícula siguen pareciendo notablemente efectivas.
Durante décadas se creyó ampliamente que estas estructuras altamente regulares eran lo mejor que se puede imaginar.
El propio Erdős conjeturó que ninguna construcción podría mejorar sustancialmente estas disposiciones intuitivas, ni siquiera para un número extremadamente grande de puntos.
(Según se informa, el nuevo mejor resultado, de Sawin, solo comienza a producir mejoras de alrededor de 102000000 puntos, es decir, un uno seguido de dos millones de ceros).
Durante los últimos 80 años, los matemáticos han intentado demostrar que Erdő está bien o mal. Sus esfuerzos han vinculado el problema con otras áreas de las matemáticas llamadas geometría de incidencia, teoría de grafos y combinatoria extrema.
Si bien seguía siendo difícil lograr una prueba completa, existía la sensación general de que la conjetura de Erdős probablemente era cierta.
Sin embargo, el reciente avance de OpenAI demostró que la intuición de Erdős estaba equivocada. El nuevo resultado utiliza herramientas de un área de las matemáticas llamada teoría algebraica de números para mostrar que hay patrones de puntos que involucran muchos más pares de unidad-distancia que la cuadrícula cuadrada, para infinitos valores de n.
Sin dudarlo
En un artículo que OpenAI publicó junto con el nuevo artículo, varios matemáticos destacados comentaron el resultado.
El medallista Fields, Timothy Gowers, escribió que si un investigador humano hubiera enviado el artículo con este resultado a la prestigiosa revista Annals of Mathematics, habría recomendado la publicación “sin dudarlo”.
También añadió que ninguna prueba anterior generada por IA se había acercado a este nivel de sofisticación.
Este avance también representa el primer gran problema matemático abierto resuelto con IA con una mínima intervención humana más allá del mensaje inicial. El documento adjunto muestra la indicación dada al modelo, así como un recuento de la “cadena de pensamiento” realizada por el modelo.
Esto ha renovado preguntas más amplias sobre las capacidades de la IA para ayudar y realizar investigaciones matemáticas.
Tres claves para la investigación matemática
Los investigadores matemáticos han estado utilizando computadoras durante mucho tiempo, pero su trabajo rara vez se basa únicamente en la computación.
La mayoría de los avances importantes surgen de una delicada combinación de tres cosas: experiencia desarrollada a lo largo de años, esfuerzo sostenido para aplicar esa experiencia de manera creativa para explorar ideas (muchas de las cuales resultan ser callejones sin salida) y saltos conceptuales ocasionales que de repente reorganizan la forma en que se entiende un problema.
Los dos primeros son dominios en los que sobresalen los modelos de IA: como señaló Gowers, los grandes modelos de lenguaje como ChatGPT tienen un “conocimiento enciclopédico de las matemáticas”.
Además, pueden seguir un gran número de líneas de investigación especulativas, incluso aquellas que probablemente no lleven a ninguna parte, sin limitaciones de tiempo humanas.
Esto último parece ser lo que proporcionó la clave del éxito en este caso. En retrospectiva, parece que un experto al que se le dieran un pequeño número de pistas probablemente podría llegar a la misma prueba.
Como señala Gowers:
Muchas de las ideas necesarias para la prueba ya estaban presentes en la literatura, y para tales ideas, o no se necesita ninguna pista, ya que el experto conoce esa pieza de literatura, o una pista muy genérica de “búsquela” sería suficiente.
Momentos de bombilla
La pregunta más difícil es hasta qué punto la IA puede contribuir a avances conceptuales genuinos. Estos momentos agudos de intuición, en los que un momento de luz reformula un problema de una manera completamente nueva, a menudo se consideran la parte más humana de las matemáticas.
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Estos saltos son difíciles de formalizar y aún más difíciles de predecir. Aún no está claro si los modelos de IA pueden replicarlos, incluso con avances recientes.
Lo que está claro es que los modelos de IA están provocando un cambio radical en la forma en que se descubren las matemáticas.
Durante siglos, el progreso en matemáticas dependió casi por completo de la creatividad y la perseverancia humanas.
Ahora, por primera vez, los investigadores están trabajando junto a sistemas capaces de explorar de forma autónoma enormes espacios de ideas y contribuir a problemas que antes se creían accesibles sólo al conocimiento humano.
Melissa Lee, profesora titular, Facultad de Matemáticas, Universidad de Monash
Este artículo se vuelve a publicar desde The Conversation bajo una licencia Creative Commons. Lea el artículo original.