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Durante la Segunda Guerra Mundial, cuando las fuerzas aliadas (incluidas las del Reino Unido, Estados Unidos y Canadá) desembarcaron en las playas de Normandía en la Operación Overlord, dieron un paso fundamental para liberar a Europa occidental del control nazi. Pero la planificación de esa maniobra fue difícil. Uno de los desafíos fue que los nazis estaban produciendo una cantidad desconocida de tanques nuevos que eran más poderosos que los modelos más antiguos. Las agencias de inteligencia tuvieron que determinar los datos de producción de los tanques enemigos, por lo que reclutaron matemáticos.
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Durante los combates anteriores, los aliados habían recuperado varios tanques enemigos. Tras el examen, descubrieron números de serie en algunos componentes. Luego, los estadísticos analizaron estas secuencias e hicieron un descubrimiento sorprendente. Aunque los números en el chasis estaban divididos en varios intervalos no relacionados, las transmisiones parecían estar numeradas secuencialmente, al igual que los cañones del tanque, los calentadores, las ruedas y los motores de la torreta. Utilizando todos los datos recopilados, los expertos pudieron estimar cuántos tanques nuevos producían los nazis cada mes. En última instancia, los resultados matemáticos del llamado problema de los tanques alemanes estaban mucho más cerca de la verdad que cualquier otra estimación.
Podemos repasar las matemáticas juntos usando un conjunto simplificado de números. Considere el siguiente escenario: supongamos que hay N = 271 tanques, numerados secuencialmente del 1 al 271. Para los propósitos de nuestro experimento mental, no sabes el número N, pero has logrado recuperar 15 tanques enemigos, marcados 3, 7, 17, 80, 92, 96, 98, 116, 125, 138, 166, 167. 199, 232 y 242. Por lo tanto, se puede suponer que hay al menos 242 tanques genéricos. Pero podría haber más. Para estimar N, supongamos que los 15 tanques capturados fueron completamente al azar: una muestra arbitraria de 15 números de Nnúmeros posibles.
Cuatro métodos para estimar el número de tanques alemanes
Puede estimar N calculando la mediana muestral. Este es el número que se encuentra exactamente en el medio de la lista ordenada. Por lo tanto, la muestra contiene tantos valores menores que la mediana como valores mayores. En nuestro ejemplo de 15 tanques, la mediana m’ es el octavo número, por lo que m’ = 116. Una estimación posible sería que la mediana de la muestra m’ es la misma que la mediana de la lista de todos los N tanques.
Para tal lista ascendente de N números, la mediana de todos los tanques, si N es impar, es: m = (N + 1) / 2. Por lo tanto, podemos hacer una primera estimación del número total, N₁, usando la mediana m’: N₁ = 2m’ − 1 = 2 × 116 − 1 = 231. Pero el número más alto en nuestra muestra es 242, por lo que N debe ser mayor.
La mediana de la muestra (116) no necesariamente tiene que coincidir con la mediana real (136).
Quizás sería mejor considerar la media en lugar de la mediana. En una lista 1, 2, 3, …, N, la mediana y la media son iguales, pero en una muestra, estos dos valores pueden diferir.
La media muestral (o promedio) se obtiene en este caso sumando todos los números (1778) y dividiendo por cuántos hay, es decir, 15. En este caso, la media, M ≈ 119. Usando la misma fórmula que para la mediana, se puede hacer una segunda estimación, N₂, para el número de tanques: N₂ = 2M − 1 = 2 × 119 − 1 = 237. Lamentablemente, este valor también está por debajo de 242 y, por tanto, no puede ser correcto.
La media muestral (119) es ligeramente mayor que la mediana (116).
Para garantizar que la estimación no sea menor que el número más grande de la muestra, se podría suponer que se omitieron la misma cantidad de tanques al principio de la lista que al final. Esto significaría sumar el número de tanques que preceden al número de muestra más pequeño al número más grande. El número más pequeño en la muestra es 3, por lo que dos tanques lo precedieron, y el número más grande es 242. Esto da como resultado una tercera estimación: N3 = 2 + 242 = 244.
Sin embargo, el resultado sería aún más preciso si se consideraran los intervalos promedio de los números de la muestra. Entonces calculas la distancia promedio d entre cada número en la muestra: d = 1/15 × [(nmin − 1) + (n1 − nmin − 1) + (n2 − n1 − 1) + … + (n13 − n12 − 1) + (nmax − n13 − 1)] = 1/15 × nmax − 1. Por lo tanto, la distancia media d depende en última instancia solo del número más grande de nuestra muestra: d = 242/15 − 1 ≈ 15. Esto ahora se puede sumar a nmax para obtener una cuarta estimación: N4 = 257, que está bastante cerca del resultado real (271).
Los matemáticos aliados utilizaron precisamente este método para investigar la producción de tanques alemanes con un éxito impresionante, en comparación con las estimaciones de inteligencia, como muestra esta tabla de un artículo de una revista de 1947:
Para ir un paso más allá, se puede determinar qué método es mejor para estas predicciones utilizando lo que los matemáticos llaman simulaciones de Monte Carlo. Se establecen diferentes valores de N y se seleccionan aleatoriamente diferentes muestras de tamaño n, con las que se determinan las dos estimaciones N3 y N4. Al realizar repetidamente el experimento con una computadora, se pueden examinar las distribuciones de probabilidad de N3 y N4, así como sus medias y varianzas (una medida de dispersión). Al hacer esto, encontrará que ambas medias convergerán hacia el valor real N, aunque la varianza de N4 es menor que la de N3. En otras palabras, los matemáticos aliados eligieron la mejor estrategia matemática.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización. Fue traducido de la versión original alemana con la ayuda de inteligencia artificial y revisado por nuestros editores.