Las áreas de topología giran en torno a categorizar nudos o formas geométricas, y la teoría de números explora propiedades como la distribución de números primos. Si nos limitamos a relaciones algo más simples, podemos observar un patrón con los números 5 y 6 que fue reconocido por los babilonios hace milenios: el cuadrado de 5 es 25, que termina en 5; el cuadrado de 25 es 625, que termina en 25; y el cuadrado de 625 es 390,625, que termina en 625. Lo que parece un truco divertido Popularizado por el matemático Maurice Kraitchik en 1942. conduce a uno de los sistemas numéricos más importantes de las matemáticas y uno de los más extraños.
Si juegas con el número 6, el resultado no es tan impresionante, pero aquí también surge un patrón: 6 al cuadrado da 36; 36 al cuadrado da 1296. Aunque 36 ya no aparece en la secuencia de dígitos, el resultado siempre termina en 6. En general, los números cuyo cuadrado termina con el mismo dígito o dígitos que el número mismo se llaman automórficos. Hay un número infinito de estos: 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, etc. Resulta que, aparte de 0 y 1, todos los números automórficos terminan en 5 o 6.
Sin embargo, el número 5 es particularmente emocionante. No sólo es automórfico, sino que también su cuadrado y el cuadrado de su cuadrado son automórficos. Naturalmente, esto plantea la cuestión de si esta secuencia de números automórficos continúa indefinidamente. En otras palabras, ¿la elevación repetida al cuadrado de 5 siempre produce un número automórfico?
Resulta que ese no es el caso:
Entonces el patrón parece colapsar después del tercer cuadrado: 390,6252 resulta en 152.587.890.625. Por tanto, 390,625 no puede ser automórfico porque el número no está completamente contenido en su cuadrado.
Pero si miras con atención, puedes ver que al menos los últimos cinco dígitos aparecen en el número cuadrado, es decir, 90.625. Y si cuadras este número, obtienes: 8,212,890,625. ¡Por lo tanto, 90.625 es un número automórfico!
Eso significa que puedes continuar y calcular el cuadrado de 8.212.890.625. El resultado es enorme, pero resulta que 8.212.890.625 también es automórfico porque su cuadrado es 67.451.572.418.212.890.625.
Puedes continuar con este procedimiento: elevar sucesivamente al cuadrado todos los números, y si no son automórficos, continuar los cálculos con los últimos dígitos que se repitan. Esto da como resultado la siguiente secuencia de números:
5
25
625
90.625
8.212.890.625
18.212.890.625
918.212.890.625
Como puede ver, esto da como resultado un número automórfico cada vez mayor. De hecho, este procedimiento puede continuar hasta el infinito; al final, el resultado es un número infinitamente grande que es completamente automórfico (es decir, un número infinitamente grande cuyo cuadrado se corresponde a sí mismo: norte2 = norte). Incluso si no puedes escribir ese número infinitamente grande, se conocen sus últimos dígitos: …918.212.890.625.
El hecho de que exista tal “punto fijo” en el infinito es asombroso en sí mismo. Aún más sorprendente es que al menos los últimos dígitos de este número puedan especificarse con precisión.
No es inmediatamente obvio que este procedimiento pueda continuarse infinitamente. Después de todo, en algún momento podrías encontrarte con un número que ya no sea automórfico. Y de todos modos, ¿qué se supone que representa un número infinito como… 67,451,572,418,212,890,625? ¿En qué se diferencia de un valor como…11111111111? Después de todo, ambos números son infinitos.
Nace un nuevo sistema numérico
A finales del siglo XIX, el matemático Kurt Hensel desarrolló el concepto de los llamados pag-números ádicos. Estos son números que tienen un número infinito de dígitos antes del punto decimal, a diferencia de los números reales ordinarios, que continúan indefinidamente después del punto decimal, como π = 3,14159…. Incluso si esto suena extremadamente inusual al principio, puedes calcular con pag-números ádicos de la misma manera que los números reales ordinarios.
Para ver esto, consideremos una representación algo inusual de los números reales. Todo número real también se puede expresar como una suma infinita. Por ejemplo, π = 3 x 100 + 1 x 10-1 +4 x 10-2 + 1 x 10-3 +5×10-4 + 9 x 10-5 +…
El pagLos números -ádicos también se pueden representar como una serie infinita pero con exponentes positivos. Entonces …890625 = 5 x 100 + 2 x 101 +6 x 102 + 0x103 + 9 x 104 + 8 x 105 + …. De esta manera, queda más claro cómo se calcularía con estos extraños números. Por ejemplo,…111111 +…22222 =…33333. El pag-Los números ádicos también se pueden dividir y multiplicar.
Sin embargo, las dos últimas operaciones pueden provocar problemas con números automórficos como …890.625. Como ya se mencionó, este número corresponde a su cuadrado, por lo que se aplica lo siguiente: norte2 = norte.
Si conviertes esta ecuación cuadrática, el resultado es: norte2 – norte = norte X (norte – 1) = 0. Si un producto de dos factores (aquí norte y norte – 1) da como resultado 0, entonces al menos uno de los factores debe ser 0. Sin embargo, este sólo es el caso si norte = 0 o norte = 1. Con pag-números ádicos, norte También puede tener un valor distinto de 0 o 1, como …890,625, por ejemplo, y aun así cumplir la ecuación anterior. Esto significa que con pag-Números ádicos, el producto de dos números que no son iguales a 0 aún puede dar como resultado 0.
División por cero
Estos “divisores de cero” plantean un problema incluso en cálculos sencillos. De repente hay que tener mucho cuidado al dividir para evitar dividir accidentalmente un número entre 0. Esto se puede ver en el siguiente ejemplo: Supongamos que a y b son pag-números ádicos que no son iguales a 0 y que a X b = 0. Si quieres resolver la ecuación 2⁄a = b x (1 + X) para Xnormalmente dividirías ambos lados de la ecuación entre b primero. Porque el producto de a y b es 0, sin embargo, dividirías el término de la izquierda por 0. Por lo tanto, la ecuación no se puede resolver de esta manera.
Resulta que estos divisores de cero problemáticos se pueden evitar. En caso de que te preguntes sobre el nombre del sistema numérico, el pag significa número primo. El pagSin embargo, los números -ádicos que he presentado son en realidad números “10-ádicos”, que se definen en base 10. Como 10 no es un número primo, se producen divisores de cero tan desagradables. Pero si nos fijamos en los números 3-ádicos, por ejemplo, que están representados por una suma de la forma X0 x30 + X1 x31 + X2 x32 + X3 x33 + X4 x34 + X5 x35 + … (donde los coeficientes Xi = 0, 1 o 2), no encontrarás ningún divisor de cero. Y por lo tanto, pag-números ádicos donde pag es realmente un número primo y no contiene ningún valor completamente automórfico que cumpla norte2 = norteademás de …00000 y …00001 (0 y 1).
Aunque el pag-Los números ádicos parecen extremadamente complicados a primera vista, pero se utilizan ampliamente. De hecho, los teóricos de los números utilizan estos extraños valores en la mayor parte de su trabajo. pag-Los números ádicos están “muy alejados de nuestras intuiciones cotidianas”. dijo el matemático Peter Scholze cuantos revista. “Ahora encuentro los números reales mucho, mucho más confusos que pag-números ádicos. Me he acostumbrado tanto a ellos que ahora los números reales me resultan muy extraños”.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.