Si buscas la historia del análisis de Fourier, verás que Jean-Baptiste Joseph Fourier formalizó la serie que llevaría su nombre mientras trabajaba en el problema del flujo de calor.
Una serie de Fourier representa una señal periódica como una suma de sinusoides cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.
Sabemos intuitivamente que un punto caliente en un medio conductor propagará el calor en todas direcciones hasta que la temperatura sea uniforme. No hay ningún comportamiento oscilatorio visible en este fenómeno, ni en el espacio ni en el tiempo. ¿Por qué entonces introducir una serie de sinusoides?
El perfil de temperatura inicial, la ecuación diferencial gobernante y las condiciones de contorno determinan la evolución de la función de temperatura u(x, t) en el problema de un medio conductor unidimensional como una barra metálica delgada. Resulta que los componentes de frecuencia espacial del perfil de temperatura inicial se verán amortiguados por una exponencial que decae con el tiempo, con un factor exponencial que crece como el cuadrado de la frecuencia espacial. En otras palabras, las frecuencias altas en el perfil de temperatura inicial decaen mucho más rápido que las frecuencias bajas, lo que explica el suavizamiento de la distribución de temperatura.
En esta historia, Revisaremos los conceptos básicos de las series de Fourier para una función definida en un dominio finito.. Plantearemos el problema de manera que la serie de Fourier resultante tenga algunas propiedades deseables en los límites del dominio. Este enfoque dará sus frutos cuando apliquemos la serie de Fourier para resolver un problema que involucra ecuaciones diferenciales con algunas restricciones en los límites.
Series de Fourier: una herramienta para representar funciones periódicas
Las series de Fourier pueden aproximarse a funciones periódicas. Sea g(x) una función periódica con período 2L.
¿Por qué un período de 2L?
Estamos interesados en funciones definidas en el dominio finito. [0, L]. Podemos construir una función periódica g(x) cuyo período es 2L a partir de la función f(x) definida sobre [0, L] con algo de relleno elegido para que tenga propiedades deseables. Volveremos a este punto más adelante.
Suponiendo que existe una serie de Fourier, podemos escribir g(x) como:
Como ejemplo, consideremos la siguiente función periódica g(x), con período 2L = 0,6:
Al aplicar las ecuaciones (2), (3), (4) y usar la integración numérica de Simpson se obtienen los siguientes valores para a₀, aₙ y bₙ:
Estos valores, los coeficientes de Fourier, nos permiten construir una aproximación de g(x) con la ecuación (1). Cuantos más términos incluyamos en la suma, más precisa será la aproximación. La Figura 2 muestra algunas aproximaciones con varios números de términos de la suma en la ecuación (1).
Ya podemos formular algunas observaciones:
- Las discontinuidades finitas en la señal son tolerables, pero generan oscilaciones en la aproximación reconstruida. Nos referimos a estas oscilaciones en la vecindad de discontinuidades como la fenómeno de gibbs.
- La serie de Fourier es la suma de un número infinito de términos, pero podemos truncar la suma y aún tener una aproximación razonable de la función original.
- La señal original podría ser una muestra de puntos discretos. La serie de Fourier puede interpolar la función en cualquier parte del eje x.
Funciones definidas en un dominio finito
En los problemas de ingeniería, a menudo encontramos funciones definidas en un dominio finito. Por ejemplo, en el caso de la distribución de temperatura unidimensional de un medio conductor, la función de temperatura se define sobre la [0, L] rango, donde L es la longitud de la barra de metal delgada. ¿Cómo se puede utilizar la serie de Fourier en este contexto?
Para responder a esta pregunta, primero reconocemos que cualquier función periódica g(x) que coincida con la función de interés f(x) en el rango [0, L] es un candidato válido para una representación en serie de Fourier de f(x). Después de todo, no nos importa cómo se comporta la serie de Fourier fuera del [0, L] rango.
La ingenua replicación periódica de f(x)
La forma más sencilla de construir g(x) es replicar f(x) en el intervalo [-L, 0]como en la figura 3:
La integración de Fourier para la replicación periódica ingenua de f(x) produce las ecuaciones (5) a (7):
Al insertar (5), (6), (7) en la ecuación (1) en f(x) de la Figura 3, obtenemos la reconstrucción en serie de Fourier que se muestra en la Figura 4:
La serie de Fourier se asemeja mucho a la señal original, excepto en los límites del rango, donde la reconstrucción oscila y salta. Dado que construimos explícitamente una señal periódica del período L, la serie de Fourier interpreta las transiciones en x=0 y x=L como discontinuidades finitas.
La serie de Fourier permite discontinuidades finitas, pero el fenómeno de Gibbs degrada la reconstrucción alrededor de las discontinuidades.
En muchos casos de ingeniería, esto resulta problemático. Por ejemplo, en el caso de la transferencia de calor en una barra de metal delgada, lo que sucede en los extremos de la barra (también conocido como las condiciones de contorno) es una parte intrínseca de la descripción del problema. Podríamos tener una barra aislada, lo que implica que el gradiente de temperatura debe ser 0 en ambos extremos. Alternativamente, podríamos tener temperaturas establecidas arbitrariamente en x=0 y x=L. En estos escenarios comunes, no podemos utilizar la replicación periódica ingenua de f(x) porque el fenómeno de Gibbs corrompe la señal en los extremos del rango.
Incluso expansión de medio rango
En lugar de replicar f(x), podríamos tener una versión invertida de f(x) en el rango [-L, 0]como en la Figura 5:
Este enfoque elimina las discontinuidades en x=0 y x=L. La integración de Fourier para la expansión de rango medio par de f(x) produce las ecuaciones (8) a (10):
La Figura 6 muestra la reconstrucción en serie de Fourier de f(x):
Una característica de la expansión de rango medio par es el hecho de que al ser g(x) par, todos los coeficientes bₙ (ver ecuación (10)) son 0 y, por lo tanto, su serie de Fourier está compuesta exclusivamente de términos cosenos. Como consecuencia, la derivada de la serie de Fourier es cero en x=0 y x=L. Puedes verificar esto derivando la ecuación (1) con respecto a x, con todos los términos de bₙ establecidos en 0.
Eso es lo que queremos en un escenario en el que, por ejemplo, la barra de metal esté aislada, de modo que no haya fugas de calor en los extremos.
Expansión extraña de medio rango
¿Qué pasaría si en su lugar creáramos una función impar? Esto se puede lograr pegando una versión rotada de f(x) en el intervalo [-L, 0]como en la Figura 7:
La integración de Fourier para la expansión impar de medio rango de f(x) produce las ecuaciones (11) a (13):
La Figura 8 muestra la reconstrucción en serie de Fourier de f(x):
Al ser g(x) impar, la serie de Fourier está formada exclusivamente por términos sinusoidales. Por esta razón, la serie de Fourier es cero en x=0 y x=L. Esta propiedad se puede aprovechar, por ejemplo, cuando simulamos la forma de una cuerda de guitarra oscilante. La altura de la cuerda está restringida a 0 en x=0 y x=L, por lo que naturalmente modelaríamos la condición inicial con media expansión impar.
Ampliación uniforme de un cuarto de alcance
Podemos ser aún más creativos y diseñar una función periódica con un período de 4L. Si queremos una derivada de exactamente 0 en x=0 y una transición suave, tanto en valor como en derivada, en x=L, podemos agregar una copia rotada de f(x) en el [L, 2L] intervalo y hacer que esta función sea uniforme. La figura 9 muestra un ejemplo:
La integración de Fourier para la expansión de un cuarto de rango par de f(x) produce las ecuaciones (14) a (16):
La Figura 10 muestra la reconstrucción en serie de Fourier de f(x):
Aunque no es visible en la figura, la derivada de la reconstrucción en serie de Fourier es 0 en x=0 e idéntica a la señal original en x=L.
Expansión extraña de un cuarto de rango
El último caso que consideraremos es cuando queremos un valor de 0 en x=0 y una derivada de 0 en x=L. Construimos g(x) agregando una versión invertida de f(x) en el [L, 2L] rango y hacer que esta función sea extraña.
La integración de Fourier para la expansión de un cuarto de rango impar de f(x) produce las ecuaciones (17) a (19):
La Figura 12 muestra la reconstrucción en serie de Fourier de f(x):
Podemos ver que la reconstrucción pasa por 0 en x=0. La derivada es cero en x=L, incluso si la derivada de la señal original no lo es.
Conclusión
Consideramos el problema de encontrar una expansión en serie de Fourier adecuada para una señal f(x) definida en el intervalo finito [0, L]. Las series de Fourier se aplican a funciones periódicas, por lo que tuvimos que construir una función periódica que coincida con f(x) en el dominio definido. Observamos cuatro métodos para definir la función periódica g(x). Cada uno garantiza propiedades específicas en los límites del rango:
- Expansión uniforme de medio rango: la serie de Fourier tiene una derivada de 0 en x=0 y x=L
- Expansión impar de medio rango: la serie de Fourier tiene un valor de 0 en x=0 y x=L
- Expansión de un cuarto de rango par: la serie de Fourier tiene una derivada de 0 en x=0 y un valor y una derivada suaves en x=L
- Expansión impar de un cuarto de rango: la serie de Fourier tiene un valor de 0 en x=0 y una derivada de 0 en x=L
En una historia futura, examinaremos cómo se transfiere el calor en una barra de metal delgada. La solución pasa por convertir el perfil de temperatura inicial a una serie de Fourier. Observaremos que la elección del tipo de expansión en serie de Fourier está naturalmente dictada por las condiciones de contorno (por ejemplo, la barra se aísla en x=0 y se mantiene a una temperatura fija en x=L). ¡Las funciones periódicas aparentemente arbitrarias que creamos en esta publicación de repente tendrán sentido!