La hipótesis de Riemann es la cuestión abierta más importante en la teoría de números, si no en todas las matemáticas. Ha ocupado a los expertos durante más de 160 años. Y el problema apareció tanto en el innovador discurso del matemático David Hilbert de 1900 como entre los “Problemas del Milenio” formulados un siglo después. La persona que lo resuelva ganará un premio millonario.
Pero la hipótesis de Riemann es un hueso duro de roer. A pesar de décadas de esfuerzo, el interés de muchos expertos y la recompensa en efectivo, ha habido pocos avances. Ahora los matemáticos Larry Guth del Instituto Tecnológico de Massachusetts y James Maynard de la Universidad de Oxford han publicó un nuevo hallazgo sensacional En el artículo, “los autores mejoran un resultado que parecía insuperable durante más de 50 años”, afirma el teórico de números Valentin Blomer de la Universidad de Bonn en Alemania.
Otros expertos coinciden. El trabajo es “un avance notable” El matemático y medallista Fields Terence Tao escribió en Mastodon“aunque todavía muy lejos de resolver completamente esta conjetura”.
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La hipótesis de Riemann se refiere a los elementos básicos de los números naturales: los números primos, valores que solo son divisibles por 1 y por ellos mismos. Algunos ejemplos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.
Cualquier otro número, como el 15, puede descomponerse claramente en un producto de números primos: 15 = 3 x 5. El problema es que los números primos no parecen seguir un patrón simple y, en cambio, aparecen aleatoriamente entre los números naturales. El matemático alemán del siglo XIX Bernhard Riemann propuso una forma de lidiar con esta peculiaridad que explica cómo se distribuyen los números primos en la línea numérica, al menos desde un punto de vista estadístico.
Tabla periódica de números
Demostrar esta conjetura proporcionaría a los matemáticos nada menos que una especie de “tabla periódica de números”. Así como los componentes básicos de la materia (como los quarks, los electrones y los fotones) nos ayudan a comprender el universo y nuestro mundo, los números primos también desempeñan un papel importante, no sólo en la teoría de números sino en casi todas las áreas de las matemáticas.
En la actualidad existen numerosos teoremas basados en la conjetura de Riemann. La demostración de esta conjetura también demostraría muchos otros teoremas, lo que constituiría un incentivo más para abordar este difícil problema.
El interés por los números primos se remonta a miles de años. Euclides demostró ya en el año 300 a.C. que existe una cantidad infinita de números primos. Y aunque el interés por los números primos persistió, no fue hasta el siglo XVIII que se hicieron más descubrimientos significativos sobre estos elementos básicos.
A los 15 años, el físico Carl Friedrich Gauss se dio cuenta de que la cantidad de números primos disminuye a lo largo de la recta numérica. Su llamado teorema de los números primos (que no se demostró hasta 100 años después) afirma que aproximadamente norte/en(norte) Los números primos aparecen en el intervalo de 0 a norteEn otras palabras, el teorema de los números primos ofrece a los matemáticos una forma de estimar la distribución típica de los números primos a lo largo de un tramo de la línea numérica.
Sin embargo, el número exacto de números primos puede diferir de la estimación dada por el teorema. Por ejemplo: según el teorema de los números primos, existen aproximadamente 100/en(100) ≈ 22 números primos en el intervalo entre 1 y 100. Pero en realidad hay 25. Por lo tanto, hay una desviación de 3. Aquí es donde entra en juego la hipótesis de Riemann. Esta hipótesis ofrece a los matemáticos una forma de estimar la desviación. Más específicamente, afirma que esta desviación no puede llegar a ser arbitrariamente grande, sino que debe escalar como máximo con la raíz cuadrada de nortela duración del intervalo considerado.
Por tanto, la hipótesis de Riemann no predice exactamente dónde se encuentran los números primos, sino que postula que su aparición en la recta numérica sigue ciertas reglas. Según la hipótesis de Riemann, la densidad de primos disminuye según el teorema de los números primos, y los primos se distribuyen uniformemente según esta densidad. Esto significa que no hay grandes áreas en las que no haya ningún número primo, mientras que otras estén llenas de ellos.
También puedes imaginar esta idea pensando en la distribución de las moléculas en el aire de una habitación: la densidad total en el suelo es algo mayor que en el techo, pero las partículas (siguiendo esta distribución de densidad) están igualmente dispersas y hay No hay vacío en ninguna parte.
Una conexión extraña
Riemann formuló la conjetura que lleva su nombre en 1859, en una breve publicación de seis páginas (su única contribución al campo de la teoría de números). A primera vista, sin embargo, su trabajo tiene poco que ver con los números primos.
Se ocupó de una función específica, la llamada función zeta ζ(s), una suma infinitamente larga que suma los valores recíprocos de números naturales elevados a la potencia de s:
Incluso antes del trabajo de Riemann, los expertos sabían que tales funciones zeta están relacionadas con números primos. Por tanto, la función zeta también se puede expresar como función de todos los números primos. pag como sigue:
Riemann reconoció el pleno significado de esta conexión con los números primos cuando utilizó no sólo valores reales para s pero también complejo números. Estos números contienen tanto una parte real como raíces de números negativos, la llamada parte imaginaria.
Puedes imaginar los números complejos como una construcción bidimensional. En lugar de marcar un punto en la recta numérica, se encuentran en el plano. El X La coordenada corresponde a la parte real y la y coordinar a la parte imaginaria:
Никита Воробьев/Wikimedia
La compleja función zeta que Riemann investigó puede visualizarse como un paisaje sobre el plano. Resulta que hay ciertos puntos entre las montañas y los valles que desempeñan un papel importante en relación con los números primos. Estos son los puntos en los que la función zeta se vuelve cero (los llamados ceros), donde el paisaje se hunde hasta el nivel del mar, por así decirlo.
Los colores representan los valores de la función zeta compleja, y los puntos blancos indican sus ceros.
Riemann descubrió rápidamente que la función zeta no tiene ceros si la parte real es mayor que 1. Esto significa que el área del paisaje a la derecha de la línea recta X = 1 nunca desciende hasta el nivel del mar. Los ceros de la función zeta también son conocidos para valores negativos de la parte real. Se encuentran en el eje real en X = –2, –4, –6, etc. Pero lo que realmente interesó a Riemann (y a todos los matemáticos desde entonces) fueron los ceros de la función zeta en la “franja crítica” entre 0 ≤ X ≤ 1.
En la franja crítica (azul oscuro), la función zeta de Riemann puede tener ceros “no triviales”. La conjetura de Riemann establece que estos se encuentran exclusivamente en la línea x = 1/2 (línea discontinua).
Riemann sabía que la función zeta tiene un número infinito de ceros dentro de la franja crítica. Pero, curiosamente, todos parecen estar en línea recta. X = 1/2. Así, Riemann planteó la hipótesis de que todos los ceros de la función zeta dentro de la franja crítica tienen una parte real de X = 1/2Esa afirmación es, en realidad, la clave para entender la distribución de los números primos. Si es correcta, la ubicación de los números primos a lo largo de la recta numérica nunca se desvía demasiado del conjunto de números primos.
A la caza de los ceros
Hasta la fecha, se han examinado miles y miles de millones de ceros de la función zeta.mas de 1013 de ellos—y todos se encuentran en línea recta X = 1/2.
Pero eso por sí solo no es una prueba válida. Sólo habría que encontrar un único cero que se desvíe de este esquema para refutar la hipótesis de Riemann. Por lo tanto, estamos buscando una prueba que demuestre claramente que no hay ceros fuera de X = 1/2 en la franja crítica.
Hasta ahora, tal prueba ha estado fuera de alcance, por lo que los investigadores adoptaron un enfoque diferente. Intentaron demostrar que existe, como máximo, un cierto número norte de ceros fuera de esta línea recta X = 1/2. La esperanza es reducir norte hasta norte = 0 en algún momento, lo que demuestra la conjetura de Riemann. Lamentablemente, este camino también resulta extremadamente difícil. En 1940, el matemático Albert Ingham pudo demostrar que entre 0,75 ≤ X ≤ 1 hay como máximo y3/5+C ceros con una parte imaginaria de como máximo ydónde C es una constante entre 0 y 9.
En los 80 años siguientes, esta estimación apenas mejoró. El último progreso notable Proviene del matemático Martin Huxley en 1972.“Esto nos ha limitado a la hora de hacer muchas cosas en la teoría analítica de números”. Tao escribió en su publicación en las redes sociales. Por ejemplo, si quisieras aplicar el teorema de los números primos a intervalos cortos del tipo [x, x + xθ]usted estaba limitado por la estimación de Ingham a θ > 1/6.
Sin embargo, si la conjetura de Riemann es verdadera, entonces el teorema de los números primos se aplica a cualquier intervalo (o θ = 0), sin importar cuán pequeño sea (porque [x, x + xθ] = [x, x + 1] se aplica a θ = 0).
Ahora Maynard, quien recibió la prestigiosa Medalla Fields en 2022y Guth han logrado mejorar significativamente la estimación de Ingham por primera vez. Según su trabajo, la función zeta en el rango 0,75 ≤ x ≤ 1 tiene como máximo y(13/25)+C ceros con una parte imaginaria de como máximo y¿Qué significa exactamente esto? Blomer lo explica así: “Los autores demuestran en un sentido cuantitativo que los ceros de la función zeta de Riemann se vuelven más raros cuanto más se alejan de la recta crítica. En otras palabras, cuanto peores sean las posibles violaciones de la conjetura de Riemann, más raramente ocurrirán”.
“Esto se propaga a muchas mejoras correspondientes en la teoría analítica de números”, dijo Tao. escribió. Permite reducir el tamaño de los intervalos a los que se aplica el teorema de los números primos. El teorema es válido para [x, x + x2/15]entonces θ > 1/6 = 0,166… se convierte en θ > 2⁄15 = 0,133…
Para este avance, Maynard y Guth utilizaron inicialmente métodos bien conocidos del análisis de Fourier para su resultado. Se trata de técnicas similares a las que se utilizan para descomponer un sonido en sus armónicos. “Los primeros pasos son estándar y muchos teóricos analíticos de números, incluido yo mismo, que han intentado romper el límite de Ingham, los reconocerán”. El Tao explicado. A partir de ahí, sin embargo, Maynard y Guth “realizan una serie de maniobras inteligentes e inesperadas”, escribió Tao.
Blomer coincide: “El trabajo aporta un conjunto de ideas nuevas que, como bien dicen los autores, probablemente se puedan aplicar a otros problemas. Desde el punto de vista de la investigación, esa es la contribución más decisiva del trabajo”, afirma.
Entonces, incluso si Maynard y Guth no han resuelto la conjetura de Riemann, al menos han proporcionado nuevos elementos de reflexión para abordar el rompecabezas de 160 años. Y quién sabe, tal vez sus esfuerzos sean la clave para finalmente descifrar la conjetura.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.