Las matemáticas y la física no pueden demostrar todas las verdades

Las matemáticas y la física no pueden demostrar todas las verdades

Por Manon Bischoff

Nunca podrás probar todas las verdades matemáticas.. Para mí, este teorema de incompletitud, descubierto por Kurt Gödel, es uno de los resultados más increíbles de las matemáticas. Puede que no sorprenda a todos (hay todo tipo de cosas que no se pueden demostrar en la vida cotidiana), pero para los matemáticos, esta idea fue un shock. Después de todo, pueden construir su propio mundo a partir de unos pocos elementos básicos, los llamados axiomas. Allí sólo se aplican las reglas que ellos han creado, y todas las verdades se componen de estos elementos básicos y las reglas correspondientes. Los expertos creían desde hace mucho tiempo que si se encuentra el marco adecuado, se debería poder demostrar cada verdad de alguna manera.

Pero en 1931 Gödel demostró lo contrario. Siempre habrá verdades que eluden el marco matemático básico y son imposibles de probar. Y éste no es un hallazgo puramente abstracto, sin implicaciones para situaciones prácticas. Poco después del innovador trabajo de Gödel, surgieron los primeros problemas demostrablemente indemostrables. Por ejemplo, nunca será posible aclarar cuántos números reales existen dentro del marco matemático actualmente utilizado. Y los problemas irresolubles no se limitan a las matemáticas. Por ejemplo, en determinados juegos de cartas y de ordenador (como Magic: The Gathering), pueden surgir situaciones en las que sea imposible determinar qué jugador ganará. Y en física, no siempre es posible predecir si un sistema cristalino conducirá electricidad.

Ahora los expertos, incluido el físico Toby Cubitt del University College London, han encontrado otra forma en la que el teorema de la incompletitud se refleja en la física. Han descrito un sistema de partículas que sufre una transición de fase, un cambio similar al que ocurre cuando el agua se congela por debajo de una temperatura de cero grados Celsius. Pero el parámetro crítico en el que se produce la transición de fase para este sistema de partículas no puedo calcularse, a diferencia del agua. “Nuestro resultado… ilustra cómo los números incomputables pueden manifestarse en los sistemas físicos”, escriben los físicos en un artículo preimpreso publicado el mes pasado en el servidor arXiv.org.

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Una transición de fase indeterminable

Esta no es la primera vez que los expertos se enfrentan a una transición de fase impredecible. De vuelta en 2021 Cubitt y dos de sus colegas describieron otro sistema físico cuyas transiciones son impredecibles. Sin embargo, en ese caso eran posibles un número infinito de transiciones de fase. Situaciones así no se dan en la naturaleza. Por lo tanto, los investigadores se preguntaron si alguna vez puede ocurrir imprevisibilidad en sistemas realistas.

En el nuevo trabajo, Cubitt y sus colegas investigaron un sistema bastante simple: una red cuadrada finita que contiene una disposición de varias partículas, cada una de las cuales interactúa con su vecino más cercano. Estos modelos se utilizan habitualmente para describir sólidos. Esto se debe a que sus átomos están dispuestos en una estructura regular y sus electrones pueden interactuar con los de los átomos que los rodean inmediatamente. En el modelo de Cubitt, la fuerza de la interacción entre los electrones depende de un parámetro φ—cuanto mayor φ es decir, más fuertemente se repelen entre sí las partículas de las capas atómicas.

Si la repulsión φ es pequeño, los electrones externos son móviles: pueden saltar de un lado a otro entre los núcleos atómicos. el mas fuerte φ es decir, más se congelan los electrones en su lugar. Este comportamiento diferente también se refleja en la energía del sistema. Puede observar el estado fundamental (la energía total más baja) y el siguiente estado de energía más alto. Si φ es muy pequeña, la energía total del sistema puede crecer continuamente. Como resultado, el sistema conduce la electricidad sin problemas. Para valores grandes de ϕ, sin embargo, la situación es diferente. Con tales valores, la energía sólo aumenta gradualmente. Existe una brecha entre el estado fundamental y el primer estado excitado. En este caso, dependiendo del tamaño del hueco, el sistema sería un semiconductor o un aislante.

Hasta la fecha, los físicos han creado miles de modelos similares para describir todo tipo de sólidos y cristales. Pero debido a que el sistema presentado por Cubitt y sus colegas exhibe dos comportamientos diferentes, debe haber una transición entre la fase conductora y la fase aislante. En otras palabras, existe un valor de φ por encima del cual el espectro de energía del sistema repentinamente tiene una brecha.

Un número incalculable

Cubitt y su equipo han determinado el valor de φ en el que se produce esta brecha. y eso corresponde a la llamada constante de Chaitin Ω—un número que puede resultar familiar a los nerds de las matemáticas porque se encuentra entre los pocos ejemplos conocidos de números que no se pueden calcular. Estos son números irracionales cuyos decimales continúan para siempre y nunca se repiten regularmente. A diferencia de los números irracionales computables como π o mi, sin embargo, el valor de un número no computable no puede aproximarse con precisión arbitraria. No existe ningún algoritmo que, si se ejecuta durante un tiempo infinito, genere Ω. Si no se puede calcular Ω, entonces tampoco es posible especificar cuándo ocurre una transición de fase en el sistema estudiado por Cubitt y sus colegas.

El matemático argentino-estadounidense Gregory Chaitin definió Ω precisamente con el propósito de encontrar un número no calculable. Para ello utilizó el famoso problema de la detención de la informática: según él, no existe ninguna máquina que pueda juzgar, para todos los algoritmos posibles, si un ordenador que los ejecuta se detendrá en algún momento o no. Si le da algún algoritmo a una computadora, es posible juzgar si ese algoritmo se puede ejecutar en un tiempo finito. Pero no existe ningún método que pueda hacer esto para todos los códigos de programa imaginables. Por tanto, el problema de la detención es también una aplicación directa del teorema de incompletitud de Gödel.

La constante de Chaitin Ω corresponde a la probabilidad con la que el modelo teórico de una computadora (una máquina de Turing) se detiene ante cualquier entrada dada:

En esta ecuación pag denota todos los programas que se detienen después de un tiempo de ejecución finito, y |pag| describe la longitud del programa en bits. Para calcular exactamente la constante de Chaitin, habría que saber qué programas se cumplen y cuáles no, lo cual no es posible, según el problema de retención. Aunque en el año 2000 el matemático Cristian Calude y sus colegas Si logramos calcular los primeros dígitos de la constante de Chaitin, 0,0157499939956247687…, nunca será posible encontrar todos los decimales.

Por tanto, el equipo de Cubitt ha podido demostrar matemáticamente que su modelo físico sufre una transición de fase para un valor de φ = Ω: pasa de ser conductor a aislante. Sin embargo, debido a que Ω no se puede calcular exactamente, el diagrama de fases del sistema físico tampoco está definido. Para ser claros, esto no tiene nada que ver con el hecho de que las computadoras actuales no sean lo suficientemente potentes o que no haya tiempo suficiente para resolver el problema: la tarea es evidentemente irresoluble. “Nuestros resultados ilustran números incomputables que pueden surgir como puntos de transición de fase en modelos similares a la física, incluso cuando todos los datos microscópicos subyacentes son completamente computables”, escriben los físicos en su artículo.

Técnicamente, la precisión con la que se puede especificar la constante de Chaitín la hace suficiente para aplicaciones del mundo real. Pero el trabajo de Cubitt y sus colegas ilustra una vez más cuán increíblemente trascendental es la visión de Gödel. Incluso después de más de 90 años, todavía hay nuevos ejemplos de afirmaciones indemostrables. Es probable que problemas físicos de gran alcance, como la búsqueda de una teoría del todose ven afectados por los teoremas de incompletitud de Gödel.

Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.