Los matemáticos resuelven un infame ‘problema de sofá en movimiento’

Los matemáticos resuelven un infame ‘problema de sofá en movimiento’

Por Jack Murtagh editado por Jeanna Bryner

Para aquellos que han luchado un sofá voluminoso alrededor de una esquina cerrada y se lamentaron, «¿Esto encajará esto?» Los matemáticos han escuchado sus súplicas. El «problema de sofá en movimiento» de Geometry solicita la forma más grande que puede convertir un ángulo recto en un corredor estrecho sin atascarse. El problema se quedó sin resolver durante casi 60 años hasta noviembre, cuando Jineon Baek, un postdoc de la Universidad de Yonsei en Seúl, publicó un papel en línea afirmando resolverlo. La prueba de Baek aún no se ha sometido a una revisión exhaustiva de pares, pero los pases iniciales de los matemáticos que conocen a Baek y el problema del sofá en movimiento parecen optimistas. Solo el tiempo dirá por qué tardó Baek 119 páginas en escribir lo que Ross Geller de la comedia de situación Amigos dijo en una palabra.

Es poco probable que la solución lo ayude el día de la mudanza, pero a medida que las matemáticas fronterizas se vuelven más abstrusas, los matemáticos tienen un cariño especial por los problemas sin resolver que cualquiera puede entender. De hecho, el popular foro de matemáticas Mathoverflow mantiene una lista de «No especialmente famosos y abiertos que cualquiera puede entender”Y el problema del sofá en movimiento actualmente ocupa el segundo lugar en la lista. Aún así, cada prueba expande nuestra comprensión, y las técnicas utilizadas para resolver el problema del sofá en movimiento probablemente se prestarán a otros rompecabezas geométricos en el futuro.

Las reglas del problema, que el matemático canadiense Leo Moser Primero planteado formalmente En 1966, implica una forma rígida, por lo que los cojines no producen cuando se presionan, alemana un ángulo recto en un pasillo. El sofá puede ser cualquier forma geométrica; No tiene que parecerse a un sofá real. Tanto la forma como el pasillo son bidimensionales. Imagine que el sofá pesa demasiado para levantar, y solo puede deslizarlo.

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Una gira rápida a través de la historia del problema revela el extenso esfuerzo que los matemáticos han invertido: no eran del sofá. Frente a un pasillo vacío, ¿cuál es la forma más grande que podría apretarlo? Si cada pierna del corredor mide una unidad (la unidad específica no importa), entonces podemos hacer un cuadro uno por uno a través del pasaje. Alargar la plaza para formar un rectángulo falla al instante, porque una vez que golpea la torcedura en el pasillo, no tiene espacio para girar.

Sin embargo, los matemáticos se dieron cuenta de que pueden ser más grandes al introducir formas curvas. Considere un semicírculo con un diámetro (la base recta) de 2. Cuando golpea el giro, gran parte de él todavía sobresale en la primera etapa del pasillo, pero el borde redondeado deja suficiente espacio para despejar la esquina.

Recuerde que el objetivo es encontrar el «sofá» más grande que se desliza a la vuelta de la esquina. Al desempolvar nuestras fórmulas de geometría de la escuela secundaria, podemos calcular el área del semicírculo como π/2, o aproximadamente 1.571. El semicírculo ofrece una mejora significativa sobre la plaza, que tenía un área de solo 1. Desafortunadamente, ambos se verían extraños en una sala de estar.

Resolver el problema del sofá en movimiento requiere que no solo optimice el tamaño de una forma, sino también el camino Esa forma atraviesa. La configuración permite dos tipos de movimiento: deslizamiento y rotación. El sofá cuadrado solo se deslizó, mientras que el semicírculo se deslizó, luego giró alrededor de la curva y luego se deslizó nuevamente en el otro lado. Pero los objetos pueden deslizarse y girar al mismo tiempo. El matemático Dan Romik de la Universidad de California, Davis, tiene anotado que una solución al problema debe optimizar ambos tipos de movimiento simultáneamente.

Matemático británico John Hammersley descubierto en 1968 que estirar el semicírculo poder Compré un sofá más grande si te esconde un trozo para lidiar con ese molesto rincón. Además, el sofá de Hammersley aprovecha un deslizamiento híbrido más el movimiento giratorio. El sofá resultante parece un teléfono fijo:

La optimización de las diferentes variables produce un sofá con el área π/2 + 2/π, o aproximadamente 2.2074. Esta es una gran actualización del semicírculo, similar a pasar de un asiento de amor a una sección. Pero el progreso se estancó allí durante 24 años. La próxima mejora significativa sería la última. En 1992 Joseph Gerver dio a conocer Una obra maestra de carpintería matemática, que ahora sabemos que es el sofá más grande posible.

Te perdonarían por sentirte déjà vu en este momento. El sofá de Gerver se ve idéntico al de Hammersley, pero es una construcción mucho más complicada. Gerver cosió 18 curvas distintas para formar su forma. En una inspección más cercana, puede detectar algunas diferencias, especialmente los bordes biselados en la base del recorte redondeado.

El área del triunfo de Gerver mide en 2.2195 unidades. Sorprendentemente, el sofá relativamente simple de Hammersley solo cayó alrededor de .012 por debajo de óptimo. Aunque solo es un skosh más grande que su predecesor, Gerver sospechó que su descubrimiento alcanzó el tamaño máximo posible. Sin embargo, no pudo probarlo. Y tampoco nadie más pudo por otros 32 años.

Baek terminó su Ph.D. en 2024 y escribió su tesis sobre el problema del sofá conmovedor, contribuyendo con varias ideas incrementales. Ese mismo año, cosió todas sus nuevas ideas juntos en una impresionante opus Eso demuestra que no hay un sofá más grande que el de Gerver puede apretar el pasillo. Desarrollar un problema abierto de larga data es un sueño para cualquier matemático, y mucho menos uno tan temprano en su carrera. Si el trabajo de Baek resiste el escrutinio, es probable que se encuentre en una gran demanda de cátedras. A menos que gire en la fabricación de muebles.