El problema de la apilamiento de bloques de las matemáticas tiene una solución absurda

Este problema de matemáticas de apilamiento de bloques tiene una solución absurda que debe ver para creer

Por Jack Murtagh editado por Jeanna Bryner

Aquí hay un experimento alucinante que puede probar en casa: reúna algunos bloques de niños y colóquelos en una mesa. Tome un bloque y empújalo lentamente sobre el borde de la mesa, pulgada a pulgada, hasta que esté al borde de la caída. Si posee paciencia y una mano firme, debería poder equilibrarla para que exactamente la mitad cuelgue del borde. Empuje más lejos y gana la gravedad. Ahora tome dos cuadras y comience de nuevo. Apilando uno encima del otro, ¿qué tan lejos puede obtener el extremo del bloque superior para tocar el borde de la mesa?

Sigue adelante. Apilando tantos bloques como puedas, ¿cuál es el voladizo más alejado que puedes lograr antes de que toda la estructura se derrumbe? ¿Es posible que la torre extienda una longitud de bloque completa más allá del labio de la mesa? ¿La física permite dos longitudes de bloque? La impresionante respuesta es que el puente apilado puede estirarse para siempre. En principio, una pila independiente de bloques puede abarca el Gran Cañónno se requiere pegamento.

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No haga clic en “Viegar” en un paquete infinito de bloques de jenga todavía. Los aspectos prácticos del mundo real, como las formas de bloqueo irregular, las corrientes de aire y el peso aplastante de un edificio interminable pueden obstaculizar sus aspiraciones de ingeniería. Aún así, comprender por qué el voladizo no tiene límite en un mundo matemático ideal es esclarecedor. La explicación depende de la serie armónica de Math y el concepto de física del centro de masa, dos ideas aparentemente simples con poder descuidado. [For more fun, check out: How Tall Can You Build a Tower without It Toppling?]

Su intuición podría decirle que un solo bloque puede colgar la mitad de su masa más allá del borde de la mesa antes de dar propina. Pero, ¿por qué es así? Cada objeto tiene un centro de masa—Un solo punto en el que podemos imaginar que el peso de todo el objeto se concentre cuando estamos pensando en el equilibrio. Mientras el centro de masa se encuentre por encima de la mesa, el objeto permanece. Sin embargo, el momento en que el centro de masa pasa sobre una ventaja gravedad Detendré todo el asunto. En el caso de una cuchara, un elemento con distribución de peso irregular, podemos colgar más de la mitad del mango del utensilio sobre un borde antes de que se incline porque el centro de masa se acerca a su cabeza, donde reside más peso. Para nuestro puente apilado, suponemos que nuestros bloques son idénticos, con una densidad uniforme (es decir, no son más densas en algunas partes que en otras), por lo que el centro de masa de cada uno se encuentra en el punto medio.

Cuando agregamos más bloques, debemos dar cuenta del centro de masa de toda la torre. Considere el caso de dos bloques. Sabemos que el bloque superior puede extender la mitad de su masa más allá de la que está debajo. Pero después de hacer eso, ¿qué tan lejos podemos sacar el bloque inferior?

Por simplicidad, supongamos que cada bloque tiene una longitud de 1 y una masa de 1. Encontrará que el bloque inferior puede extraer solo un cuarto del camino (en comparación con tener la mitad de su longitud sobre el borde cuando estaba solo). En ese punto, el centro de masa del bloque superior y el centro de masa del bloque inferior son equidistantes desde el borde de la mesa (el centro de masa del bloque superior se encuentra un cuarto a la derecha del borde, y el centro de masa del bloque inferior se encuentra un cuarto a la izquierda del borde). Entonces el conjunto centro de masa de la sistema de dos bloques Descansa perfectamente equilibrado sobre el borde de la mesa.

Surge un patrón a medida que continuamos agregando bloques a la estructura. El bloque superior se extiende ¹⁄₂ Más allá del que está debajo, el segundo bloque se extiende ¹⁄₄ Más allá del bloque debajo de él, el tercero se extiende ¹⁄₆el cuarto se extiende ¹⁄₈luego se extienden los bloques posteriores ¹⁄₁₀, ¹⁄₁₂etcétera. Para ver por qué, veamos otro ejemplo. Supongamos que tenemos una torre estable que contiene cinco bloques, y queremos agregar un sexto bloque debajo de ella y luego deslizar toda la estructura lo más lejos que podamos. Es útil conceptualizar esta imagen como solo dos bloques: uno con una masa de 5 encima de un solo bloque con una masa de 1. Primero escabulliremos el bloque pesado hasta donde llegaremos para que su centro de masa se encuentre justo encima del borde del bloque inferior. Luego podemos empujar el bloque inferior exactamente ¹⁄₁₂ de una unidad más allá del borde de la mesa. ¿Cómo sabemos eso?

Una vez más, la respuesta se reduce a equilibrar los centros de masa de los dos bloques, solo esta vez, porque el bloque inferior es cinco veces más ligero, su centro de masa debe terminar cinco veces más lejos en la mesa para contrarrestar el peso del bloque más pesado. Esto se conoce como la ley de la palanca: piense en cómo un libro se siente más pesado en su palma, cuanto más aleje la alejada de su cuerpo, por lo que un libro en rústica en un brazo completamente extendido puede sentirse equivalente a un libro de texto que se mantiene cerca de su torso. La distancia entre el centro de masa del bloque superior y el borde de la mesa es ¹⁄₁₂y la distancia para el bloque inferior es ¹⁄₂ – ¹⁄₁₂ = ⁵⁄₁₂o cinco veces más. Un cálculo similar revela el voladizo correcto en cada nivel de la torre.

Respondiendo a nuestra pregunta inicial (¿qué tan lejos puede extenderse la torre?) Cumple para agregar todos estos sucesivos voladizos. Si tiene 10 bloques, pueden extenderse a ¹⁄₂ + + ¹⁄₄ + + ¹⁄₆ + + ¹⁄₈ + + ¹⁄₁₀ + + ¹⁄₁₂ + + ¹⁄₁₄ + + ¹⁄₁₆ + + ¹⁄₁₈ + + ¹⁄₂₀que agrega hasta aproximadamente 1.464 longitudes de bloque más allá del borde. Pero, ¿cuál es el límite para qué tan lejos podemos apilar los bloques? Para eso, debemos agregar infinitamente muchos de estos términos de reducción. El patrón resultante tiene un parecido sorprendente con uno de los más famosos sumas infinitas en matemáticas, la serie armónica, que toma el recíproco de cada número de conteo (es decir, 1 dividido por cada entero positivo) y los suma a todos:

1 + ¹⁄₂ + + ¹⁄₃ + + ¹⁄₄ + + ¹⁄₅ + …, y así sucesivamente para siempre.

Si mira de cerca, puede notar que los voladizos del problema de apilamiento de bloques son exactamente la mitad de cada uno de estos términos: ¹⁄₂ + + ¹⁄₄ + + ¹⁄₆ + + ¹⁄₈ + + ¹⁄₁₀ + …

CálculoLa rama de las matemáticas que profundiza en cómo cambian las cosas, nos enseña que incluso cuando se suma infinitamente muchos términos de reducción, a veces la suma converge en un valor finito y a veces diverge al infinito. El total de la serie armónica crece increíblemente lentamente. Los primeros 100,000 términos suman aproximadamente 12.1, mientras que los primeros millones de términos solo son igual a 14.4. Aún así, a ritmo de un incesante caracol, la serie armónica crece para siempre.

Cada individuo sobresaliente en el problema de apilamiento de bloques es igual a la mitad de un término en la serie armónica. Debido a que la mitad del infinito sigue siendo infinito, el voladizo potencial de la torre tampoco tiene límites.

Por supuesto, traducir las matemáticas puras en la práctica siempre viene con obstáculos, pero el problema de apilamiento de bloques ofrece un divertido desafío de destreza. Con solo cuatro bloques, debería poder extender el superior una longitud de bloqueo completo más allá del borde (¹⁄₂ + + ¹⁄₄ + + ¹⁄₆ + + ¹⁄₈ = ~ 1.042). Para cumplir con mi debida diligencia periodística, probé esto en casa con las cartas en mi mesa de café. Después de unos minutos de jugar al paciente, logré equilibrar la tarjeta superior justo más allá del borde, con ella colgando completamente fuera de la mesa, y me sentí como un mago.

Dos longitudes de bloque completa más allá de cualquier superficie requerirían 31 piezas. Mientras tanto, 100 millones de piezas ni siquiera le darían una longitud completas de 10 bloqueos de voladizo porque la suma de los primeros 100 millones de términos en la serie armónica dividida por 2 es igual a 9.5. Por lo tanto, se necesitará un poco de valor para abarcar el Gran Cañón. A escamas enormes, la física entra en marcha para derribar la diversión de los matemáticos. Pero en condiciones idealizadas donde el centro de masa y la serie armónica solo gobiernan el gallinero, las posibilidades son literalmente infinitas.