Cuando Hannah El Cairo tenía 17 años, ella refutó la conjetura de Mizohata-Takeuchi, una suposición de larga data en el campo del análisis armónico sobre cómo se comportan las olas en superficies curvas. La conjetura se planteó en la década de 1980, y los matemáticos habían estado tratando de demostrarlo desde entonces. Si la conjetura de Mizohata-Takeuchi resultó ser cierta, iluminaría muchas otras preguntas significativas en el campo. Pero después de golpear a Wall tras Wall tratando de demostrarlo, El Cairo logró encontrar un contraejemplo: una circunstancia en la que las olas no se comportan según lo predicho por la conjetura. Por lo tanto, la conjetura no puede ser verdadera.
El Cairo se enganchó al problema después de que le asignaron una versión más simple de la conjetura para demostrar como una tarea para una clase que estaba tomando en la Universidad de California, Berkeley. “Me tomó un tiempo convencer [course instructor] Ruixiang Zhang que mi propuesta era realmente correcta “, dice. Ahora, bajo el asesoramiento de Zhang, tiene un documento sobre el servidor de preimpresión arxiv.org y fue invitada a presentar sus resultados en la conferencia internacional sobre análisis armónico y ecuaciones diferenciales parciales en El Escorial, España.
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El Cairo dice que le encanta hablar sobre su investigación y dar presentaciones con diapositivas coloridas y descriptivas (Ver ejemplos a continuación). Cuando se le preguntó qué estudia, dice El Cairo, en resumen, “puntos, líneas y olas”.
Nacida y criada en las Bahamas, El Cairo se mudó a California a la edad de 16 años, donde comenzó a tomar clases en UC Berkeley. Ahora, a los 18 años, ella tiene un Ph.D. Programa en la Universidad de Maryland para continuar su investigación en la teoría de la restricción de Fourier. El Cairo ha enfrentado muchas dificultades en su viaje, pero ha encontrado consuelo y pertenencia en el campo de las matemáticas y en el trabajo en sí.
Científico americano habló con El Cairo sobre la forma en que el análisis armónico es como dejar piedras en un estanque fijo, su identidad transgénero y las razones por las que ama las matemáticas.
[An edited transcript of the interview follows.]
Más allá de “puntos, líneas y ondas”, ¿cómo explicaría su campo de estudio, análisis armónico?
Imagina que estás en un estanque, y es un estanque muy fijo, y dejas caer una piedra. Ves estas ondas circulares extendidas.
Si deja caer dos piedras en el estanque, puede notar que este patrón se llama patrón de interferencia: en lugar de parecer círculos, se superponen. Obtienes puntos altos, puntos bajos. Y obtienes estas formas interesantes [where they intersect]. ¿Qué pasaría si usaras un montón de ondas? ¿Qué obtendrías? En el análisis armónico, puede demostrar que si deja caer las piedras en el lugar correcto en el estanque, puede obtener cualquier forma que desee.
Deslice de la presentación de Hannah El Cairo en la conjetura Mizohata-Takeuchi
Mi especialidad se conoce como teoría de restricción de Fourier, que es la subdisciplina del análisis armónico en el que trabajo, donde preguntamos qué tipo de objetos podemos construir si solo se nos permite usar ciertos tipos de ondas. ¿Qué pasa si solo se nos permite soltar las piedras en ciertas partes del estanque? No podrás obtener cualquier objeto. De hecho, solo podrá obtener una familia de objetos relativamente pequeños. Lo que dice la conjetura de Mizohata-Takeuchi es que la forma de los objetos que obtenemos se concentra a lo largo de las líneas.
¿Qué significa ser “concentrado a lo largo de las líneas”?
Una forma de pensar en la forma de los objetos es preguntar: ¿Qué es la curvatura? Hay algunas formas diferentes en que puede definirlo. Una forma posible es tomar un rectángulo delgado y largo y preguntar cuánto de su círculo puede estar en este rectángulo delgado. Lo que encontrarás es que no mucho puede porque se dobla, ¿verdad? Por otro lado, si toma algo plano como el borde de un cuadrado, puede obtener un lado entero de ese cuadrado justo en un tubo delgado. Eso significa que el cuadrado no es tan “curvado” como un círculo.
Para la conjetura de Mizohata-Takeuchi, decimos, considere este objeto que estamos construyendo a partir de estas olas. Y queremos decir que no va a estar mucho en formas que no contienen muchas líneas o rectángulos delgados.
Entonces, ¿cómo lograste refutar esta conjetura?
Miré estas formas, y una cosa que me di cuenta es que el tipo específico de ondas que se usan se concentran a lo largo de rectángulos gruesos. En realidad, esto es algo bien conocido. Así que terminas mirando estas ondas que se concentran en rectángulos: tomas estas olas y se cruzan entre sí, y hacen estas ciertas formas, pero aquí [instead of circle waves] Usamos ondas rectangulares. Entonces tenemos todas estas ondas rectangulares que se encuentran. Lo que me di cuenta es que la forma de dónde se encuentran no está en el ángulo correcto para estar de acuerdo con la dirección en la que están apuntando estos rectángulos. Por lo tanto, esto me llevó a una construcción bastante complicada usando fractales para organizar estos rectángulos.
Sin embargo, la construcción fractal original en realidad no aparece en su artículo. ¿Cuál fue tu contraejemplo final?
Lo que descubrí es que si organiza estas ondas tomando un hipercubo de alta dimensión y proyectándolo en un espacio de menor dimensión y luego tomando solo aquellas olas que se encuentran en su región, entonces así es como puede determinar dónde colocarlos [to break the conjecture].
¿Qué te interesó primero en las matemáticas?
Siempre me ha interesado las matemáticas. Creo que, para mí, las matemáticas son un arte. En mi infancia, estaba algo solo. Las matemáticas eran casi un amigo casi. Creo que el arte no puede ser necesariamente un amigo en todos los sentidos que un amigo puede ser, pero creo que el arte es como un amigo. Y así, durante el tiempo que tengo memoria, siempre me han encantado las matemáticas.
Cuéntame más sobre cómo las matemáticas eran un amigo para ti. Creo que mucha gente no piensa que las matemáticas son muy amigables.
Hay una analogía que me gusta hacer, que es para otra forma de arte: la pintura. Y creo que si uno tomara una clase de pintura, podría memorizar las fechas y momentos en que se desarrollaron varias formas de pintura, y tal vez incluso qué pinturas fueron utilizadas por qué pintores. Y luego puede averiguar qué procesos puede usar para determinar qué tipo de pintura es. Me imagino que esto es útil en la historia del arte, pero esto no es arte … No debería decir eso. Tal vez hay un arte para aprender sobre pintura. No voy a afirmar que no hay porque no estudio pintura. Pero creo que las matemáticas son un poco así: en la escuela, la gente aprende sobre [the mathematical version of] pintar; No están aprendiendo sobre pintar.
Las matemáticas son reconfortantes para mí porque es una forma de explorar: explorar ideas y pensar en ellas y construir más ideas a partir de otras ideas. Lo reconfortante de eso es que es independiente del mundo de alguna manera. Si estoy teniendo un día triste, un día feliz, si me mudo a Maryland (me mudé a Maryland), las matemáticas siguen ahí, y sigue siendo lo mismo. También es algo que puede ocupar mi mente.
Me has mencionado que eres transgénero. ¿Cómo ha afectado eso a tu viaje?
Creo que probablemente sea más relevante en mi viaje como persona que como matemático. Ser trans me ha obligado a ver cosas sobre el mundo que de otro modo no hubiera visto. Me ha hecho ver el mundo de manera diferente y me hizo ver a las personas de manera diferente y me hizo verme de manera diferente.
Afortunadamente, en la comunidad de matemáticas, creo que la mayoría de los matemáticos están bien con las personas trans. Creo que solía ser más significativo [in my day to day] de lo que es ahora. En estos días realmente no hace gran diferencia.
¿Por qué has decidido ir al registro ahora como trans?
La visibilidad trans es importante. La gente tiene ideas sobre quién son las personas trans, y creo que es mejor ampliar eso. Tal vez también espero que las personas que piensan que las personas trans son “menos” que las personas cisgénero se encuentran cuestionando eso.
La otra cosa es que es bueno que las personas trans sepan que no están solos. Creo que parte de lo que ayuda a las personas trans se da cuenta de que son trans es saber que hay más opciones para quién puede ser como persona trans. Eso es importante para mí.
Muchas gracias por compartir eso. ¿Dónde está tu lugar favorito para hacer matemáticas?
Si estoy tratando de ser productivo al escribir algo, me gusta estar en mi escritorio y me gusta escuchar a Bach. Si solo estoy tratando de pensar en ideas, entonces mi lugar favorito para hacerlo es en algún lugar donde no tengo que prestar atención a mucho más. Podría estar sentado en algún lugar pensando en cosas, o podría ir a caminar afuera.
También me gusta hablar con otras personas sobre matemáticas, que es otro tipo de matemáticas. Realmente me gusta dar presentaciones sobre las matemáticas. Tengo estas diapositivas escritas a mano con todos estos colores y dibujos. Afortunadamente, en el análisis armónico, puedo dar una presentación como esta, y luego todos están muy felices, y me dicen que mis diapositivas son lindas.
La diapositiva final de la presentación de El Cairo en la conjetura Mizohata-Takeuchi
¿Qué sigue para tu investigación?
Estoy trabajando en un proyecto de investigación con mi asesor sobre Mizohata-Takeuchi y cosas adyacentes y sobre una especie de cosa diferente: la local Conjetura Mizohata-Takeuchi.
El proceso de aprender más sobre este tipo de matemáticas es bastante emocionante, no solo para mí aprender más sobre lo que hay, sino para la comunidad matemática en su conjunto para tratar de comprender mejor este tipo de cosas. [That’s] algo que me entusiasma.