Todo el mundo comete errores y, a veces, esos errores pueden conducir a descubrimientos sorprendentes. A principios de la década de 1990, mientras programaba el juego de computadora Doom, el desarrollador de juegos John Carmack estableció el valor de pi (π) a mano y, como un auténtico nerd, escribió el número hasta el noveno decimal de memoria: 3,141592657.
¿Notas algo extraño en esa figura? El último dígito está mal. En cambio, el número debería ser 3.141592654. (Pi a menudo se trunca sin redondear, en cuyo caso el noveno decimal se llenaría con 3, pero se redondea a 4 porque el dígito siguiente es 5).
Afortunadamente, este error tiene poco impacto en el juego. En Doom, uno de los primeros shooters en primera persona con gráficos tridimensionales, asumes el papel de un marine espacial que, debido a un experimento fallido de teletransportación, termina en una luna de Marte, donde lucha contra demonios y zombis. El juego tiene una gran historia pero unos gráficos terribles. Esto no se debe al valor pi incorrecto, sino más bien a un reflejo de la poca potencia informática disponible en la década de 1990.
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Aún así, el error inspiró al ingeniero estadounidense Luke Gotszling a investigar las posibles consecuencias de programar incorrectamente pi a mayor escala en el juego, una idea que presentó en una conferencia de hackers en 2022.
Cuando Pi está mal en un juego de computadora
Como Doom es un juego de computadora de código abierto, puedes descargar el código y modificarlo. Gotszling hizo precisamente eso, probando qué pasaría si cambiara los valores programados de pi.
Los resultados pueden hacer que el espectador sienta un poco de náuseas. Cuando Gotszling estableció π = 3, por ejemplo, el mundo pixelado de Doom se distorsionó, con paredes y pilares moviéndose de maneras inesperadas. Sin embargo, el juego era jugable.
Cuando se ajustó pi al valor del número de Euler, 2,718…, la extrañeza se intensificó. A medida que un jugador se movía en línea recta en el mundo del juego, los objetos circundantes se movían hacia diferentes lados. Los enemigos podrían aparecer de la nada y volver a desaparecer. “Con suficiente intoxicación se puede recrear esto”, bromeó Gotszling en su presentación.
Las cosas se pusieron realmente mal cuando estableció un valor de π⁄2 para pi. Las paredes destellarían y desaparecerían. Los obstáculos invisibles bloquean el movimiento del jugador. El juego no fue particularmente divertido en este estado.
Pi no siempre es 3.14159…
¿Por qué pi es tan poderoso? Para responder a eso, debemos pensar más profundamente en las consecuencias de cambiar pi.
Originalmente, pi se definió como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. En nuestro mundo cotidiano, asumimos que los círculos son redondos. Pero en el sentido matemático más estricto, un círculo está definido por todos los puntos que equidistan de un centro común. En un mundo plano y bidimensional, donde las distancias se definen como las líneas rectas más cortas, un círculo es redondo. Eso significa que el valor de pi puede cambiar.
Por ejemplo, imagina que estás parado en el centro de Manhattan. Si quieres saber qué lugares están exactamente a un kilómetro de ti, la forma que podrás crear ya no será redonda. Eso es porque no puedes atravesar las paredes. En lugar de eso, tendrás que seguir el trazado de las calles en forma de tablero de ajedrez. Un círculo tiene forma de cuadrado en la “métrica de Manhattan”, como se le llama en la jerga matemática. Y si defines pi en este contexto como la relación entre la circunferencia y el diámetro, el número adquiere valores completamente diferentes: en la métrica de Manhattan, pi es exactamente 4.
Si miras de cerca, el valor de pi en nuestro mundo no es exactamente 3,14159…. En cambio, la relación entre la circunferencia y el diámetro adquiere un valor diferente y, peor aún, ¡este valor varía!
Si estás parado en el Polo Norte y observas todos los lugares exactamente a 1.000 kilómetros de distancia de ti, por ejemplo, estos puntos forman un círculo en la superficie de una esfera, pero su circunferencia es más pequeña que la de un círculo en una superficie plana, gracias a la curvatura de la Tierra. Cuanto más te acercas al ecuador, más fuerte se vuelve este efecto y el valor correspondiente de pi se desvía cada vez más del habitual 3,14159….
Por tanto, el nuevo valor de pi no es constante sino que depende del radio del círculo. Y este no es el caso sólo cuando se considera una superficie esférica. Cualquier tipo de superficie curva produce valores variables para pi.
Los matemáticos se refieren a estos mundos curvos como geometrías “no euclidianas”. (Hace más de 2.000 años, el erudito Euclides estableció las reglas de geometría que la mayoría de nosotros aprendimos en la escuela, ideas que sólo se aplican en un mundo plano).
Creando una visión alucinante de la fatalidad
El peculiar paisaje que Gotszling creó modificando el código fuente de Doom es algo completamente distinto. Para entenderlo, tenemos que remontarnos a la década de 1990: una época en la que cada operación aritmética consumía una enorme cantidad de recursos. Para afrontar ese desafío, los programadores se esforzaron por determinar posibles cálculos de antemano y almacenarlos en “tablas de búsqueda”.
Al desarrollar gráficos 3D para un juego de computadora, las funciones trigonométricas como el seno, el coseno y la tangente juegan un papel importante. Se pueden utilizar para describir cómo los objetos se mueven a través del espacio a lo largo del tiempo. Para ahorrar potencia de procesamiento, los desarrolladores de Doom calcularon de antemano valores importantes de las funciones trigonométricas para varios ángulos y los almacenaron en las tablas de búsqueda. Y aquí es donde entra en juego pi: hay que multiplicar un ángulo en grados por pi para obtener el valor correspondiente en radianes, que utiliza el ordenador.
Entonces, si Gotszling usara un valor de pi demasiado pequeño, los ángulos se convertirían incorrectamente. Como los desarrolladores sólo almacenan un número finito de ángulos, crearon tablas de búsqueda con valores que ya no incluyen las rotaciones completas: en lugar de describir un entorno en el que un objeto sólo reaparece en el mismo lugar después de una rotación de 360 grados, esto ocurre después de un ángulo significativamente más pequeño. Como resultado, en situaciones extremas, los objetos desaparecen o reaparecen repentinamente de la nada.
El mundo Doom que ha creado Gotszling es increíblemente extraño. Sin embargo, es una buena manera de hacer que la gente piense en las matemáticas y en el valor (en todos los sentidos) de pi. Un pequeño error cometido por un desarrollador de juegos ha provocado un experimento mucho más amplio con el extraño número del círculo.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.