Dos tiras de Möbius se combinan para crear un objeto extraño que sólo existe en 4D

Dos tiras de Möbius se combinan para crear un objeto extraño que sólo existe en 4D

Por Manon Bischoff editado por Daisy Yuhas

Visualmente, la “botella Klein” no parece tan impresionante. A primera vista parece un moderno jarrón de estilo japonés. Y, sin embargo, ha fascinado a los matemáticos durante más de 140 años.

Para entender por qué, tenemos que remontarnos al antiguo Imperio Romano, donde se pueden encontrar los primeros vestigios de una forma geométrica algo más simple: la cinta de Möbius. Esta enigmática forma es increíblemente fácil de hacer: toma una tira larga de papel y junta ambos extremos. Pero antes de pegar los extremos entre sí, gire uno 180 grados. El resultado es una banda retorcida.

Desde una perspectiva matemática, las tiras de Möbius son fascinantes porque tienen una sola superficie y un borde. A diferencia de un objeto cilíndrico (como uno creado pegando los extremos de una tira que no ha sido torcida), no hay interior ni exterior. Para los físicos, estas formas retorcidas constituyen excelentes puntos de comparación al contemplar las propiedades de las partículas subatómicas, como el espín del electrón, que debe rotarse 720 grados para volver a su punto de partida. Y en las fábricas se utilizan bandas de Möbius como cintas transportadoras porque se desgastan mucho más lentamente que las cintas sin torcer, en las que sólo se tensa un lado.

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Puedes tocar cada punto de una tira de Möbius pasando el dedo por la superficie de la forma sin levantarla. Los matemáticos se refieren a esto como una superficie “no orientable”. Si le gustan los experimentos prácticos, le recomiendo que intente cortar una tira de Möbius a lo largo de diferentes maneras; los resultados son sorprendentes.

El matemático alemán Felix Klein también quedó fascinado por las posibilidades de estas extrañas superficies. Razonó que si pegabas dos tiras comunes a lo largo de sus respectivos bordes, podrías obtener una tira más ancha, es decir, un borde de cada tira desaparecería. Pero una tira de Möbius sólo tiene un borde. Entonces, ¿qué pasa si pegas dos tiras de Möbius? En este caso se obtiene una superficie sin borde. Esta extraña creación es la botella de Klein, una superficie que, como una tira de Möbius, no tiene ni interior ni exterior.

Combinando tiras de Möbius

Ahora, si te estás preparando para empezar a pegar tiras de papel para poner esta idea en práctica, me temo que tendré que decepcionarte. Una verdadera botella de Klein sólo puede crearse en cuatro dimensiones espaciales. Sí, hay botellas inspiradas en la botella de Klein que existen en tres dimensiones, pero técnicamente son sólo artefactos de la verdadera botella de Klein en cuatro dimensiones. Esto se debe a que, cuando incrustas esta figura en el espacio 3D, la botella invariablemente se cruzará consigo misma, un obstáculo que no surge cuando le das forma en el espacio 4D.

Dicho esto, al menos podemos intentar visualizar la botella de Klein. Imagínese pegar los bordes derecho e izquierdo de una hoja de papel, formando un cilindro normal. Luego pegas los bordes superior e inferior. Pero primero, al igual que con la tira de Möbius, se giran 180 grados.

Al igual que la tira de Möbius, la botella de Klein también posee fascinantes propiedades matemáticas. Entre otras cosas, representa la única excepción al teorema de Ringel-Youngs, que trata de la coloración de los objetos. Por ejemplo, si desea dibujar un mapa y colorear los países individuales sin que los países vecinos tengan el mismo color, solo necesitará cuatro colores diferentes, independientemente de cómo estén organizados los países.

De manera más general, el teorema de los cuatro colores de Ringel-Young establece el número máximo de colores necesarios para colorear países en superficies de diferentes formas. Resulta que esto depende del número de agujeros en las superficies. Por ejemplo, podría decidir crear un mapa para un planeta con forma de rosquilla. ¿Cuál es la cantidad máxima de colores que necesitaría en ese caso? Dado que el planeta tiene un agujero, del teorema se deduce que, como máximo, serán suficientes siete colores.

El teorema de Ringel-Youngs se aplica a todas las superficies excepto a la botella de Klein. Según el teorema, la botella de Klein sólo debería poder colorearse con un máximo de siete colores; Sin embargo, resulta que seis colores siempre son suficientes para la botella pequeña.

Debido a estas propiedades únicas (y a su no orientabilidad), la botella de Klein es uno de varios objetos populares y alucinantes entre los matemáticos. También aparece en física, donde puede ayudar a describir estados cuánticos complejos, de la misma manera que la tira de Möbius ilustra los estados de espín.

Si tienes amigos nerds, la botella 3D Klein, aunque no del todo real, podría ser un gran regalo de Navidad. Incluso puedes utilizarlo como jarrón o decantador de vino.

Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.

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