¿Qué hay en la caja?
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Supongamos que te muestro una caja y te pido que adivines qué hay dentro, sin darte más detalles. Podría pensar que esto es completamente imposible, pero la naturaleza del contenedor proporciona cierta información: el contenido debe ser más pequeño que la caja, por ejemplo, mientras que una caja de metal sólido puede contener líquidos y soportar temperaturas que una caja de cartón soportaría.
¿Existe alguna manera de describir este proceso de adivinar con información limitada de una manera matemáticamente sensata? Claramente, hay algunas cosas que no se pueden adivinar de manera confiable (el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado) y las llamamos aleatorias. Pero para todo lo demás, algunas herramientas útiles pueden hacerte mucho mejor a la hora de limitar tus conjeturas, en lugar de elegir una respuesta del éter.
Una suposición limitada es en realidad una estimación y tiene una larga historia. Quizás el ejemplo temprano más impresionante sea el del antiguo filósofo griego Eratóstenes, que vivió en Alejandría, Egipto, en el siglo III a.C. Con unas pocas ideas simples, pudo estimar la circunferencia de la Tierra con una precisión sorprendente. Su método exacto se ha perdido, pero podemos reconstruirlo gracias a textos escritos después de su obra.
Básicamente, Eratóstenes sabía que al mediodía del solsticio de verano el sol parecía estar directamente encima de la antigua ciudad de Syene, sin proyectar sombra sobre un pozo. Mientras tanto, el mismo día y hora en Alejandría, una varilla vertical proyectó una sombra en un ángulo de aproximadamente 7 grados, o aproximadamente 1/50 de un círculo. Sabía que la distancia entre las dos ciudades era de 5.000 estadios, una unidad de longitud, por lo que estimó que la circunferencia completa de la Tierra debía ser 50 veces mayor, o 250.000 estadios.
Eratóstenes hizo aquí algunas aproximaciones sobre la geometría, pero podemos ignorarlas. Lo que es un poco más complicado es que no sabemos el verdadero valor de un estadio. Se cree que Eratóstenes estaba usando algo aproximadamente equivalente a 160 metros. Eso nos da una circunferencia de 160*250.000 = 40.000 kilómetros, notablemente cerca de la medida moderna de 40.075 kilómetros. Por supuesto, diferentes valores para un estadio (varían entre 150 y 210 metros) dan una respuesta diferente y un nivel diferente de precisión, dependiendo de cuán generosos queramos ser con Eratóstenes.
Este era el mundo según Eratóstenes, pero pudo estimar la circunferencia de la Tierra con bastante precisión.
Crónica/Alamy
El punto aquí es que unos cuantos cálculos simples pero razonables pueden darte una suposición bastante poderosa: medir un planeta sin tener que circunnavegarlo. El maestro del siglo XX en esto fue el físico Enrico Fermi, quien construyó el primer reactor nuclear y desempeñó un papel clave en el Proyecto Manhattan de Estados Unidos para desarrollar una bomba atómica. Estuvo presente en la primera detonación de un arma de este tipo, la prueba Trinity, e intentó estimar el poder de la explosión (nadie estaba muy seguro de cuál sería) dejando caer pequeños trozos de papel y observando cómo los movía la explosión. Al igual que Eratóstenes, su técnica exacta nunca fue registrada, pero su estimación de que era una bomba de 10 kilotones es aproximadamente la mitad del valor real de 21 kilotones aceptado hoy para la producción Trinity. Eso no es perfecto, pero al menos está en el estadio correcto.
De hecho, aterrizar en el estadio correcto fue una especie de truco de Fermi: le encantaban este tipo de estimaciones superficiales, hasta el punto de que ahora se las conoce como problemas de Fermi. El ejemplo clásico es un desafío que les plantearía a sus estudiantes: estimar cuántos afinadores de pianos hay en la ciudad de Chicago. Comenzando con la población de Chicago (alrededor de 3 millones), podríamos suponer que el hogar promedio tiene cuatro personas, por lo que hay 750.000 hogares. Si uno de cada cinco posee un piano, hay 150.000 pianos en Chicago. Si asumimos que un afinador de pianos puede trabajar con cuatro pianos por día laborable, puede llegar a unos 1.000 al año. Entonces, si esos 150.000 pianos reciben mantenimiento anualmente, debe haber 150 afinadores de pianos en Chicago.
Lo importante de esta estimación no es que sea correcta, sino que su incorrección está limitada. Hemos hecho una serie de suposiciones a lo largo del camino, pero dado que algunas serán sobreestimadas mientras que otras serán subestimadas, y suponiendo que no haya un sesgo en una dirección, entonces es probable que los errores sean limitados. Si nuestros cálculos hubieran indicado que había un millón de afinadores de pianos en Chicago, por ejemplo, se podría estar bastante seguro de que eso es incorrecto.
Si bien la estimación de Fermi es una técnica poderosa para las conjeturas iniciales, a veces recopilamos nueva información que puede ayudarnos a refinar nuestra primera respuesta. Volvamos al ejemplo del cuadro con el que comencé. Si sacara de la caja una bola azul con el número 32, ¿cambiaría eso tu suposición sobre su contenido? Se podría suponer que hay otras bolas dentro de la caja, que algunas son azules y que otras tienen números, pero ¿hay alguna manera de cuantificar esto? Sí, gracias a Thomas Bayes, un estadístico y ministro de la iglesia del siglo XVIII.
Un retrato que se cree que es de Thomas Bayes.
Dominio público
La sorprendente idea de Bayes fue darle la vuelta a la probabilidad, transformándola de una herramienta para comprender la aleatoriedad (como el resultado de lanzar una moneda al aire) a un marco para medir y revisar la incertidumbre. Presentó una ecuación, el teorema de Bayes, para convertir las observaciones en evidencia. Consta de cuatro partes: previa, evidencia, verosimilitud y posterior. Permítanme explicar cada uno de ellos por turno.
Lo anterior es nuestra suposición base. Imaginemos que estoy sirviendo tres sabores de helado en una fiesta (chocolate, fresa y vainilla) y quiero saber cuál será el más popular para asegurarme de abastecerme. Una suposición básica razonable es que las preferencias de sabor se distribuyen uniformemente entre las personas, y que a un tercio de la población le gusta cada sabor. Pero entonces empieza la fiesta y empiezo a ponerme nervioso. Las primeras 10 personas eligieron chocolate: esa es mi prueba.
Aquí es donde se complica un poco. Para definir la probabilidad, tengo que mirar mi suposición original. Si las preferencias de sabor fueran realmente iguales, ¿cuáles son las posibilidades de ver 10 chocolates seguidos? La respuesta es (1/3)^10, o aproximadamente 1 entre 60.000. Esto es bastante improbable, lo que sugiere que mi suposición original probablemente sea errónea y necesito actualizarla para asumir una preferencia mucho mayor por el chocolate, lo que a su vez nos daría una mayor probabilidad de ver la evidencia observada. Esa actualización nos da la posterior.
Este teorema resulta extraordinariamente poderoso. Volviendo al ejemplo de mi caja: la primera bola que saqué limita enormemente las posibilidades de lo que hay dentro. Si saco otra bola, esta roja y marcada con “50”, eso limita aún más las posibilidades: ahora sabes que hay al menos dos colores de bolas, y si supones que están numeradas uniformemente en orden, su cantidad total probablemente sea pequeña (menos de 100) en lugar de grande (más de un millón). Cada bola que saco te brinda aún más evidencia, que puedes usar para actualizar tu historial cada vez.
Un lugar en el que quizás te hayas encontrado con el teorema de Bayes sin saberlo es en tu bandeja de entrada de correo electrónico. Los primeros filtros de spam utilizaban el razonamiento bayesiano, asumiendo que un cierto porcentaje de correos electrónicos eran spam (lo anterior), luego usaban los correos electrónicos que usted y su proveedor de servicios marcaban como spam (la evidencia) en combinación con la posibilidad de que ciertas palabras y frases aparecieran en los correos electrónicos no deseados (la probabilidad) para saber qué correos electrónicos son realmente spam (lo posterior).
El filtrado de spam ilustra por qué adivinar no es un truco matemático con recuadros, sino relevante para el mundo real. Y aprovechar estas técnicas (estimación de Fermi y razonamiento bayesiano) es más importante que nunca en un mundo de IA que coinciden con patrones como ChatGPT. Como escribí recientemente, la forma en que se construyen las IA modernas significa que a menudo buscan confirmar en lugar de actualizar o desafiar sus antecedentes, coincidiendo con patrones existentes sin considerar completamente nueva evidencia que no encaja. No permita que una IA adivine incorrectamente: aprenda a hacerlo usted mismo correctamente.
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