Las monstruosas secuencias numéricas que rompen las reglas de las matemáticas

¿Escuchaste el del hombre que inventó el ajedrez y se hizo ejecutar? Cuenta la leyenda que un hombre llamado Sessa, que vivió en la India hace mucho tiempo, desarrolló las reglas del juego y se las presentó a un rey. El rey quedó encantado y le ofreció al hombre la recompensa que podía elegir.

Sessa pidió una cantidad supuestamente humilde de arroz. Solo un grano en el primer cuadrado de un tablero de ajedrez, el doble en el segundo cuadrado, el doble nuevamente en el tercero y así sucesivamente para los 64 cuadrados. Pero era demasiado inteligente a medias. Hagamos las cuentas, y esto fue más arroz que la cosecha mundial durante el siglo pasado. Al rey no le pareció gracioso y lo mandó ejecutar.

Esta leyenda siempre ha servido como advertencia sobre el poder del crecimiento exponencial, pero, francamente, eso no tiene nada que ver con lo que estoy a punto de contarles. Porque resulta que el crecimiento exponencial es un verdadero rezago. Los investigadores han descubierto procesos matemáticos que crecen escandalosamente más rápido, produciendo rápidamente números tan grandes que el tablero de ajedrez de arroz de Sessa (18 trillones de granos para quienes toman notas) apenas los registra.

Estos procesos hiperacelerados son más que meros alucinantes. También violan los límites de velocidad teóricos establecidos desde hace mucho tiempo, lo que significa que estudiarlos juega un papel fundamental en nuestra comprensión de los fundamentos lógicos de los números mismos.

Como matemático y escritor, me sorprende la frecuencia con la que la gente a lo largo de la historia razonó con números mucho mayores de lo que requiere cualquier propósito práctico. En sitios arqueológicos de la antigua Babilonia, desenterramos tablillas en las que los eruditos calcularon meticulosamente valores tan altos como 911 x 1239 (lo que suma más que el número de átomos del planeta Tierra). Arquímedes calculó una vez el número de granos de arena que se necesitarían para llenar el universo. Y en Centroamérica, los mayas clásicos contemplaban escalas de tiempo de octillones de años, mucho más largas que la edad de nuestro universo.

Estos pioneros son en parte la razón por la que escribí mi libro, Números enormes. Pero una de las historias más fascinantes que encontré fue mucho más reciente y se refería a cómo las secuencias de números de rápido crecimiento impactan mi propio campo de estudio, la lógica matemática, una disciplina que analiza pruebas matemáticas. Se trata de demostraciones irrefutables de que algo es cierto, construidas a partir de una serie continua de deducciones lógicas. Pueden ser endiabladamente difíciles de idear, pero una vez construidos, son válidos para siempre. Esto los convierte en nuestra forma de conocimiento más sólida y duradera, objeto de envidia para los científicos de otros campos.

Pero aquí está la cuestión: las pruebas deben comenzar por algún lado. Estos supuestos iniciales son los axiomas de las matemáticas, que nos vemos obligados a decir que son evidentemente ciertos. A finales del siglo XIX, los lógicos (incluido el pensador italiano Giuseppe Peano) comenzaron a contemplar una cuestión de profunda importancia: ¿cuáles son los axiomas sobre los que debería construirse nuestro sistema numérico? Las respuestas de Peano se centran en lo que se llama sucesión, el proceso que lleva un número al siguiente: 0 a 1, 1 a 2, 2 a 3. Sus ideas incluyen la observación de que si dos números tienen el mismo sucesor, entonces deben haber sido el mismo número para empezar. No es una de las grandes revelaciones de la historia. Sin embargo, la sucesión es la forma en que las verdades matemáticas se propagan a través del sistema numérico. Empiece desde aquí y podrá desarrollar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones: Peano había llegado al corazón de la aritmética.

Pero pronto apareció una nube en el cielo. En 1931, Kurt Gödel reveló su famoso teorema de incompletitud, una prueba que demostraba que los humanos nunca serían capaces de escribir un libro de reglas exhaustivo para la aritmética. Esto significa que el libro de reglas de Peano (y cualquier reemplazo imaginable) no puede ser completamente completo; Hay hechos verdaderos sobre los números que no se pueden derivar de ellos. Para los lógicos, esto fue un shock profundo. Sin embargo, en los años siguientes, descubrieron que las reglas de Peano en general se mantenían firmes. Como había garantizado Gödel, se estropeó en algunos lugares, pero sólo en áreas a las que se accedía mediante arcanos trucos lógicos y no mediante una investigación matemática ordinaria.

Una consecuencia rara vez notada del libro de reglas de Peano es que impone un límite de velocidad a los procesos matemáticos que podemos manejar. Digo rara vez notado porque, durante la mayor parte de la historia de las matemáticas, este límite estuvo mucho más allá de cualquier cosa de la que incluso los matemáticos profesionales tuvieran que preocuparse. Pero eso ha empezado a cambiar recientemente.

La metasecuencia de Goodstein

El primer indicio del velocímetro acercándose fue una secuencia descubierta por Reuben Goodstein en la década de 1940. Elija un número inicial. Digamos 19. Escribe esto en base 2 para obtener 24 + 2 + 1. Antes de comenzar, también necesitamos reescribir los índices en base 2, de modo que los únicos dígitos visibles sean 1 y 2: 222 + 2 + 1. Ahora estamos listos para el proceso de dos pasos de Goodstein. Paso uno, reemplaza cada 2 con un 3. Paso dos, resta 1. Esto nos da: 333 + 3. Luego vamos a la siguiente entrada en la secuencia, esta vez reemplazando cada 3 con un 4 y restando 1.

Sin lugar a dudas, se trata de un proceso de rápido crecimiento: las tres primeras entradas son 19, más de 7 billones y luego un número superior a 1010.000.000. Pero el sorprendente descubrimiento de Goodstein en 1944 fue que si se continúa repitiendo el proceso de dos pasos el tiempo suficiente, la secuencia de números eventualmente se estabiliza, disminuye y regresa a cero. Podemos ver esto si comenzamos desde un número más pequeño, como 2. Esta secuencia es: 2, 2, 1, 0. Si comenzamos con 3, se necesitan seis movimientos para llegar a cero. ¿Qué tal empezar el 4? El hallazgo de Goodstein sigue siendo válido, pero ahora se necesitan más de 10.100.000.000 de movimientos para volver a cero.

Lo que acabamos de describir es la metasecuencia de Goodstein, la secuencia de longitudes de secuencias sucesivas de Goodstein. Esto resulta ser un proceso matemático que rompe el límite de velocidad aritmética habitual impuesto por las reglas de Peano. Sólo su sexta entrada (la longitud de la secuencia de Goodstein que comienza en 6) está en el ámbito de los números que incluso el explorador de números enormes Donald Knuth describió como "más allá de la comprensión". Imaginemos que intentamos describirlo usando una torre de exponenciales, similar a 101010, pero con la torre de decenas elevándose cada vez más. Esa torre tendría que ser tan alta que su altura sólo pudiera ser descrita por otra torre, cuya altura está dada por otra torre, y así sucesivamente, repitiendo esta fórmula durante más tiempo que la vida del universo. Y todo esto, recuerde, solo por la sexta entrada de la metasecuencia de Goodstein.

Matemáticas inversas

Normalmente, los matemáticos comienzan con una conjetura (es decir, una afirmación matemática que creen que es cierta) e intentan demostrarla. Pero en 1982, Jeff Paris y Laurie Kirby hicieron la pregunta inversa sobre el trabajo de Goodstein. Tomaron su prueba de que la secuencia siempre volvería a cero y le preguntaron qué axiomas se requerían. Resultó que la respuesta fue que los axiomas de Peano no eran suficientes. Esta fue una gran noticia. El teorema de Goodstein fue de gran interés dentro de las matemáticas y, sin embargo, fue el primer ejemplo concreto de la incompletitud de la que Gödel había advertido, sin ningún recurso lógico a la vista.

Este fue un descubrimiento temprano y dramático en un tema que más tarde se conoció como matemáticas inversas. En manos del lógico pionero Harvey Friedman, se convirtió en un programa de investigación en toda regla. Ninguno de sus resultados fue más espectacular que el relativo al teorema del grafo menor.

Demostrado a lo largo de 20 artículos técnicos de Neil Robertson y Paul Seymour entre 1983 y 2004, el teorema menor del grafo es un hito de las matemáticas modernas, que transforma el estudio de las redes abstractas conocidas como grafos. Un gráfico consta de un número finito de nodos, algunos de los cuales están unidos por líneas llamadas aristas. Estructuras como esta surgen en todas partes, desde la química molecular hasta la red mundial, y afectan a casi todas las ramas de la ciencia.

Un gráfico "menor" en este contexto es un gráfico más pequeño que se puede obtener a partir del más grande mediante una combinación de acciones simples como eliminar bordes. Los menores son para sus gráficos padres lo que el hormigón y el acero son para un rascacielos: el esqueleto matemático. Han sido vitales para nuestra comprensión de las redes desde la década de 1930.

El teorema histórico de Robertson y Seymour demostró que si sigues dibujando una secuencia de gráficas, entonces, hagas lo que hagas (ya sea al azar o de acuerdo con alguna receta cuidadosa), tarde o temprano producirás un par en el que uno se esconde dentro del otro como menor. En otras palabras, es imposible producir una colección infinita de gráficos finitos donde ninguno sea menor que otro. Esto está lejos de ser obvio y sus consecuencias han sido profundas. De hecho, la prueba dio origen a un campo completamente nuevo de las matemáticas llamado teoría de grafos estructurales, que, a su vez, ha generado un poderoso conjunto de herramientas para medir la complejidad de todo tipo de redes, desde redes de transporte hasta redes eléctricas.

Antes de continuar, vale la pena decir que, a pesar de las posibles apariencias, aquí no nos hemos aventurado más allá de los límites de la aritmética. Los gráficos pueden implicar diagramas, pero aún así se pueden describir mediante números simples y aritmética. En ese contexto, el teorema del grafo menor también tuvo profundas implicaciones para los fundamentos de las matemáticas. Cuando Robertson y Seymour se asociaron con el inventor de las matemáticas inversas, Friedman, establecieron que cualquier prueba del teorema del grafo menor necesariamente significa aventurarse más allá de los axiomas estándar de la aritmética, y esta vez, las leyes requeridas no se encuentran ligeramente fuera de las puertas habituales, como lo hace la metasecuencia de Goodstein, sino que se encuentran en lo profundo del desierto lógico. A partir de esta idea, en 2006, Friedman descubrió una de las secuencias de más rápido crecimiento conocidas hasta el momento en las matemáticas convencionales (ver “La poderosa secuencia del gráfico subcúbico”).

Comprender los axiomas

Para entender cuán claramente el teorema menor del gráfico rompe el límite de velocidad, necesitamos profundizar un poco más en los sistemas de axiomas que se han desarrollado desde la época de Peano. En términos generales, hay cinco niveles de axiomas de complejidad creciente, con la versión moderna del libro de reglas de Peano en el nivel tres. Los dos libros de reglas anteriores se conocen como recursividad transfinita aritmética y comprensión Π1,1. Si bien la lógica de Peano se basa exclusivamente en las propiedades de los números mismos, las reglas más avanzadas giran en torno a los "conjuntos".

Un conjunto es simplemente una colección de números. Podrías tener el conjunto de todos los números que terminan en 3, por ejemplo, o números primos. Pero más allá de conjuntos fácilmente descriptibles como estos se encuentra un pantano de conjuntos infinitos de números que desafían cualquier caracterización simple. Los conjuntos son una idea abstracta que durante mucho tiempo ha aportado poder a las matemáticas. Al basar las reglas de la aritmética en ellos (especialmente conjuntos que son individualmente aleatorios o de difícil acceso), se aumenta el poder lógico del libro de reglas y se permiten límites de velocidad más altos.

Ahora bien, con la excepción del teorema de Goodstein, las reglas de Peano eran todo lo que se necesitaba para la aritmética ordinaria. Los niveles superiores de reglas se desarrollaron como base para ramas de las matemáticas mucho más sofisticadas. Aún así, Friedman, Robertson y Seymour demostraron que el teorema menor del grafo, basado como está en la aritmética, supera estos cinco niveles. En 2019, mi colega Michael Rathjen de la Universidad de Leeds, Reino Unido, y su alumno Martin Krombholtz investigaron hasta qué punto es necesario ampliar los libros de reglas habituales para dar cabida al teorema del grafo menor y las secuencias altísimas que genera. La respuesta, a grandes rasgos, es que nos lleva dos niveles más allá, mucho más allá de lo que requiere cualquier actividad matemática convencional. Éste es un libro de reglas para los cohetes matemáticos.

Lo que encuentro fascinante es que esta profundidad lógica surge de conjuntos de puntos y líneas, fácilmente descriptibles mediante números enteros ordinarios. La intuición dice que debería estar dentro del ámbito de competencia de Peano. Sin embargo, en esta complicada área lógica, nuestra intuición es tan inestable como la del rey mítico que no logró detectar el crecimiento exponencial de Sessa.

Para mí, las matemáticas siempre han consistido en explorar el límite entre la simplicidad y la complejidad. Nuestras revistas están llenas de objetos matemáticos extremadamente complicados, pero, inesperadamente, casi todos ellos pueden, en última instancia, reducirse al sencillo libro de reglas de Peano. La complejidad verdaderamente irreducible, las pruebas matemáticas y las estructuras que requieren conjuntos infinitos elaborados en un nivel esencial, son mucho más raras. Que un campo de investigación tan importante como la teoría de grafos estructurales resulte ser un ejemplo de esta profunda complejidad es, en mi opinión, uno de los avances más sorprendentes en la lógica matemática desde el teorema de Gödel.

Una de las secuencias de números de más rápido crecimiento jamás descubierta implica el concepto matemático de gráficos. Estos constan de una serie de puntos (llamados nodos) y líneas (llamadas aristas). Como sugiere su nombre, la secuencia de gráficos subcúbicos considera solo gráficos subcúbicos, es decir, aquellos cuyos nodos no tienen más de tres "salidas" a lo largo de las líneas.

Nos interesan los casos en los que un gráfico subcúbico se esconde dentro de uno más grande como menor, en el sentido de que se puede obtener mediante una combinación de movimientos simples: eliminar nodos (con todos los bordes que los acompañan), eliminar bordes individuales y fusionar dos nodos reduciendo su borde de conexión.

Ahora, aquí está la pregunta. ¿Cuán larga es la lista de gráficos que podemos obtener bajo las siguientes reglas: el primero puede tener como máximo un nodo, el segundo como máximo dos, el tercero como máximo tres, y así sucesivamente, y ningún gráfico se esconde como menor dentro de ninguno posterior? Desconcierta un rato y descubrirás que lo mejor que puedes hacer es seis. El gráfico final de esta secuencia es el "gráfico vacío", sin nodos ni aristas. Nos referimos a la longitud de esta secuencia como SCG(0) y, por lo tanto, podemos decir SCG(0) = 6.

Pero ahora ajustamos la cuestión concediéndonos una ventaja. Esta vez, el primer gráfico puede contener como máximo dos nodos, el segundo como máximo tres, el tercero como máximo cuatro, y así sucesivamente. Todas las demás reglas siguen siendo las mismas. ¿Cuál es la lista más larga que podemos construir ahora? Podríamos empezar así:

Entonces, ¿cuánta longitud tiene esta lista, a la que nos referimos como SCG(1)? ¿Qué pasa con SCG(2)? Esta progresión es la secuencia del gráfico subcúbico. Sabemos por trabajos matemáticos anteriores que todos estos acertijos tienen soluciones no infinitas, pero los valores son profundamente enormes, frustrando casi cualquier intento de describirlos. Incluso SCG(1) supera la colosal entrada número 19 de la metasecuencia de Goodstein, que crece tan rápido que supera el límite de velocidad normal de la aritmética (ver característica principal).

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