El agua, exactamente a cero grados, no sabe lo que quiere ser. Agregue el más mínimo empujón de energía y permanecerá líquido; reste lo mismo y se rompe en hielo, las moléculas se unen en una red repetitiva perfecta. El punto de inflexión en sí, ese momento de indecisión en el filo de la navaja, es un tipo de objeto extraño en sí mismo. Durante décadas, los físicos sospecharon que algo similar podría suceder con el espacio-tiempo. No moléculas de agua, sino el tejido mismo del universo, organizándose en una estructura cristalina justo a punto de convertirse en un agujero negro. Ahora, por primera vez, un equipo de Viena y Frankfurt ha escrito una descripción matemática exacta de cómo se ve ese objeto, utilizando nada más que papel y lápiz.
El resultado, publicado en Physical Review Letters, resuelve un problema que ha permanecido abierto desde 1993. También revela algo realmente extraño sobre cómo se pueden formar los agujeros negros y da pistas sobre cómo pudo haber sido el universo primitivo.
La historia comienza con un físico llamado Matthew Choptuik, quien en 1993 estaba ejecutando simulaciones por computadora del colapso de la materia. Descubrió que si se ajusta la energía de una capa de partículas que cae a un umbral crítico, el límite entre “colapsar en un agujero negro” y “dispersarse inofensivamente”, el espacio-tiempo resultante no se queda quieto. Pulsa. Oscila con un ritmo repetitivo preciso, una autosemejanza discreta, como si el espacio-tiempo mismo fuera un cristal con una estructura reticular regular. Los físicos llamaron a este estado colapso crítico y comprendieron casi de inmediato que tenía las características de una transición de fase, algo así como el momento en que el agua se convierte en hielo. La analogía era convincente; Resultó que las matemáticas eran tremendamente difíciles.
Durante 33 años, la solución crítica de Choptuik existió sólo en forma numérica, algo que las computadoras podían aproximar pero que ninguna fórmula humana podía capturar. “A veces, una causa pequeña, aparentemente insignificante, es suficiente para desencadenar un cambio enorme y dramático”, dice el profesor Daniel Grumiller de TU Wien, uno de los autores del nuevo trabajo. Su analogía con el hielo es acertada. Pero mientras que se puede escribir la física de la congelación del agua en ecuaciones bastante manejables, las ecuaciones que gobiernan el espacio-tiempo cerca del umbral de un agujero negro no lo son (por decirlo suavemente).
El truco que utilizó el equipo Viena-Frankfurt para resolverlo es, a primera vista, absurdo. Nuestro universo tiene cuatro dimensiones, tres de espacio y una de tiempo. Las ecuaciones de la relatividad general en cuatro dimensiones no se simplifican fácilmente; no hay un número pequeño que puedas usar para expandirte, ni un esquema de aproximación obvio para explotar. Pero ¿qué pasa si dejas crecer el número de dimensiones? No hasta cinco, ni cuarenta y dos, sino hasta el infinito. Como señala Christian Ecker de la Universidad Goethe de Frankfurt, en principio nada impide escribir las ecuaciones para cualquier número de dimensiones, cinco, cuarenta y dos o infinitas. Las ecuaciones en ese límite, extrañamente, colapsan en algo mucho más manejable. El problema de las cuatro dimensiones, reformulado como el límite de dimensiones infinitas de una teoría más general, cede el paso a métodos analíticos que simplemente no estaban disponibles antes.
Lo que encontraron en ese límite es toda una familia de soluciones exactas, un catálogo infinito de configuraciones cristalinas del espacio-tiempo, cada una caracterizada por una única función del tiempo que codifica el ritmo repetitivo de la estructura. Las soluciones son, según los estándares de la relatividad general, notablemente limpias. “Nuestra técnica resulta notablemente estable”, afirma Florian Ecker de la Universidad Técnica de Viena. “Dependiendo de la precisión deseada, podemos mejorar sistemáticamente nuestras fórmulas utilizando métodos de aproximación adicionales. Esto nos proporciona un nuevo método para estudiar fenómenos relacionados con los agujeros negros que antes no podían analizarse analíticamente”.
La etiqueta “cristal” es más que una metáfora. En un cristal convencional, los átomos se encuentran en puntos regularmente espaciados en el espacio; Si se perturba la red, ésta se sostiene o se rompe. El cristal del espacio-tiempo Choptuik tiene una naturaleza dual similar. “Es una especie de estado intermedio, un punto inestable que puede evolucionar en dos direcciones diferentes”, explica Grumiller. “Puede que simplemente se disuelva de nuevo, dejando atrás el espacio-tiempo ordinario lleno de partículas que se mueven libremente. Pero si se añade una pequeña cantidad de energía, la evolución toma un camino completamente diferente: el discreto cristal del espacio-tiempo se convierte en un agujero negro”. El cristal es, en este sentido, un universo en equilibrio sobre la cabeza de un alfiler.
Conseguir que la solución de dimensión infinita diga algo útil sobre nuestro universo decididamente de cuatro dimensiones requiere reducirla mediante correcciones sucesivas. El equipo trabajó en la solución de orden principal (limpia pero imprecisa), luego en el orden siguiente al principal y luego en el nivel posterior. Cada corrección captura más de la estructura vista en las simulaciones numéricas originales de Choptuik, incluida la curvatura de ciertas características geométricas llamadas líneas de condición de energía nula, que permanecieron obstinadamente equivocadas hasta que se incluyó la segunda corrección. Hay algo casi perverso en este enfoque: el universo que realmente te importa es el que está más alejado del límite alrededor del cual te estás expandiendo. Pero a las matemáticas no parece importarles la perversidad. Converge, al menos cerca del centro del cristal del espacio-tiempo, más rápido de lo que nadie esperaba.
Las soluciones también imponen restricciones que no se anticiparon. En el orden siguiente al líder, el equipo descubrió que no todos los ritmos repetitivos posibles para el cristal son matemáticamente consistentes; la mayoría están descartadas por una condición sobre la forma en que se comporta el horizonte autosemejante de la estructura (una especie de límite interno). Esto es potencialmente significativo. En la dimensión finita, el trabajo numérico ha sugerido durante mucho tiempo que existe esencialmente una sola solución crítica de este tipo. El nuevo marco analítico, si se lleva a órdenes cada vez más altos, podría precisar esa unicidad desde los primeros principios en lugar de limitarse a observarla en simulaciones.
Esto también tiene una dimensión cosmológica y es más importante de lo que parece a primera vista. En el universo primitivo, fracciones de segundo después del Big Bang, las condiciones eran lo suficientemente caóticas como para que un colapso crítico pudiera, en principio, haber ocurrido espontáneamente en regiones pequeñas. Los objetos resultantes serían agujeros negros primordiales, restos microscópicos de la infancia del universo. Estos objetos han sido propuestos como candidatos para la materia oscura, y su existencia real depende de la rapidez con la que se produjo el colapso crítico y de cómo se comportaron exactamente los agujeros negros resultantes. Las nuevas soluciones analíticas brindan a los teóricos un marco preciso, en lugar de estimaciones numéricas, para pensar en esa cuestión.
El equipo ya está apuntando a lo que viene a continuación: extender la solución más allá del interior del cristal a la región más allá de su horizonte autosimilar, llevar la expansión perturbativa a órdenes superiores y, finalmente, abordar el exponente de Choptuik, un número que caracteriza cuán sensible es la formación de un agujero negro a las condiciones iniciales cercanas al umbral. Las mediciones numéricas lo han fijado en aproximadamente 0,374 en cuatro dimensiones; Si la expansión de grandes dimensiones puede reproducir ese valor analíticamente sigue siendo una pregunta abierta, y probablemente la más difícil de la lista. Pero por ahora, por fin se ha llenado un vacío de 33 años en las matemáticas de los agujeros negros, con nada más que lápiz, papel y la voluntad de imaginar un universo con infinitas dimensiones.
https://doi.org/10.1103/qgl5-5l3t
Preguntas frecuentes
¿Podrían existir hoy agujeros negros microscópicos del universo primitivo?
Probablemente. Los agujeros negros primordiales, que pueden haberse formado a través de un colapso crítico en las condiciones caóticas poco después del Big Bang, son candidatos vivos en cosmología. Que hayan sobrevivido hasta el presente depende de su masa y de cómo interactuaron con la radiación; los muy pequeños se habrían evaporado a través de la radiación de Hawking, mientras que los más grandes podrían seguir ahí afuera. El nuevo marco analítico brinda a los teóricos herramientas más precisas para modelar la facilidad con la que se podrían haber formado estos objetos.
¿Por qué los físicos no pudieron escribir antes una fórmula para esto?
Las ecuaciones de la relatividad general son notoriamente resistentes a las soluciones exactas, y el problema del colapso crítico añade otra capa: el espacio-tiempo cerca del umbral es autosimilar de una manera discreta y oscilatoria, lo que descarta la mayoría de los trucos analíticos estándar. Sin un pequeño parámetro adimensional alrededor del cual expandirse, no había un punto de apoyo obvio. El gran avance fue reconocer que el número de dimensiones espaciales podría servir como ese parámetro, desbloqueando un régimen donde las ecuaciones se simplifican lo suficiente como para resolverlas.
¿Qué significa realmente que el espacio-tiempo forme un “cristal”?
En un cristal ordinario, los átomos se repiten a intervalos regulares en el espacio. El cristal de espacio-tiempo de Choptuik es análogo: la geometría del espacio y el tiempo se repite a intervalos regulares en el tiempo, siguiendo el mismo patrón una y otra vez. Es una configuración inestable que se sitúa precisamente en el límite entre dos resultados: el colapso en un agujero negro o la dispersión de regreso al espacio ordinario. El cristal no persiste; se inclina en un sentido u otro dependiendo de la más mínima fluctuación de energía.
¿Es el truco de las dimensiones infinitas una idea física real o simplemente una conveniencia matemática?
Principalmente lo último, pero ese no es el despido que parece. El límite de dimensión infinita no es un lugar real; es un régimen matemático donde las ecuaciones se vuelven manejables. Lo que importa es si las soluciones en ese límite siguen siendo informativas cuando se reduce la dimensión a cuatro, como demuestran las sucesivas correcciones del equipo. El enfoque está tomado de otras áreas de la física teórica donde el mismo truco ha resultado productivo, incluido el estudio de los grandes agujeros negros.
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