Ya puedo imaginar los gritos que estallarán este verano durante la Copa Mundial de la Federación Internacional de Fútbol Asociación (FIFA): “¡Fue una mala decisión!” “¡Eso no fue una falta!” “¡El otro equipo debería haber recibido un penalti!”
Afortunadamente, la reproducción de video permite a las personas validar (o refutar) la decisión de un árbitro. Por supuesto, esa tecnología también genera un acalorado debate entre los fanáticos. Pero mi interés está en las matemáticas que acompañan a la evidencia en video y a los asistentes en video.
Un querido colega se me acercó recientemente con una pregunta aparentemente inofensiva: ¿Cuántas cámaras se necesitan, como mínimo, para cubrir un campo de juego con la mayor precisión posible y cuál es el mejor lugar para colocarlas para garantizar que se registre cada acción? Resulta que esta pregunta no es nada fácil de responder.
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De campo de fútbol a museo de arte
En matemáticas, este tipo de preguntas se encuentran más comúnmente como el “problema de la galería de arte”. En 1973, el matemático Václav Chvátal pidió a su colega Victor Klee un interesante problema de geometría. Klee respondió desafiándolo a encontrar cuántos guardias se necesitan, como mínimo, para proteger una galería.
Es un problema de optimización clásico que depende de la forma de la galería. Para una habitación rectangular con cuadros colgados en las paredes, suponiendo que no haya columnas o personas que bloqueen la vista, un solo guardia es teóricamente suficiente. El guardia se encuentra en una esquina y puede supervisar fácilmente toda el área.
Para formas espaciales más complejas, encontrar una respuesta no es tan fácil. En 1975 Chvátal publicó un artículo que demostraba que el número mínimo de guardias en una habitación con n esquinas es como máximo n⁄3, redondeando el resultado hacia abajo si no es un número entero.
Para visualizar esta prueba, imagine el espacio dividido en triángulos. Los puntos finales de cada triángulo coinciden con los vértices o esquinas del área. Un guardia puede inspeccionar completamente un triángulo determinado. Ahora imagina tomar tres colores (por ejemplo, rojo, azul y verde) y colorear cada punto de cada triángulo de modo que no haya dos puntos adyacentes del mismo color. Colocando un guardia en cada punto correspondiente a un color específico, como el azul, se puede vigilar toda el área. Debido a que los n vértices del área se pueden colorear con tres colores, se necesitan como máximo n/3 guardias.
Esta línea de razonamiento proporciona una solución, pero no necesariamente la óptima. Determinar el número más pequeño de guardias para habitaciones con formas arbitrarias y su ubicación resulta ser un problema notoriamente complejo, un problema que las computadoras a veces alcanzan sus límites al intentar resolver; los expertos se refieren a él como un problema polinómico completo no determinista (NP-completo).
Un campo de juego con 22 hoyos
Un campo de fútbol tiene una estructura bastante sencilla: un rectángulo. Una cámara colocada en una esquina debería poder cubrir todo el campo, siempre que su ángulo de visión sea de al menos 90 grados.
Pero filmar un campo vacío no tiene sentido. Quiere filmar un partido en el que hasta 22 jugadores se mueven y luchan por el balón, lo que complica considerablemente la tarea porque los jugadores se ocultan constantemente unos a otros durante el juego.
Comencemos de manera simple con un problema estático. Supongamos que los 22 jugadores están distribuidos inmóviles por el campo. Desde una perspectiva matemática, esta situación corresponde al problema del guardia del museo pero con 22 áreas, o agujeros, donde nuestro guardia o cámara de video no puede ver.
En 2009, los matemáticos Hemanshu Kaul y YoungJu Jo, ambos entonces en el Instituto Tecnológico de Illinois, demostraron que en este caso serían suficientes 10 protectores o cámaras. Su prueba implicó dividir el área en polígonos en lugar de triángulos, definir una red de puntos y líneas a partir de esos polígonos y luego determinar la mejor manera de colorear los puntos de esa red.
Sin embargo, una vez más, el resultado de Kaul y Jo es sólo una solución posible y no necesariamente la óptima. Podría ser suficiente con menos guardias.
La complicada realidad
Pero consideremos la situación más realista y complicada en la que nuestros 22 hoyos, o jugadores, se mueven. Para pensarlo más a fondo, vale la pena señalar que partes importantes de un partido de fútbol tienen un componente tridimensional: no se trata sólo de una pelota y los pies en el suelo. Además, las capacidades de las cámaras son limitadas: no cubren un campo de visión de 360 grados, como podrían suponer los matemáticos en el caso de los guardias del museo.
Todos estos factores complican el problema hasta tal punto que para este tipo de tareas sólo es posible encontrar análisis asistidos por ordenador. Aunque este enfoque proporciona una aproximación personalizada para ciertos casos especiales, no permite una afirmación general y definitiva de que se necesitan al menos y cámaras en lugares específicos del campo de juego para un seguimiento perfecto del juego.
Pero a la hora de filmar fútbol se puede añadir otro elemento que sirva de ayuda: simulaciones y experiencias pasadas. Estos partidos han sido filmados y transmitidos durante décadas, y es esa historia la que ha ayudado a los organizadores a determinar el mejor lugar para cada cámara.
En el anterior Mundial de Qatar, un total de 42 cámaras enfocaron a los 22 jugadores en el campo de fútbol, incluidas ocho cámaras superlentas y cuatro ultralentas. Lamentablemente, la FIFA no proporciona una explicación precisa de por qué utiliza tantas cámaras. El número parece bastante alto, pero presumiblemente es para garantizar que todo el campo esté cubierto de la forma más completa posible. Teniendo en cuenta sus recursos económicos, la FIFA probablemente no necesite buscar una solución óptima con el menor número de cámaras posible.
Aún así, la ubicación de las cámaras es reveladora. La mayoría están ubicadas cerca de cada portería y en la línea media del campo, donde es probable que ocurran situaciones emocionantes con mayor frecuencia.
Sin embargo, muchos clubes y organizaciones más pequeños enfrentan desafíos completamente diferentes a la ubicación óptima de la cámara. Los dispositivos deben calibrarse y alinearse adecuadamente para ofrecer evidencia en video confiable, y eso no siempre es fácil.
Entonces, si escuchas a espectadores apasionados y furiosos quejándose de la evidencia en video mientras miran la Copa del Mundo de este año, tal vez puedas calmarlos hablándoles de la complejidad matemática detrás de la tarea. Déjame saber si eso funciona.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización. Fue traducido de la versión original alemana con la ayuda de inteligencia artificial y revisado por nuestros editores.