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Los chistes de nerds ya no son una rareza en la televisión. Como escribí hace unas semanas, incluso Los Simpson están plagados de travesuras matemáticas. Pero Futurama ha llevado el humor nerd al extremo. Considere el episodio “El prisionero de Benda”. Su escritor, Ken Keeler, tuvo que formular una prueba matemática original para resolver un importante problema argumental.
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La historia del episodio comienza de manera inocua. El ingenioso profesor Farnsworth inventa una máquina que puede intercambiar las mentes de dos personas. En un intento por volver a ser joven, intercambia cuerpos con el personaje de Amy, quien, por su parte, está ansiosa por tener un cuerpo en el que pueda comer todo lo que quiera sin tener que cuidar su figura.
Después de realizar el cambio, la pareja se da cuenta de que la transformación no se puede revertir fácilmente porque el dispositivo funciona solo una vez para cada par de cuerpos. Y así también intervienen otros personajes de la serie: en total, utilizan la máquina siete veces. Los cuerpos y las mentes de nueve personajes están tan mezclados que resulta difícil saber quién es quién en un momento dado.
En el camino, los personajes tienen motivaciones descabelladas para buscar la transformación: el robot Bender quiere robar el yate del emperador Nikolai y toma la forma de Amy para seducir a los guardias; Leela adopta la forma del profesor para descubrir por qué Fry la ama; para vengarse, Fry quiere ser feo e intercambia su cuerpo con el de la langosta alienígena Dr. Zoidberg, y así sucesivamente.
Al final, por supuesto, todos quieren volver a sus propios cuerpos. Pero en este punto de la historia, Keeler vaciló. Necesitaba desenredar a los personajes sin que dos personas iguales usaran la máquina más de una vez; las parejas tenían que ser siempre diferentes. Keeler se dio cuenta de que tendría que introducir nuevos personajes en el episodio para resolver el problema. ¿Pero cuantos? Keeler tiene un doctorado. en matemáticas y se dio cuenta de que se enfrentaba a esta pregunta: ¿Cuántas personas más se necesitan para resolver el problema del intercambio de cuerpos con n figuras?
No tenía idea de cómo sería la solución. El número de personas adicionales podría crecer con el tamaño n del grupo o ser constante. Todavía no parecía haber una respuesta en la literatura, por lo que Keeler se propuso resolver el problema él mismo. Y después de algunas dudas, finalmente desarrolló una prueba: dos personajes más serían suficientes para resolver la complicada situación, independientemente de cuántas personas intercambiaran cuerpos.
¡Solución a la vista!
En la serie, los Globetrotters, talentosos jugadores de baloncesto con brillantes habilidades científicas, salvan el día. Dos de los jugadores, “Sweet” Clyde Dixon y Ethan “Bubblegum” Tate, resuelven el problema en una pizarra escribiendo la prueba de Keeler.
Pero, ¿cómo lo hizo exactamente Keeler? Abstrajo el problema imaginando n objetos dispuestos en el orden incorrecto, digamos (2, 3, 4, 5,…, i, i + 1,…, n, 1). El objetivo es restaurar el conjunto (1, 2, 3, …, n) intercambiando los objetos por pares con dos nuevos elementos, x e y. Puede anotar dicho intercambio mediante (i, x); entonces i y x cambian sus posiciones. Por tanto, tienes un nuevo conjunto (2, 3, 4, 5, …, i, i + 1, …, n, 1, x, y).
Keeler descubrió que primero se debe dividir el conjunto en un grupo que va de 1 a i y otro que va de i + 1 a n. Luego intercambias cada elemento fuera de lugar del primer conjunto con x y cada uno del segundo con y. Al final, intercambias x con i + 1 e y con 1: (1, x) (2, x) (3, x) … (i, x) × (i + 1, y) (i + 2, y) … (n, y) × (i + 1, x) × (1, y). Independientemente de cómo se elija i, después de estas permutaciones, finalmente terminará con un conjunto ordenado (ignorando x e y): (1, 2, 3, …, i, i + 1, …, n). De hecho, no importa la forma en que se ordenaron originalmente los objetos. El método siempre funciona.
Para ver la prueba de Keeler en acción, puede crear una tabla que represente los pares iniciales de intercambio de cuerpos. Dibujar figuras de palitos simplificadas en las que la mente de una persona sea de un color y su cuerpo sea de un color diferente ayuda con este paso. Una vez que hayas dibujado y coloreado cada uno de los personajes, notarás que Fry y Zoidberg se pueden diferenciar de los demás personajes porque solo se han intercambiado entre sí.
Ahora, con la ayuda de Sweet Clyde y Bubblegum Tate, puedes intentar reunir las respectivas mentes con sus cuerpos. Zoidberg y Fry requieren cuatro pasos. Expresando abstractamente su falsa composición mediante (2, 1), obtenemos el siguiente conjunto con Clyde (x) y Tate (y): (2, 1, x, y). Como sólo hay dos objetos, debe existir i = 1. Así, según el enfoque de Keeler, son necesarias las siguientes permutaciones: (1, x), (2, y), (2, x) y (1, y). Realizándolos uno tras otro, el conjunto cambia de la siguiente manera: (2, x, 1, y), (y, x, 1, 2), (y, 2, 1, x), (1, 2, y, x).
Por supuesto, Sweet Clyde y Bubblegum Tate ahora están intercambiados. En teoría, podrían entrar en la máquina e intercambiar, pero deberían ayudar a los otros siete personajes, lo cual hacen. Los personajes resuelven el problema en un total de 13 pasos usando este método (aunque el número más pequeño necesario es en realidad nueve). Al final, la mente de todos se restaura con su cuerpo.
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Keeler quedó satisfecho con su resultado, pero no lo consideró lo suficientemente significativo como para publicarlo. Los matemáticos Ron Evans, Lihua Huang y Tuan Nguyen lo hicieron por él: en 2014 publicaron una versión mejorada de nueve páginas de su demostración en el American Mathematical Monthly. Keeler debería estar orgulloso de que Futurama logre presentar y demostrar un problema matemático sin resolver, sin perder ningún valor de entretenimiento.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización. Fue traducido de la versión original alemana con la ayuda de inteligencia artificial y revisado por nuestros editores.