en las redes sociales sobre un pasajero expulsado de un avión debido a un exceso de reservas. Si es un viajero frecuente, puede encontrarse con una situación similar. Si tienes la mala suerte, incluso podrías ser tú.
Esto puede parecer un error pero te puedo asegurar que no lo es. Vivimos en un mundo donde estos errores operativos, especialmente en la industria aérea, no ocurren a menos que sean intencionados.
Así que esto no es un error sino un riesgo asumido por la aerolínea para maximizar sus ganancias. En términos más elegantes, se trata de una compensación estadísticamente predecible y se basa en la ciencia de datos (o matemáticas puras). Esta fue una decisión basada en la probabilidad y las matemáticas para ganar potencialmente algunos millones adicionales.
En este artículo, llegaremos al fondo de esto y aprenderemos muchos conceptos valiosos sobre probabilidad, distribuciones y valor esperado (temas muy importantes para científicos de datos, analistas o cualquier persona interesada en análisis).
DS Airlines vende billetes adicionales
Me gustaría llamar a esta empresa DS Airlines. Venden 304 plazas para un vuelo con capacidad de 300 plazas. La probabilidad de que un pasajero se presente a un vuelo es del 95% según los datos históricos de vuelos.
Intentaremos responder a las siguientes preguntas:
¿Cuál es la probabilidad de que este vuelo tenga overbooking? Sucede si al menos 301 pasajeros se presentan al vuelo. ¿Cuál es el valor esperado del número de pasajeros con overbooking? ¿A qué se arriesga la aerolínea al vender más billetes que asientos disponibles?
Comenzamos asumiendo que los pasajeros son independientes unos de otros. La elección de un pasajero de presentarse al vuelo no tiene ningún impacto en las elecciones de los demás pasajeros. Entonces, podemos decir que la probabilidad de que se presente algún pasajero es de 0,95 (es decir, 95%).
Esta suposición no siempre se cumple porque puede haber familias o grupos volando juntos. Si una persona de una familia se presenta, entonces es mucho más probable que se presenten otros miembros de la familia que el 95%. Sin embargo, cuando entramos en esos detalles y condiciones, las matemáticas se convierten en una pesadilla con probabilidades condicionales complejas. Además, es posible que no siempre sepamos quiénes viajan juntos (por ejemplo, los miembros de un grupo pueden comprar billetes por separado).
Con el supuesto de pasajeros independientes, podemos decir que el número de pasajeros que se presentan al vuelo sigue una distribución binomial.
Distribución Binomial
La distribución binomial es un modelo de probabilidad utilizado para contar los éxitos en una serie de eventos repetidos, idénticos e independientes. El resultado de estos eventos debe ser binario (es decir, 1 o 0, presentarse o no presentarse al vuelo). Por lo tanto, se pueden modelar 304 pasajeros que se presentan al vuelo utilizando una distribución binomial de una serie de 304 eventos independientes donde la probabilidad de un evento es del 95%.
Para que un escenario califique para una distribución binomial, debe satisfacer las siguientes condiciones:
Resultado binario: Éxito (presentarse al vuelo) o fracaso (no presentarse). Eventos independientes: una persona que se presenta al vuelo no tiene impacto en los demás pasajeros. Misma probabilidad de éxito: es del 95% para todos los pasajeros. Número fijo de eventos: Es el número de boletos vendidos para este vuelo, que es 304.
La distribución binomial nos ayuda a responder la siguiente pregunta: si repito un experimento varias veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente k resultados exitosos?
Probabilidad de overbooking
Nuestro vuelo tendrá overbooking si se presentan más de 300 pasajeros, por lo que debemos calcular la probabilidad de k > 300 resultados exitosos.
Con distribución binomial, la probabilidad de un número k de resultados exitosos es:
n es el número total de eventos, que es 304 k es el número de éxitos p es la probabilidad de éxito del evento, que es 0,95. (1-p) es la probabilidad de que ocurra un evento de falla (que no se presente), que es 1 – 0,95 = 0,05.
Esta fórmula se basa en la independencia de los acontecimientos. En la teoría de la probabilidad, si A y B son independientes, la probabilidad de que ocurran ambos eventos es sus probabilidades individuales multiplicadas:
Para calcular la probabilidad de que aparezcan k=301 pasajeros, multiplicamos 301 0,95 y 5 0,05 juntos. Luego, lo multiplicamos con el combinador del principio. Se lee como “n elige k”, que cuenta de cuántas maneras diferentes seleccionamos a 301 personas de 304.
El siguiente dibujo facilita un poco la comprensión de la lógica detrás de la fórmula de probabilidad con distribución binomial. Para simplificar las cosas, ilustra la probabilidad de que 4 pasajeros se presenten en un vuelo con 5 boletos vendidos:
La primera fila supone que el pasajero 5 no se presenta, la segunda fila supone que el pasajero 2 no se presenta. Dado que estos eventos son independientes e idénticos, la probabilidad de que ocurran es la misma. Hay 5 combinaciones de 1 pasajero que no se presenta (es decir, 5 elige 4 es 5). Por lo tanto, la probabilidad de que 4 pasajeros se presenten al vuelo es 5 veces la probabilidad de que 1 pasajero no se presente.
Entonces, la respuesta a nuestra primera pregunta (¿Cuál es la probabilidad de que este vuelo tenga overbooking?) se puede calcular como P(X > 300), que es la suma de P(X=301) + P(X=302) + P(X=303) + P(X=304):
Los números al principio provienen de combinaciones:
Podemos seleccionar 301 pasajeros de un grupo de 304 pasajeros de 4.636.304 formas diferentes.
Entonces el resultado final es:
La probabilidad exacta de que el vuelo tenga sobreventa es de 0,000139, lo que se traduce en aproximadamente un 0,014% (o aproximadamente una probabilidad de 1 entre 7200).
Hemos encontrado la probabilidad de que este vuelo tenga overbooking. Como podemos ver en los cálculos anteriores, el vuelo está sobrevendido si se presentan 301, 302, 303 o 304 pasajeros (es decir, 1, 2, 3 o 4 pasajeros con sobreventa). Esto nos lleva a la segunda pregunta: ¿Cuál es el valor esperado del número de pasajeros con overbooking?
Valor esperado
A diferencia de lo que sugiere su nombre, el valor esperado no es el resultado que esperamos que ocurra en un solo ensayo. La respuesta a la pregunta “¿cuántos pasajeros espera que se presenten en el vuelo mañana?” no es el significado del valor esperado.
En cambio, es el promedio matemático de “largo plazo” de una variable aleatoria si repetimos el experimento una y otra vez. Por tanto, puede ser un número de coma flotante como 302,4 personas.
Para calcular el valor esperado, ponderamos cada resultado potencial según la probabilidad de que realmente suceda. Habrá al menos un pasajero con overbooking si 301, 302, 303 o 304 pasajeros se presentan al vuelo. Podemos usar las probabilidades que ya calculamos para estos eventos:
Si se presentan 301 pasajeros, hay 1 pasajero con overbooking. Si aparecen 302 pasajeros, hay 2 pasajeros con overbooking, y así sucesivamente. Por tanto, el valor esperado del número de pasajeros con overbooking es 0,000166.
Veámoslo a mayor escala. Si la aerolínea opera esta ruta de vuelo específica 10.000 veces, tendrá un total de 1,66 pasajeros con overbooking (en los 10.000 vuelos combinados).
Esto nos lleva a donde discutimos el valor comercial real, que es nuestra tercera pregunta: ¿Qué riesgo corre la aerolínea al vender más boletos que asientos disponibles?
De las matemáticas puras a los negocios reales
Adjuntemos algunos números realistas a nuestro ejemplo de 10,000 vuelos, suponiendo un precio promedio de boleto de $200:
Al vender 4 billetes adicionales en cada uno de esos 10.000 vuelos, la aerolínea genera 40.000 ventas de billetes adicionales. A 200 dólares cada uno, eso son 8.000.000 de dólares en ingresos que de otro modo se habrían ido volando como asientos vacíos.
De esos 10.000 vuelos, esperamos tener alrededor de 1,66 pasajeros con overbooking. Según las normas de protección al consumidor (como las del Departamento de Transporte de EE. UU.), si una aerolínea te rechaza involuntariamente, te debe una compensación en efectivo de hasta el 400% de tu tarifa, con un límite de 2.150 dólares. Incluso teniendo en cuenta otros gastos (por ejemplo, vales de hotel), el coste para la aerolínea en los 10.000 vuelos es inferior a 5.000 dólares.
Desde un punto de vista estrictamente financiero, arriesgar 5.000 dólares para asegurar 8 millones de dólares en ingresos adicionales es muy atractivo.
Sin embargo, la vida no es pura matemática. Volverse viral debido a una confrontación caótica en la puerta puede resultar en la pérdida de miles de dólares en la lealtad de los clientes. Dependiendo de la gravedad de estas relaciones públicas virales, las aerolíneas pueden incluso perder valor en el mercado de valores. Todos podemos estar de acuerdo en que sacar a la gente de los aviones es terrible para los negocios a largo plazo.
Las aerolíneas también tienen una solución para esto. Realizan “subastas inversas” a través de sus aplicaciones móviles o en la puerta de embarque. En lugar de asignar una computadora para que expulse a un pasajero al azar del vuelo, preguntan: “¿Quién quiere tomar el siguiente vuelo por un vale de 500 dólares? ¿800 dólares? ¿1.500 dólares?”.
El avión vuela al 100% de su capacidad, los ingresos permanecen en la cuenta bancaria de la aerolínea y nadie se vuelve viral en las redes sociales.