Tienes dos clavos en la pared y un cuadro con una cuerda en la parte posterior, que se puede apoyar fácilmente en los clavos para colgar el cuadro. Si quitas un clavo, la pintura seguirá colgada del otro. Pero los matemáticos dijeron: “Podemos empeorarlo”. En 1997, A. Spivak planteó el siguiente enigma: ¿Existe alguna forma de colgar el cuadro de manera que al quitar cualquiera de los clavos se caiga el cuadro? Desde entonces, los matemáticos han ampliado este concepto hasta convertirlo en una intrigante familia de problemas para colgar cuadros.
El científico informático retirado Tom Verhoeff exploró por primera vez estos problemas en un taller para un campamento de matemáticas de una escuela primaria, donde los campistas investigaron con cuerdas y mosquetones reales, pero también tradujeron el problema en símbolos.
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En 2012, los matemáticos publicaron una preimpresión que demuestra que existen soluciones para cualquier problema de colgar cuadros con k de n, donde n es el número de clavos y quitar cualquier k de clavos, pero no menos, hará que la pintura se caiga. Las soluciones conocidas, sin embargo, pueden implicar envolturas de hilos muy elaboradas. En el taller, Verhoeff y los participantes abordaron el problema 2 de 4, en el que un cuadro caerá si se quitan dos de cuatro clavos. Redujeron la longitud de la solución más corta conocida de 80 a 58 vueltas alrededor de las uñas.
Más tarde, Verhoeff lo redujo hasta los 18 años y, con la ayuda del entonces Ph.D. El estudiante Jens Heuseveldt y un programa de ordenador para comprobar todos los tapices más pequeños, hasta el mínimo absoluto de 16. Inicialmente, Verhoeff le mostró a Heuseveldt un programa de ordenador para resolver el problema en unas dos horas. “Luego le dije que mi programa podía resolverlo en dos segundos”, dice Heuseveldt. “Y ahora su programa es incluso más rápido que el mío”. Verhoeff publicó los resultados junto con las soluciones explícitas más breves conocidas para grandes familias de estos problemas en el servidor de preimpresión arXiv.org.
¿Por qué los matemáticos están tan interesados en colgar cuadros de formas complejas y terribles? Aunque el planteamiento del problema puede parecer tonto, la mecánica subyacente tiene conexiones profundas con la teoría de grupos, la teoría de nudos, la teoría de grafos y otras áreas de las matemáticas. En el caso 1 de n, por ejemplo, las soluciones pueden describirse como bucles dibujados en las aristas de un cubo de n dimensiones que pasan por cada esquina. Además, es posible encontrar tapices para cualquier conjunto “razonable” de reglas para que las pinturas se caigan; por ejemplo, no se puede exigir que quitar solo el clavo A haga que la pintura se caiga, pero quitar A y B la deje colgando. Estas reglas corresponden exactamente a las funciones booleanas monótonas, un tipo de función crucial en campos como la criptografía y la teoría de la votación.
Pero preguntar si el problema es útil es una pregunta equivocada, sostiene Verhoeff. “Para la humanidad en su conjunto, no sabemos hacia dónde se dirige nuestra nave espacial y qué necesitaremos para sobrevivir”, dice, “y el juego es una de las formas en que aprendemos”.
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