Puede parecer una creación de Lego de un niño, pero es una maravilla matemática. Los investigadores acaban de descubrir un mosaico tridimensional de “einstein”, una forma especial con capacidades únicas.
El hallazgo sigue a un anuncio importante de 2023, cuando un nuevo mosaico con forma de sombrero llamado “einstein” sacudió el mundo de las matemáticas populares. David Smith, un matemático aficionado, descubrió esa forma. En un artículo publicado más tarde en Combinatorial Theory, él y otros tres investigadores (Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan y Chaim Goodman-Strauss) demostraron que “el sombrero” fue el primer ejemplo conocido de un monotilo aperiódico bidimensional, también llamado “einstein” (ein Stein se traduce aproximadamente como “una forma” en alemán). En otras palabras, el sombrero es una forma que puede mosaico o cubrir infinitamente una superficie 2D sin crear nunca un patrón repetido. Estos sombreros de bloques de construcción se pueden colocar uno al lado del otro para crear formas cada vez más grandes que también se parecen al sombrero. Pero cada sombrero individual estará situado en un patrón no repetitivo que continúa cambiando sin importar cuán grande sea el mosaico general.
Ahora, un investigador ha llevado este concepto a la tercera dimensión con una forma 3D denominada monotile Chair44. Chair44 puede revestir infinitamente un espacio tridimensional cubriéndolo sin espacios ni formas superpuestas. Además, ese mosaico es aperiódico, lo que significa que el patrón nunca se repite. El hallazgo fue anunciado por Ioannis Tsiokos, director de Automorph, que describe como un laboratorio de investigación de IA.
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“Yo no soy matemático”, dice Tsiokos, el único autor humano de la preimpresión que anuncia Chair44. Tsiokos dice que utilizó el modelo de inteligencia artificial Claude Fable 5.1 de Anthropic para escribir el artículo y el modelo OpenAI ChatGPT-6 Astra para buscar un monotilo 3D, incluso para verificar que el monotilo Chair44 cumpliera los criterios para un einstein.
Chair44 no es exactamente el primer ejemplo de un monotilo en tres dimensiones, según Kaplan, un informático cuya investigación se centra en la intersección de las matemáticas y el arte. “Durante décadas, hemos conocido un monotilo aperiódico en 3D: una forma conocida como biprisma de Schmitt-Conway-Danzer”, dice Kaplan. Ese biprisma, sin embargo, una especie de poliedro convexo, “obedece la letra de la ley de aperiodicidad pero no el espíritu”, lo que lo hace débilmente aperiódico, señala. El descubrimiento de Chair44, por otro lado, culmina una búsqueda de décadas para encontrar un ejemplo sólido.
“Me complace que tengamos la solución a lo que, hasta hace poco, era un persistente problema abierto en la teoría del mosaico”, dice Kaplan. “También podemos esperar que este descubrimiento genere un entusiasmo renovado en las matemáticas de los mosaicos y anime a más jóvenes a jugar con la geometría”.
Propagar la silla
Para comprender la intuición geométrica detrás de la forma de la Silla44, dice Tsiokos, imaginemos un cubo grande compuesto por ocho cubos pequeños unidos entre sí. Luego, retira solo un cubo. “Ahora tienes una silla de siete cubos”, dice.
El siguiente objetivo en este viaje es crear una forma de “silla” más grande. Esa forma más grande se puede construir conectando cuatro de estas sillas más pequeñas. Para crear un mosaico completo, simplemente repita este proceso una y otra vez, hasta el infinito.
Una versión despiezada y ensamblada de Superchair44, compuesta por ocho iteraciones del monotile Chair44.
Sin embargo, a medida que construyes sillas cada vez más grandes, debes disponer las sillas más pequeñas en un patrón que no se repita para que el mosaico resultante sea aperiódico.
“El truco” para garantizar un mosaico aperiódico “es que es necesario hacer crecer la silla de tal manera que su comportamiento crezca con ella”, dice Tsiokos. “Para tener esta construcción iterativa y recursiva de sillas” es necesario asegurarse “de que haya algún tipo de cerradura con llave entre las sillas para que formen sillas cada vez más grandes” que estén hechas de un patrón de mosaico que no se repita.
Los expertos responden
Cuando se descubrió el monotilo del sombrero, fue tan elogiado que cinco investigadores organizaron una celebración Hatfest de dos días en la Universidad de Oxford. El tiempo dirá si Chair44 inspira su propia celebración. Por ahora, la recepción del hallazgo ha sido mixta, en gran parte debido al uso significativo de IA generativa por parte de Tsiokos en la prueba.
“Hubo mucho trabajo humano en lo que se incorporó a Astra para hacer esto”, dice Tsiokos.
Chaim Goodman-Strauss, uno de los matemáticos detrás de la prueba del sombrero y matemático de divulgación en el Museo Nacional de Matemáticas, escribió una preimpresión reaccionando a los resultados de Chair44. En él, describió el artículo de Tsiokos como si tuviera “las características de un trabajo de investigación impulsado por un LLM”, incluido “mucho soplo irrelevante que sacar adelante”. Goodman-Strauss es uno de al menos dos investigadores que han presentado sus propias pruebas escritas por humanos que demuestran que Chair44 es un monotilo aperiódico.
Los problemas con los mosaicos han sido “una gran parte de mi carrera”, dice Goodman-Strauss. Ha estudiado la forma que Tsiokos llama Silla44 durante más de 30 años, dice, y está acostumbrado a llamarla “la L”.
Para explicar cómo funciona el mosaico con la forma, Goodman-Strauss comienza con un bloque de construcción en forma de L. “Se puede hacer una versión más grande con ocho copias pequeñas”, dice. “El problema es que esa forma también puede hacer todo tipo de locuras”, dice. Pero como se puede construir un mosaico a partir de formas de L cada vez más grandes formadas por otras más pequeñas que se organizan sin repetir un patrón, cada mosaico existe dentro de lo que él llama “un supermosaico” que está dispuesto en una configuración única a partir de los mosaicos más pequeños.
Por lo tanto, Chair44 o L es un monotejido aperiódico en 3D.
Felix Flicker, físico teórico de la Universidad de Bristol en Inglaterra, fue uno de los organizadores del Hatfest. “Sé que muchos matemáticos no están contentos con la forma en que se descubrió el mosaico”, dice Flicker. “Lo positivo es que tenemos un nuevo resultado importante”. El anuncio se produce después de un verano en el que los modelos de IA han conquistado repetidamente muchos de los desafíos abiertos de larga data de las matemáticas, incluido uno de los siete Problemas del Premio del Milenio. “El riesgo es que nuestros trabajos se reduzcan a examinar los desechos de la IA en busca de pepitas de oro”, dice Flicker.
Flicker también escribió una preimpresión de Chair44, que según él tiene como objetivo “proporcionar la primera prueba escrita por humanos, legible por humanos y, por lo tanto, evaluable y defendible de que Chair44 es un monotilo fuertemente aperiódico”. (Incluso Flicker señaló en su artículo que usó a Claude para codificar y discutir en su estudio).
El artículo de Tsiokos Chair44 “es sólo el primer ejemplo de algo con lo que nos vamos a encontrar mucho” en términos de uso de IA generativa, afirma Goodman-Strauss. “Una de las grandes lecciones aquí en la era de los LLM es que debemos recordar todos los [math] Preguntas que hicimos antes y que eran difíciles de abordar”. Quizás algunos de esos problemas puedan resolverse ahora mediante el uso de LLM como herramienta de los matemáticos, aunque esas tecnologías no sustituyen al razonamiento humano, señala.
El uso de la IA generativa para encontrar nuevos resultados potenciales de investigación matemática no va a desaparecer. “Es sólo que tenemos que aceptar lo que se espera en términos de comunicación” de esos resultados, dice Goodman-Strauss.