Una tarde ociosa del pasado mes de octubre, Mehtaab Sawhney retomó un viejo pasatiempo. Comenzó a examinar el sitio web erdosproblems.com, un registro actualizado de las 1.179 conjeturas dejadas por el excéntrico e infatigable matemático del siglo XX Paul Erdős.
Sawhney, matemático de la Universidad de Columbia, siempre había estado interesado en los problemas de Erdö, que van desde curiosidades menores hasta problemas centrales abiertos en teoría de números y combinatoria.
Se topó con un problema, el número 339, que parecía demasiado sencillo para seguir “abierto” casi dos décadas después de la muerte de Erdös. Había visto conjeturas similares antes. “Había una serie de problemas que parecían demasiado abordables”, dice Sawhney. En el pasado, había recurrido a Google. “Y luego, eventualmente, con suficiente búsqueda, encontraría una referencia a una solución”.
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Pero recientemente había estado jugando con ChatGPT como una nueva forma de consultar la literatura. “Decidí conectarlo y luego me dijo que había una referencia”, dice Sawhney.
Le fue tan bien que contactó a un colega matemático, Mark Sellke, quien recientemente había tomado una licencia de un puesto académico para trabajar para OpenAI. Juntos impulsaron a ChatGPT a desenterrar soluciones perdidas a otros nueve problemas de Erdō, además de soluciones parciales a 11 más.
Desde entonces, la actividad del sitio web se ha disparado. Según una página web iniciada por el matemático Terence Tao, las herramientas de inteligencia artificial han ayudado a transferir alrededor de 100 problemas de Erd&odblac a la columna “resueltos” desde octubre. La mayor parte de esta ayuda ha sido una especie de búsqueda bibliográfica mejorada, como lo fue durante el éxito inicial de Sawhney. Pero en muchos casos, los LLM han reconstruido teoremas existentes (a menudo en diálogo con sus impulsores matemáticos) para formar soluciones nuevas o mejoradas a estos problemas específicos. En al menos dos casos, un LLM incluso pudo construir una prueba original y válida de una que nunca se había resuelto, con poca participación de un humano.
La historia de los problemas de Erdö es sólo parte de un cambio radical que ha tenido lugar en los últimos meses. Los LLM se han vuelto incomparables en su capacidad para explorar y sintetizar la literatura sobre cualquier tema matemático, por esotérico que sea. También pueden guiar a los matemáticos en activo, ayudándoles a trazar un camino para demostrar un resultado mayor y demostrar pequeñas partes del mismo para ahorrar tiempo. Esta asistencia a menudo está equivocada y plagada de agujeros que requieren ojos expertos para descubrirlos. Pero los matemáticos pueden ver su potencial.
“Ahora son útiles asistentes de investigación”, dice Andrew Sutherland, matemático del Instituto Tecnológico de Massachusetts. “Los matemáticos cuya única experiencia con LLM es con modelos anteriores aún no aprecian esto del todo”.
La IA todavía está lejos de poder resolver importantes problemas abiertos en matemáticas, y mucho menos reemplazar a los matemáticos. A pesar de las ansiedades generalizadas expresadas por los estudiantes de posgrado durante las pausas para el café de las conferencias y en los foros de mensajes en línea, ninguna revista importante de matemáticas ha publicado una prueba revisada por pares que mencione el uso de LLM. Pero eso, al menos, podría cambiar este año.
Evaluación del estado de las cosas
Los problemas de Erdő son un “punto de referencia” útil para LLM porque hay muchos de ellos. Y han demostrado ser un escaparate distintivo de la creciente fuerza de la tecnología como motor de búsqueda matemática.
“Los problemas de Erdö encajan en una categoría propia”, dice Sutherland. “En su mayor parte, son problemas individuales cuya solución no necesariamente tendrá implicaciones más amplias”. Como resultado, resolver un problema de Erdö más oscuro es una hazaña que a menudo pasa desapercibida. Rara vez vale la pena enviarlo a una revista y rara vez se cita en trabajos posteriores.
Nada de eso le importa a un LLM. Puede descubrir fácilmente artículos preimpresos desconocidos incluso para los expertos: pruebas que a veces no hacen referencia en absoluto a los de Erd&odblac. Gemini de Google encontró un comentario casual en lo profundo de un artículo de 1981 que, sin saberlo, resolvió el problema #1089 de Erd. Pero lo más sorprendente es la capacidad de los LLM para hacer sugerencias matemáticas significativas.
“Creo que es un error decir que es ‘sólo un motor de búsqueda'”, dice Sutherland. “Tuve una o dos interacciones en las que realmente me indicaron un resultado que me permitió demostrar algo en lo que estaba estancado”.
Experiencias similares motivaron al equipo detrás de First Proof, un nuevo intento de probar las habilidades matemáticas de la IA. Once destacados matemáticos seleccionaron fragmentos discretos de pruebas que habían completado pero que aún no habían publicado y los plantearon como un desafío a la IA el jueves pasado. Los problemas cubren una amplia gama de áreas y varían en complejidad. “Un sistema que pudiera resolverlos todos sería muy útil para un matemático profesional”, afirma Daniel Litt, matemático de la Universidad de Toronto.
El equipo dará LLM hasta el viernes para producir pruebas de los 10 problemas. El límite de tiempo de una semana se eligió cuidadosamente, según Lauren Williams, matemática de la Universidad de Harvard que forma parte del equipo de First Proof. Es menos tiempo del que le llevó a ella y a un coautor demostrar su propio problema, por lo que probablemente no sea suficiente para los matemáticos humanos sin la ayuda de la IA.
El lunes, los correos electrónicos y las páginas de redes sociales de Williams y sus colaboradores se vieron inundados de supuestas soluciones. “Hay mucho entusiasmo, lo cual es realmente genial de ver”, afirma. Un servidor de Discord que alberga debates sobre el desafío ha conseguido rápidamente cientos de miembros, muchos de los cuales llevan supuestas pruebas de ChatGPT y otros LLM.
Ya han surgido problemas familiares. First Proof estaba destinado a ser más que una búsqueda bibliográfica: el equipo probó sus preguntas en LLM para asegurarse de que no existieran respuestas en sus datos de capacitación. Pero rápidamente surgió una solución en línea a un problema de parte de Martin Hairer, ganador de la Medalla Fields 2014, el honor más alto de las matemáticas, y uno de los miembros del equipo de First Proof. Cuando identificó el problema, había pasado por alto una prueba parcial en las entrañas de su sitio web personal que fue archivada por Wayback Machine.
Y los concursantes que carecen de la experiencia del equipo en estos nichos matemáticos particulares no están seguros de qué hacer con la avalancha de afirmaciones seguras que sus LLM siguen escupiendo; depende del equipo de First Proof verificar cada presentación. “La verificación es un problema porque el 90 por ciento de las veces dará con una solución”, dice Williams. “Escribirá algo y sonará seguro al respecto”.
Litt ha examinado muchas de las “pruebas” que circulan esta semana y ha descubierto que son en gran medida falsas, aunque ha visto algunas que pueden ser correctas. “Es absolutamente impresionante que los modelos a veces sean capaces de generar respuestas correctas a algunos de los problemas”, afirma. “Pero están generando una enorme cantidad de basura”. Incluso el sábado, puede que no esté claro si los LLM ganaron o perdieron.
Un año fundamental
Independientemente del resultado de la Primera Prueba, el último mes ha traído muchas señales de que los LLM pronto serán parte de las cajas de herramientas de muchos matemáticos.
En enero, Ravi Vakil, actual presidente de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas, publicó una preimpresión con otros dos matemáticos y dos investigadores de Google en la que colaboraron para resolver un problema matemático relacionado con su investigación. Los autores documentan cómo el LLM de Google les ayudó a obtener una prueba. “Realmente nos llevó a nuevas ideas”, dice Vakil, que quería “tener una idea de cómo los matemáticos deberían hacer matemáticas razonablemente en cinco años”.
Aún así, los LLM aún tienen que aportar una prueba que generaría expectación si viniera de un ser humano. “Cada resultado individual ha sido sobrevalorado enormemente en ciertos rincones de Internet”, dice Litt. Carlo Pagano, que colaboró con el equipo DeepMind de Google para trabajar en varios problemas de Erdò utilizando Gemini en una investigación publicada como preimpresión, también espera obtener un punto de referencia más sustancial. “Los problemas del Erdö no son grandes en cierto sentido”, afirma. “Es importante hacer esto también en problemas que sabemos que son de interés más amplio”.
Pero varios matemáticos predijeron que 2026 será el año en el que los resultados de este tipo, en los que la IA es un contribuyente declarado, pasen por primera vez la revisión por pares en las principales revistas de matemáticas.
“Creo que va a cambiar de tema”, dice Sawhney. “Y eso es algo realmente emocionante”. Dado ese cambio, Sawhney tomó una licencia académica de Columbia para trabajar para OpenAI. Esta semana Pagano inició un puesto conjunto en Google DeepMind. “Está claro que esto cambiará la forma en que hacemos matemáticas”, afirma, “por lo que es mejor empezar temprano que tarde”.