Considere el almuerzo. Quizás un buen sándwich de jamón. Con un cuchillo, corta cuidadosamente por la mitad el jamón y sus dos rebanadas de pan. ¿Pero qué pasa si te resbalas? Vaya, el jamón ahora reposa doblado bajo un plato volteado, con una rebanada de pan en el suelo y la otra pegada al techo. Aquí hay un poco de consuelo: la geometría garantiza que un solo corte recto, tal vez usando un machete del tamaño de una habitación, pueda dividir perfectamente las tres piezas de su almuerzo, dejando exactamente la mitad del jamón y la mitad de cada rebanada de pan a cada lado de la masa. cortar. Esto se debe a que el “teorema del sándwich de jamón” de las matemáticas promete que para tres objetos cualesquiera (potencialmente asimétricos) en cualquier orientación, siempre hay algún corte recto que los biseca a todos simultáneamente. Este hecho tiene algunas implicaciones extrañas, así como algunas aleccionadoras en lo que se refiere a manipulación en la política.
El teorema también se generaliza a otras dimensiones. Una formulación más matemática dice que norte objetos en norte-el espacio dimensional puede ser bisectado simultáneamente por un (norte – 1)–corte dimensional. Ese sándwich de jamón es un poco complicado, pero lo haremos más digerible. En una hoja de papel bidimensional, puedes dibujar cualquier cosa. dos formas que desees, y siempre habrá una línea recta (unidimensional) que corte ambas perfectamente por la mitad. Para garantizar un corte igual para tres objetos, necesitamos graduarnos en tres dimensiones y cortarlos con un plano bidimensional: piense en ese machete que destruye una habitación como si deslizara un fino trozo de papel entre las dos mitades de la habitación. En tres dimensiones, el machete tiene tres grados de libertad: puedes escanearlo hacia adelante y hacia atrás por la habitación, luego detenerlo y girarlo en diferentes ángulos, y entonces también Mueva el machete de lado a lado (como cuando las zanahorias a menudo se cortan de forma oblicua y no recta).
Si puedes imaginar un sándwich de jamón en cuatro dimensiones, como matemáticos Si quieres hacer, también puedes dividir un cuarto ingrediente con un corte tridimensional.
Sobre el apoyo al periodismo científico
Si está disfrutando este artículo, considere apoyar nuestro periodismo galardonado al suscribiéndose. Al comprar una suscripción, ayudas a garantizar el futuro de historias impactantes sobre los descubrimientos y las ideas que dan forma a nuestro mundo actual.
Para tener una idea de cómo demostrar el teorema del sándwich de jamón, considere una versión simplificada: dos formas en dos dimensiones donde una de ellas es un círculo y la otra es una masa. Cada línea que pasa por el centro de un círculo lo biseca (las formas asimétricas no necesariamente tienen un centro como este; estamos usando un círculo para hacernos la vida más fácil por ahora). ¿Cómo sabemos que una de estas líneas también divide la mancha? Elige una línea que pase por el centro del círculo y que no cruce la masa en absoluto. Como se muestra en el primer panel a continuación, el 100 por ciento de la mancha se encuentra debajo de la línea. Ahora gira lentamente la línea alrededor del centro del círculo como un molino de viento. Al final, rompe la masa, la atraviesa cada vez más y luego pasa por debajo, donde el cero por ciento de la masa se encuentra debajo de la línea. De este proceso podemos deducir que debe haber un momento en el que exactamente el 50 por ciento de la masa se encuentre debajo de la línea. Estamos pasando gradualmente del 100 por ciento hacia abajo continuamente al cero por ciento, por lo que debemos pasar cada cantidad intermedia, lo que significa que en algún momento estamos exactamente en el 50 por ciento (fanáticos del cálculo podría reconocer esto como el teorema del valor intermedio).
Este argumento prueba que hay alguna línea que simultáneamente biseca nuestras formas (aunque no nos dice dónde está esa línea). Se basa en el hecho conveniente de que cada línea que pasa por el centro de un círculo lo biseca, por lo que podemos rotar libremente nuestra línea y concentrarnos en la mancha sin preocuparnos de descuidar el círculo. Dos formas asimétricas requieren una versión más sutil de nuestra técnica del molino de viento, y la extensión a tres dimensiones implica argumentos más sofisticados.
Curiosamente, el teorema es válido incluso si el jamón y el pan se parten en varios trozos. Use un cortador de galletas para perforar muñecos de nieve de jamón y hornee el pan hasta obtener picatostes; Siempre existirá un corte perfectamente igual (cada muñeco de nieve o crouton no necesariamente se reducirá a la mitad, pero sí la cantidad total de jamón y pan). Llevando esta idea al extremo, podemos hacer una afirmación similar sobre los puntos. Distribuya su papel con puntos rojos y verdes, y siempre habrá una línea recta con exactamente la mitad de los rojos y la mitad de los verdes a cada lado. Esta versión requiere un pequeño tecnicismo: los puntos que se encuentran exactamente en la línea divisoria pueden contarse en ambos lados o no contarse en absoluto (por ejemplo, si tiene un número impar de rojos entonces nunca podrías dividirlos equitativamente sin esta advertencia).
Contempla las extrañas implicaciones aquí. Se puede trazar una línea a lo largo de Estados Unidos de manera que exactamente la mitad de los zorrillos del país y la mitad de sus barras Twix se encuentran por encima de la línea. Aunque los zorrillos y las barras Twix no son en realidad puntos únicos, bien podrían serlo en comparación con el vasto territorio estadounidense. Para elevar las cosas a una dimensión, puedes dibujar un círculo en la Tierra (al cortar un globo se obtiene una sección transversal circular) que contiene la mitad de las rocas del mundo, la mitad de su papel y la mitad de sus tijeras, o cualquier otra categoría estrafalaria que desees. .
Como ya hemos mencionado, el teorema del sándwich de jamón tiene consecuencias mucho menos caprichosas para el perenne problema de la manipulación en política. En Estados Unidos, los gobiernos estatales dividen sus estados en distritos electorales y cada distrito elige a un miembro de la Cámara de Representantes. La manipulación es la práctica de delimitar deliberadamente los límites de estos distritos para obtener beneficios políticos. Para un ejemplo simplificado, imaginemos un estado con una población de 80 personas. El 75 por ciento de ellos (60 personas) está a favor del partido morado y el 25 por ciento (20 personas) prefiere el partido amarillo. El estado se dividirá en cuatro distritos de 20 habitantes cada uno. Parece justo que tres de esos distritos (75 por ciento) pasen a morado y el otro a amarillo para que la representación del estado en el Congreso concuerde con las preferencias de la población. Sin embargo, un cartógrafo astuto podría garabatear los límites de los distritos de tal manera que cada distrito contenga 15 votantes morados y cinco votantes amarillos. De esta manera, los morados tendrían la mayoría en todos los distritos y el 100 por ciento de la representación del estado provendría del partido morado en lugar del 75 por ciento. De hecho, con suficientes votantes, cualquier La ventaja porcentual que un partido tiene sobre otro (por ejemplo, 50,01 por ciento de los morados frente a 49,99 por ciento de los amarillos) puede aprovecharse para ganar. cada distrito; simplemente haga que el 50,01 por ciento de cada distrito apoye al partido mayoritario.
Por supuesto, esos distritos parecen muy artificiales. Una forma aparentemente obvia de limitar la manipulación sería imponer restricciones a las formas de los distritos y no permitir las monstruosidades con tentáculos que vemos a menudo en los mapas electorales estadounidenses. De hecho, muchos estados imponen reglas como ésta. Si bien podría parecer que exigir que los distritos tengan formas “normales” contribuiría en gran medida a mejorar el problema, inteligente investigadores He aplicado cierto teorema geométrico para mostrar que eso es un montón de tonterías. Volvamos a nuestro ejemplo: 80 votantes, de los cuales 60 son partidarios de los morados y 20 son partidarios de los amarillos. El teorema del sándwich de jamón nos dice que no importa cómo se distribuyan, podemos trazar una línea recta con exactamente la mitad de los votantes morados y la mitad de los votantes amarillos en cada lado (30 morados y 10 amarillos en ambos lados). Ahora trate cada lado del corte como su propio problema de sándwich de jamón, dividiendo cada mitad con su propia línea recta para que cada región resultante contenga 15 morados y cinco amarillos. El morado ahora tiene la misma ventaja manipulada que antes (ganan en todos los distritos), ¡pero las regiones resultantes son todas simples con límites en línea recta!
La subdivisión repetida de sándwich de jamón siempre producirá distritos relativamente simples (en lenguaje matemático, son polígonos convexos, excepto cuando potencialmente comparten un límite con una frontera estatal existente). Esto significa que las regulaciones básicas sobre la forma de los distritos electorales probablemente no puedan impedir ni siquiera los peores casos de manipulación. Aunque las matemáticas y la política pueden parecer campos distantes, una ociosa desviación geométrica nos enseñó que la solución que suena más natural para la manipulación no es suficiente.