Después del thriller de misterio repleto de estrellas El número 23 debutó en los cines en 2007, mucha gente se convenció de que veían el número del mismo nombre por todas partes. Yo estaba en la escuela en ese momento y algunos de mis compañeros se estremecían cada vez que aparecía el número 23 en cualquier contexto. Otras personas quedaron fascinadas por esta forma de numerología porque tan pronto como prestas más atención a una determinada cosa, incluido un número,tienes la sensación de que lo ves con demasiada frecuencia ser pura coincidencia.
Durante mucho tiempo, la gente asumió que el difunto matemático John McKay podría haber sido víctima de este mismo fenómeno, conocido como la “ilusión de frecuencia”, o la Fenómeno Baader-Meinhof. En el caso de McKay, el número que capturó su imaginación fue 196.884.
No parece demasiado sorprendente que un número de dos dígitos como el 23 aparezca repetidamente. Pero, ¿lo haría una cifra de seis dígitos? McKay se topó con este número por casualidad en 1978 mientras revisaba un artículo sobre un campo matemático que no era su especialidad. Trabajaba en geometría y estudiaba la simetría de las figuras. Ese día, sin embargo, estaba mirando los resultados de teoría de los númerosque trata de las propiedades de números enteros como números primos. Encontró una secuencia de números que comenzaba con el valor 196.884.
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Esta cifra le resultó familiar a McKay. Anteriormente había trabajado en una estructura matemática (todavía hipotética en ese momento)conocido como el monstruo. Esta extraña estructura algebraica pretendía describir las simetrías de un objeto geométrico que vive en 196.883 dimensiones (sólo una menos que el número 196.884). Y como un punto unidimensional cumple todas las simetrías, el monstruo también puede describir sus propiedades simétricas. Así que McKay volvió a encontrar el número 196.884 de forma extraordinaria. Añadió las dos primeras dimensiones en las que los matemáticos creían que se aplicaba la simetría del monstruo: 196.883 + 1 = 196.884.
¿Suena exagerado? Otros también pensaron lo mismo. Los expertos prestaron poca atención al resultado de McKay. Después de todo, una estructura como el monstruo contiene una cantidad de números, al igual que la consecuencia de la teoría de números que McKay había asociado con ella. “Si tienes una gran cantidad de números, entonces algunos de ellos serán más o menos iguales entre sí simplemente por coincidencia”, dijo el matemático Richard Borcherds, quien ha hecho importantes contribuciones en este campo. en un vídeo explicativo de YouTube.
Pero McKay no podía evitar la sensación de que dos campos matemáticos extremadamente diferentes, la geometría y la teoría de números, podían estar conectados. Según los informes, incluso usaba camisetas con la inscripción “196.883 + 1 = 196.884” en las conferencias.
¿Completa locura o un golpe de genialidad?
Poco tiempo después, el matemático John Thompson se dio cuenta de que, después de todo, podría haber algo de razón en las sospechas de McKay. Logró vincular la siguiente dimensión superior, en la que un objeto sigue las simetrías del monstruo, con el siguiente miembro de la misteriosa secuencia de números de la teoría de números. La dimensión es 21.296.876. Los valores difieren, pero si sumas todas las dimensiones del monstruo como antes (1 + 196,883 + 21,296,876), el resultado es 21,493,760.
Eso fue sorprendente porque, como recordarán, cuando McKay detectó por primera vez 196.884, estaba observando una secuencia especial en teoría de números. El segundo número de esa secuencia es 21.493.760: el resultado de Thompson. En otras palabras, empezó a parecer que realmente podía haber un vínculo entre dos áreas de las matemáticas aparentemente no relacionadas.
En este punto, la comunidad matemática empezó a sentir curiosidad. Tal vez McKay tuviera razón después de todo, aunque eso sonara totalmente absurdo. ¿Qué podría tener que ver esta extraña estructura, que describía simetrías de objetos inimaginables y que ni siquiera había sido completamente construida, con la teoría de números?
En 1979, aumentaba la evidencia de que otros números y dimensiones parecían seguir este patrón inesperado. Los matemáticos John Conway y Simon Norton finalmente publicaron un artículo titulado “Monstrous Moonshine”, en el que plantearon la conjetura de una conexión entre la geometría y la teoría de números. “Lo llamaron luz de luna porque parecía muy descabellado”, dijo el teórico de números Don Zagier del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn, Alemania. a Revista Quanta en 2015.
Y, de hecho, probablemente había muy pocas esperanzas de probar alguna vez esta conjetura ilegal. Aparte de que no había ningún indicio de que las dos áreas matemáticas distantes estuvieran conectadas, ni siquiera estaba completamente claro si el monstruo realmente existía.
El monstruo a la luz de la luna
El monstruo fue una predicción teórica de la teoría de grupos, un área de la geometría que se ocupa de las propiedades simétricas de los objetos. En la década de 1970, los matemáticos comenzaron a crear una especie de tabla periódica de grupos: querían encontrar los “átomos” de simetrías finitas. Según esta forma de pensar, todo grupo finito puede representarse por una combinación de estos átomos. Después de décadas de investigación, los geómetras finalmente parecían haber alcanzado su objetivo. A diferencia de los elementos químicos, hay un número infinito de “grupos simples finitos”, pero casi todos se pueden dividir en 18 categorías, cuya disposición recuerda a la tabla periódica. Además, los expertos encontraron un total de 26 outsiders que no encajan en estas 18 clases.
El primero de estos valores atípicos fue el “monstruo”.que predijeron los matemáticos Bernd Fischer y Robert Griess en 1973. El nombre proviene del gran tamaño de este grupo: contiene más de 8 x 1053simetrías. A modo de comparación, el grupo de simetría de un dado “D20” de 20 caras (un icosaedro) contiene 60 simetrías, lo que significa que se pueden realizar 60 transformaciones posibles (rotaciones o reflexiones) sin cambiar la orientación del D20.
Debido a su gran tamaño, el monstruo planteó enormes desafíos a los matemáticos. “La mayoría de la gente pensó que sería inútil construirlo, ya que grupos mucho, mucho más pequeños requerían construcciones por computadora en ese momento”, explicó Borcherds en su video de YouTube. Mientras tanto, incluso los ordenadores más potentes luchan con una estructura de 8 x 1053 elementos.
Sin embargo, este pronóstico pesimista finalmente resultó equivocado. En 1980 Griess construyó el monstruo y así demostró su existencia—sin la ayuda de computadoras.
Una función sinusoidal en los esteroides
La teoría de números trata principalmente de números enteros, lo que parece bastante simple a primera vista. Pero para investigar las relaciones entre ellos, los expertos recurren a conceptos complicados, como las llamadas formas modulares. Estas son funciones F(z) que son extremadamente simétricos. Al igual que con la función seno, sólo necesitas conocer una sección específica de una forma modular para saber cómo se ve en el resto.
“Las formas modulares son algo así como funciones trigonométricas, pero con esteroides”, el matemático Ken Ono dijo cuantos Revista.
Sin embargo, juegan un papel extremadamente importante en las matemáticas. Andrew Wiles, de la Universidad de Oxford, los utilizó, por ejemplo, para demostrar el teorema de Fermat, y Maryna Viazovska, del Instituto Federal Suizo de Tecnología en Lausana, los utilizó para encontrar la disposición de empaquetamiento de esferas más densa en ocho dimensiones espaciales. Sin embargo, debido a que las formas modulares son tan complicadas, a menudo se aproximan mediante un polinomio infinitamente largo, como por ejemplo:
F(q) = (1⁄q) + 744 + 19.688q + 21.493.760q2 + 864.299.970q3 +…
Los prefactores delante de la variable. q formar una secuencia numérica con propiedades interesantes desde una perspectiva teórica de números. McKay asoció esta secuencia de números con el monstruo.
Un vínculo sorprendente
Borcherds escuchó por primera vez sobre la conjetura del alcohol ilegal en la década de 1980. “Esto me dejó completamente impresionado” recordó en una entrevista con el YouTuber Curt Jaimungal. Borcherds estaba sentado en una de las conferencias de Conway en ese momento y aprendió que la teoría de números y la teoría de grupos podían estar misteriosamente conectadas. El sujeto nunca lo soltó. Comenzó a buscar la conexión sospechosa hasta que la encontró. En 1992 publicó su innovador resultado., por lo que recibió la Medalla Fields, uno de los más altos premios en matemáticas, seis años después. Su conclusión: un área altamente especulativa de la física, la teoría de cuerdas, podría proporcionar la pieza que faltaba en el rompecabezas entre el monstruo y la secuencia de números.
Teoria de las cuerdas Intenta unir las cuatro fuerzas fundamentales de la física (electromagnetismo, fuerzas nucleares fuertes y débiles y gravedad). En lugar de depender de partículas u ondas para formar los componentes básicos del universo, como en las teorías convencionales, la teoría de cuerdas implica estructuras unidimensionales: hilos diminutos vibran como las cuerdas de un instrumento y, por lo tanto, generan las partículas e interacciones familiares que conocemos. percibir en el universo.
Borcherds sabía que la teoría de cuerdas se basaba en muchos principios matemáticos relacionados con las simetrías. Resulta que los módulos también influyen. Cuando los diminutos hilos se cierran y se mueven tambaleantes a través del espacio-tiempo, su trayectoria forma un tubo bidimensional. Esta estructura tiene la misma simetría que las formas modulares, independientemente de cómo oscile el hilo.
El tipo de teoría de cuerdas que investigó Borcherds sólo puede formularse matemáticamente en 25 dimensiones espaciales. Sin embargo, como nuestro mundo consta sólo de tres dimensiones espaciales visibles, los teóricos de cuerdas suponen que las 22 dimensiones restantes están enrolladas en pequeñas esferas o toros con forma de rosquilla. Pero la física depende de su forma exacta: una teoría de cuerdas en la que las dimensiones se enrollan como cilindros proporciona predicciones diferentes que una en la que forman una esfera. Para describir las partículas y sus interacciones de una manera que se ajuste a nuestro mundo, los físicos tienen que encontrar la “compactación” adecuada en sus cálculos.
Borcherds enrolló 24 dimensiones en una superficie de donut de 24 dimensiones y descubrió que la teoría de cuerdas asociada tenía la simetría del monstruo. El hecho de que sólo quedara una dimensión espacial libre no le molestaba. Después de todo, estaba interesado en las propiedades matemáticas del modelo y no en una teoría física que describiera nuestro mundo.
En este mundo construido, los hilos oscilan a lo largo del donut de 24 dimensiones. Las dimensiones del monstruo cuentan todas las formas en que un hilo puede vibrar con una determinada energía. Entonces, en la energía más baja, solo vibra de una manera; en la siguiente energía más alta, ya hay 196.883 posibilidades diferentes. Y la huella que deja el hilo tiene la simetría de una forma modular.
Borcherds demostró así la conexión entre el grupo de monstruos y una forma modular. Y este no sería el único caso: mientras tanto, los matemáticos han podido relacionar otros grupos finitos con otras formas modulares—Y allí también la teoría de cuerdas proporciona el vínculo. Entonces, incluso si resulta que la teoría especulativa no es adecuada para describir nuestro universo, aún puede ayudarnos a descubrir mundos matemáticos completamente nuevos.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.