A primera vista, el problema parece ridículamente sencillo. Y, sin embargo, los expertos llevan décadas buscando en vano una solución. Según el matemático Jeffrey Lagarias, El teórico de números Shizuo Kakutani le dijo que durante la guerra fría, “durante aproximadamente un mes, todos en Yale [University] Trabajé en ello, sin resultado. Un fenómeno similar ocurrió cuando lo mencioné en la Universidad de Chicago. Se bromeó diciendo que este problema era parte de una conspiración para frenar la investigación matemática en Estados Unidos”.
La conjetura de Collatz (el desconcertante enigma que describió Kakutani) es uno de esos problemas supuestamente simples en los que la gente tiende a perderse. Por esta razón, los profesores experimentados a menudo advierten a sus estudiantes ambiciosos que no se empantanen en él y pierdan de vista su investigación real. .
La conjetura en sí se puede formular de forma tan sencilla que incluso los estudiantes de primaria la entienden. Toma un número natural. Si es impar, multiplícalo por 3 y suma 1; si es par dividirlo entre 2. Proceder de la misma manera con el resultado X: si X es impar, calculas 3X + 1; de lo contrario calcular X / 2. Repite estas instrucciones tantas veces como puedas y, según la conjetura, siempre acabarás con el número 1.
Sobre el apoyo al periodismo científico
Si está disfrutando este artículo, considere apoyar nuestro periodismo galardonado al suscribiéndose. Al comprar una suscripción, ayudas a garantizar el futuro de historias impactantes sobre los descubrimientos y las ideas que dan forma a nuestro mundo actual.
Por ejemplo: si empiezas con 5, tienes que calcular 5 x 3 + 1, lo que da como resultado 16. Como 16 es un número par, tienes que dividirlo por la mitad, lo que te da 8. Entonces 8/2 = 4, lo que , cuando se divide por 2, es 2 y 2/2 = 1. El proceso de cálculo iterativo te lleva al final después de cinco pasos.
Por supuesto, también puedes seguir calculando con 1, lo que te da 4, luego 2 y luego 1 nuevamente. La regla de cálculo te lleva a un bucle ineludible. Por lo tanto, 1 se considera el punto final del procedimiento.
Después de cálculos iterativos, puede comenzar con cualquiera de los números anteriores y finalmente llegará a 1.
Es realmente divertido repasar la regla de cálculo iterativo para diferentes números y observar las secuencias resultantes. Si comienzas con 6: 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. O 42: 42 → 21 → 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. No importa qué número comienza, siempre parece terminar con 1. Hay algunos números, como 27, donde lleva bastante tiempo (27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 → 274 → …), pero hasta ahora el resultado siempre ha sido 1. (Es cierto que hay que tener paciencia con el número inicial 27, que requiere 111 pasos.)
Pero, curiosamente, todavía no hay ninguna prueba matemática de que la conjetura de Collatz sea cierta. Y esa ausencia ha desconcertado a los matemáticos durante años.
El origen de la conjetura de Collatz es incierto, por lo que esta hipótesis recibe muchos nombres diferentes. Los expertos hablan del problema de Siracusa, del problema de Ulam, del 3norte + 1 conjetura, el algoritmo de Hasse o el problema de Kakutani.
El matemático alemán Lothar Collatz se interesó por las funciones iterativas durante sus estudios de matemáticas y las investigó. A principios de la década de 1930 también publicó artículos especializados sobre el tema., pero la regla de cálculo explícita para el problema que lleva su nombre no estaba entre ellas. En las décadas de 1950 y 1960, la conjetura de Collatz finalmente ganó notoriedad cuando los matemáticos Helmut Hasse y Shizuo Kakutani, entre otros, la difundieron en varias universidades, incluida la Universidad de Syracuse.
Como un canto de sirena, esta conjetura aparentemente simple cautivó a los expertos. Durante décadas han estado buscando pruebas de que después de repetir el procedimiento de Collatz un número finito de veces, se termina con 1. La razón de esta persistencia no es sólo la simplicidad del problema: la conjetura de Collatz está relacionada con otras cuestiones importantes en matemáticas. Por ejemplo, estas funciones iterativas aparecen en sistemas dinámicos, como los modelos que describen las órbitas de los planetas. La conjetura también está relacionada con la conjetura de Riemann, uno de los problemas más antiguos de la teoría de números.
Evidencia empírica de la conjetura de Collatz
En 2019 y 2020, los investigadores comprobaron todos los números inferiores a 2.68o alrededor de 3 x 1020 números en la secuencia, en un proyecto colaborativo de informática. Todos los números de ese conjunto cumplen la conjetura de Collatz como valores iniciales. Pero eso no significa que no haya un caso atípico en alguna parte. Podría haber un valor inicial que, después de repetidos procedimientos de Collatz, produzca valores cada vez mayores que eventualmente lleguen al infinito. Sin embargo, este escenario parece improbable si el problema se examina estadísticamente.
Un número impar norte se aumenta a 3norte + 1 después del primer paso de la iteración, pero el resultado es inevitablemente uniforme y, por tanto, se reduce a la mitad en el siguiente paso. En la mitad de los casos, la reducción a la mitad produce un número impar, por lo que hay que aumentarlo a 3.norte + 1 nuevamente, con lo cual se obtiene nuevamente un resultado parejo. Sin embargo, si el resultado del segundo paso vuelve a ser par, tendrás que dividir el nuevo número por 2 dos veces en cada cuarto caso. En cada octavo caso, debes dividirlo por 2 tres veces, y así sucesivamente.
Para evaluar el comportamiento a largo plazo de esta secuencia de númerosLagarias calculó la media geométrica a partir de estas consideraciones en 1985 y obtuvo el siguiente resultado: (3/2)1/2 X (3⁄4)1/4 X (3⁄8)1/8 · … = 3⁄4. Esto muestra que los elementos de la secuencia se reducen en un factor promedio de 3⁄4 en cada paso de la regla de cálculo iterativo. Por lo tanto, es extremadamente improbable que exista un valor inicial que crezca hasta el infinito como resultado del procedimiento.
Sin embargo, podría haber un valor inicial que termine en un bucle que no sea 4 → 2 → 1. Ese bucle podría incluir muchos más números, de modo que nunca se alcanzaría 1.
Estos bucles “no triviales” se pueden encontrar, por ejemplo, si también se permiten números enteros negativos para la conjetura de Collatz: en este caso, la regla de cálculo iterativo puede terminar no sólo en –2 → –1 → –2 → … sino también en –5 → –14 → –7 → –20 → –10 → –5 → … o –17 → –50 → … → –17 →…. Si nos limitamos a los números naturales, no hay nada no trivial Se conocen bucles hasta la fecha, lo que no significa que no existan. Los expertos han podido demostrar ahora que tal bucle en el problema de Collatz tendría que consistir en al menos 186 mil millones de números.
La longitud de las secuencias de Collatz para todos los números del 1 al 9999 varía mucho.
Aunque parezca improbable, no tiene por qué serlo. En matemáticas hay muchos ejemplos en los que ciertas leyes sólo se descomponen después de considerar muchas iteraciones. Por ejemplo, el teorema de los números primos sobreestima el número de primos sólo durante unos 10316 números. Después de ese punto, el conjunto de números primos subestima el número real de primos.
Algo similar podría ocurrir con la conjetura de Collatz: quizás haya un número enorme escondido en lo profundo de la recta numérica que rompe el patrón observado hasta ahora.
Una prueba de casi todos los números
Los matemáticos llevan décadas buscando una prueba concluyente. El mayor avance se produjo en 2019 por el medallista Fields Terence Tao de la Universidad de California, Los Ángeles, cuando demostró que casi todos los valores iniciales de los números naturales eventualmente terminan en un valor cercano a 1.
“Casi todos” tiene un significado matemático preciso: si seleccionas aleatoriamente un número natural como valor inicial, tiene un 100 por ciento de probabilidad de terminar en 1. (Sin embargo, un evento de probabilidad cero no es necesariamente imposible..) Eso es “lo más cerca que uno puede llegar a la conjetura de Collatz sin resolverla realmente”. Tao dijo en una charla que dio en 2020.. Desafortunadamente, el método de Tao no puede generalizarse a todas las cifras porque se basa en consideraciones estadísticas.
Todos los demás enfoques también han conducido a un callejón sin salida. Quizás eso signifique que la conjetura de Collatz sea errónea. “Tal vez deberíamos gastar más energía buscando contraejemplos de la que gastamos actualmente”, dijo el matemático Alex Kontorovich de la Universidad de Rutgers en un vídeo sobre el Canal de YouTube de Veritasium.
Quizás la conjetura de Collatz se determine como verdadera o falsa en los próximos años. Pero existe otra posibilidad: quizás realmente sea un problema que no se puede demostrar con las herramientas matemáticas disponibles. De hecho, en 1987 el difunto matemático John Horton Conway investigado una generalización de la conjetura de Collatz y encontró que las funciones iterativas tienen propiedades que no son demostrables. Quizás esto también se aplique a la conjetura de Collatz. Por más simple que parezca, podría estar condenado a permanecer sin resolver para siempre.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.